Ignorancia en mecánica estadística

Considere este centavo en mi descripción. Es una pieza particular de metal, bien descrita por la mecánica estadística, que le asigna un estado, a saber, la matriz de densidad ρ 0 = 1 Z mi − β H (en el modelo más simple). Este es un operador en un espacio de funciones que depende de las coordenadas de un gran número norte de partículas

La interpretación de la ignorancia de la mecánica estadística , la ortodoxia a la que todas las introducciones a la mecánica estadística rinden homenaje, afirma que la matriz de densidad es una descripción de la ignorancia, y que la verdadera descripción debería ser una en términos de una función de onda; cualquier estado puro consistente con la matriz de densidad debería producir el mismo resultado macroscópico.

Sin embargo, sería muy sorprendente que la Naturaleza cambiara su comportamiento dependiendo de cuánto ignoramos. Por lo tanto, la conversación sobre la ignorancia debe tener una base formalizable objetiva independiente del comportamiento ignorante particular de cualquiera.

Por otro lado, la mecánica estadística siempre trabaja exclusivamente con la matriz de densidad (excepto al principio donde está motivada). En ninguna parte (excepto allí) se hace uso de la suposición de que la matriz de densidad expresa ignorancia. Por lo tanto, me parece que todo el concepto de ignorancia es falso, una reliquia de los primeros días de la mecánica estadística.

Por lo tanto, me gustaría invitar a los defensores de la ortodoxia a responder las siguientes preguntas:

(i) ¿Se puede verificar experimentalmente la afirmación de que la matriz de densidad (un conjunto canónico, por ejemplo, que describe correctamente un sistema macroscópico en equilibrio) describe la ignorancia? - En caso afirmativo, ¿cómo, y la ignorancia de quién? - Si no, ¿por qué se asume esta interpretación de ignorancia aunque nada depende de ella?

(ii) En un experimento reflexivo, suponga que Alice y Bob tienen diferentes niveles de ignorancia sobre un sistema. Por lo tanto, el conocimiento de Alice equivale a una matriz de densidad ρ A , mientras que el conocimiento de Bob equivale a una matriz de densidad ρ B . Dado ρ A y ρ B , ¿cómo se puede verificar en principio si la descripción de Bob es consistente con la de Alice?

(iii) ¿Cómo se decide si un estado puro ψ está adecuadamente representado por un estado de mecánica estadística ρ 0 ? En términos de (ii), suponga que Alice conoce el verdadero estado del sistema (según la interpretación de la ignorancia de la mecánica estadística, un estado puro ψ , correspondiente a ρ A = ψ ψ ∗ ), mientras que Bob solo conoce la descripción de la mecánica estadística, ρ B = ρ 0 .

Presumiblemente, debería haber una especie de medida cuantitativa METRO ( ρ A , ρ B ) ≥ 0 que se desvanece cuando ρ A = ρ B ) y dice qué tan compatibles son las dos descripciones. De lo contrario, ¿qué puede significar que dos descripciones sean consistentes? Sin embargo, el candidato matemáticamente natural, la entropía relativa (= divergencia Kullback-Leibler) METRO ( ρ A , ρ B ) , la huella de ρ A Iniciar sesión ⁡ ρ A ρ B , [editar: corregí un error de signo señalado en la discusión a continuación] no funciona. De hecho, en la situación (iii), METRO ( ρ A , ρ B ) es igual a la expectativa de β H + Iniciar sesión ⁡ Z en estado puro; esto es mínimo en el estado fundamental del hamiltoniano. Pero esto diría que el estado fundamental sería más consistente con la matriz de densidad de cualquier temperatura, una condición inaceptable.

Editar: después de leer el artículo http://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.paradox.pdf de ET Jaynes señalado en la discusión a continuación, puedo hacer más precisa la consulta en (iii): en la terminología de la p.5 allí, la matriz de densidad ρ 0 representa un macroestado, mientras que cada función de onda ψ representa un microestado. La pregunta es entonces: ¿cuándo puede (o no) un microestado ψ ser considerado como un macroestado ρ 0 sin afectar la predictibilidad de las observaciones macroscópicas? En el caso anterior, ¿cómo calculo la temperatura del macroestado correspondiente a un microestado particular? ψ para que el comportamiento macroscópico sea el mismo -si lo es- y qué criterio me permite decidir si (dado ψ ) esta aproximación es razonable?

Un ejemplo en el que no es razonable considerar ψ como conjunto canónico es si ψ representa un sistema compuesto hecho de dos piezas del centavo a diferente temperatura. Claramente, ningún conjunto canónico puede describir esta situación macroscópicamente correcta. Así, el criterio buscado debe ser capaz de decidir entre un estado que representa tal sistema compuesto y el estado de un centavo de temperatura uniforme, y en el último caso, debe dar una receta de cómo asignar una temperatura a ψ , es decir, la temperatura que la naturaleza me permite medir.

La temperatura de mi centavo está determinada por la naturaleza, por lo tanto, debe estar determinada por un microestado que pretende ser una descripción completa del centavo.

Nunca he visto una discusión sobre tal criterio de identificación, aunque son esenciales si uno quiere dar la idea, que subyace a la interpretación de la ignorancia, de que un estado cuántico completamente especificado debe ser un estado puro.

Parte de la discusión sobre esto está ahora en: http://chat.stackexchange.com/rooms/2712/discussion- between -arnold-neumaier-and-nathaniel

Editar (11 de marzo de 2012): acepté la respuesta de Nathaniel como satisfactoria en las circunstancias dadas, aunque olvidó mencionar una cuarta posibilidad que prefiero; a saber, que el conocimiento completo sobre un sistema cuántico está de hecho descrito por una matriz de densidad, de modo que los microestados son matrices de densidad arbitrarias y un macroestado es simplemente una matriz de densidad de una forma especial mediante la cual se puede aproximar bien un microestado arbitrario (matriz de densidad). cuando sólo interesan las consecuencias macroscópicas. Estas matrices de densidad especiales tienen la forma ρ = mi − S / k B con un operador simple S - en el caso de equilibrio una combinación lineal de 1, H (y varios operadores numéricos norte j si se conserva), definiendo el conjunto canónico o gran canónico. Esto es consistente con toda la mecánica estadística y tiene la ventaja de la simplicidad y la integridad, en comparación con la interpretación de la ignorancia, que necesita el concepto cualitativo adicional de la ignorancia y con él todo tipo de preguntas que son demasiado imprecisas o demasiado difíciles de responder.

¿No es este el mismo problema con el que la escuela MaxEnt "se encuentra" (comillas de miedo porque en realidad no lo hacen) que la física parece cambiar dependiendo de cuánto uno elija ignorar? La resolución allí es que, en última instancia, uno está haciendo ciencia, por lo que necesita una condición como "este conjunto de variables de control es empíricamente suficiente para controlar los resultados".
La ciencia debe ser objetiva, independiente del observador, por lo tanto, no debe depender de las elecciones de un observador. Por lo tanto, independientemente de las opciones que haya, debe haber una forma objetiva de evaluarlas. - Analicé Max Entropy en la Sección 10.7 de mi libro lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras, y lo encontré deficiente: si elige ignorar cosas que no debería (como el contenido de energía ) obtienes resultados completamente erróneos en clara contradicción con el experimento. ¡Para obtener una teoría correcta, debe elegir saber al menos todo lo que hace una diferencia en el sistema!
@ArnoldNeumaier sí, ¡pero "todo lo que marca la diferencia en el sistema [según lo medido por instrumentos macroscópicos]"! = todo. MaxEnt se basa precisamente en ignorar los detalles microscópicos que no marcan ninguna diferencia en el estado macroscópico, sin ignorar nada de lo que sí lo hace. Ignorar las cosas que no hacen ninguna diferencia es bueno, ¡porque significa que no tienes que calcularlas!
Arnold, quizás este sea un punto menor, pero el uso del conjunto canónico implica para mí que el centavo está en equilibrio térmico con un entorno. Esto significaría que el centavo está enredado con el medio ambiente y por lo tanto no sería descrito por un estado puro. Sus preguntas no parecen ser tan agudas si se plantean al conjunto microcanónico.
@BebopButUnsteady: el centavo se supone que está en equilibrio térmico, pero no necesita estar en equilibrio con el medio ambiente (por ejemplo, si acabo de abrir la ventana, cambiando así el medio ambiente). Pero cualquier cuerpo macroscópico (no solo un centavo, y no sólo en un conjunto canónico, y aunque lejos del equilibrio) está siempre enredado con su entorno. La consecuencia es que a ningún objeto macroscópico se le puede asignar un estado puro, ni siquiera en principio. Pero esto contradice rotundamente la interpretación de la ignorancia de la mecánica estadística. ¡Así, más cosas que defender para los defensores de la ortodoxia!
No estoy seguro de por qué el hecho de que "a ningún objeto macroscópico se le pueda asignar un estado puro" es un problema para la interpretación de la ignorancia. Uno es simplemente ignorante acerca de la matriz de densidad reducida en lugar del estado. (También creo que la cita es sensible a la interpretación de QM). En cuanto a mi punto, tal vez debería decir que la pregunta es si el centavo está acoplado al medio ambiente. Si no lo es, su energía está conservada y bien definida, por lo que el conjunto canónico no es apropiado. Si está acoplado, entonces no esperamos que esté en estado puro.

Respuestas (3)

No diría que la interpretación de la ignorancia es una reliquia de los primeros días de la mecánica estadística. Fue propuesto por primera vez por Edwin Jaynes en 1957 (ver http://bayes.wustl.edu/etj/node1.html, artículos 9 y 10, y también el número 36 para una versión más detallada del argumento) y resultó controvertido hasta hace relativamente poco tiempo. (Jaynes argumentó que la interpretación de la ignorancia estaba implícita en el trabajo de Gibbs, pero el propio Gibbs nunca la explicó). Hasta hace poco, la mayoría de los autores preferían una interpretación en la que (al menos para un sistema clásico) las probabilidades en la mecánica estadística representaban la fracción de tiempo que el sistema pasa en cada estado, en lugar de la probabilidad de que esté en un estado particular en el momento presente. Esta antigua interpretación hace que sea imposible razonar sobre el comportamiento transitorio usando mecánica estadística, y esto es en última instancia lo que hace que sea útil cambiar a la interpretación de la ignorancia.

En respuesta a sus puntos numerados:

(i) Responderé a "¿la ignorancia de quién?" parte primero. La respuesta a esto es "un experimentador con acceso a instrumentos de medición macroscópicos que pueden medir, por ejemplo, presión y temperatura, pero no pueden determinar el estado microscópico preciso del sistema". Si conociera con precisión la función de onda subyacente del sistema (junto con la función de onda completa de todas las partículas en el baño de calor, si la hay, junto con el hamiltoniano para el sistema combinado), entonces no habría necesidad de usar mecánica estadística en absoluto. , porque simplemente podría integrar la ecuación de Schrödinger en su lugar. La interpretación de la ignorancia de la mecánica estadística no afirma que la Naturaleza cambie su comportamiento dependiendo de nuestra ignorancia; bastante, afirma que la mecánica estadística es una herramienta que solo es útil en aquellos casos en los que tenemos cierto desconocimiento sobre el estado subyacente o su evolución temporal. Dado esto, realmente no tiene sentido preguntar si la interpretación de la ignorancia puede confirmarse experimentalmente.

(ii) Supongo que esto depende de lo que entiendas por "coherente con". Si dos personas tienen conocimientos diferentes sobre un sistema, en principio no hay razón para que estén de acuerdo en sus predicciones sobre su comportamiento futuro. Sin embargo, puedo ver una forma de abordar esta pregunta. No sé cómo expresarlo en términos de matrices de densidad (la mecánica cuántica no es lo mío), así que cambiemos a un sistema clásico. Alice y Bob expresan su conocimiento sobre el sistema como una función de densidad de probabilidad sobre X , el conjunto de posibles estados del sistema (es decir, el vector de posiciones y velocidades de cada partícula) en algún momento particular. Ahora, si no hay valor de X para los cuales tanto Alice como Bob asignan una densidad de probabilidad positiva, entonces se puede decir que son inconsistentes, ya que cada estado en el que Alice acepta que el sistema podría estar en Bob dice que no lo está, y viceversa. Si tal valor de X existe, entonces Alice y Bob pueden ser "correctos" en su estado de conocimiento si el sistema resulta estar en ese estado particular. Continuaré con esta idea a continuación.

(iii) Nuevamente, no sé cómo convertir esto en el formalismo de la matriz de densidad, pero en la versión clásica de la mecánica estadística, un conjunto macroscópico asigna una probabilidad (o una densidad de probabilidad) a cada estado microscópico posible, y esto es lo que usa para determinar qué tan fuertemente representado está un microestado en particular en un conjunto dado. En el formalismo de matriz de densidad los estados puros son análogos a los estados microscópicos en el clásico. Supongo que tienes que hacer algo con los operadores de proyección para obtener la probabilidad de un estado puro particular de una matriz de densidad (lo aprendí una vez, pero fue hace demasiado tiempo), y estoy seguro de que los principios son similares en ambos formalismos. .

Acepto que la medida que buscas es D KL ( A | | B ) = ∑ i pags A ( i ) Iniciar sesión ⁡ pags A ( i ) pags B ( i ) . (Supongo que esto es t r ( ρ A ( Iniciar sesión ⁡ ρ A − Iniciar sesión ⁡ ρ B ) ) en el caso de la matriz de densidad, que se parece a lo que escribiste aparte de un cambio de signo). En el caso donde A es un estado puro, esto solo da − Iniciar sesión ⁡ pags B ( i ) , el logaritmo negativo de la probabilidad que Bob asigna a ese estado puro en particular. En términos de la teoría de la información, esto puede interpretarse como la "sorpresa" del estado i , es decir, la cantidad de información que debe proporcionarse a Bob para convencerlo de que afirma i efectivamente es la correcta. Si Bob considera el estado i improbable, se sorprenderá mucho al descubrir que es la correcta.

Si B asigna probabilidad cero al estado i entonces la medida divergerá hasta el infinito, lo que significa que a Bob le costará una cantidad infinita de trabajo convencer para aceptar algo de lo que estaba absolutamente seguro que era falso. Si A es un estado mixto, esto sucederá siempre que A asigne una probabilidad positiva a cualquier estado al que B asigne probabilidad cero. Si A y B son iguales, entonces esta medida será 0. Por lo tanto, la medida D KL ( A | | B ) puede verse como una medida de cuán "incompatibles" son dos estados de conocimiento. Dado que la divergencia KL es asimétrica, supongo que también debe considerar D KL ( B | | A ) , que es algo así como el grado de inverosimilitud de B desde la perspectiva de A.

Soy consciente de que me he saltado algunas cosas, ya que había mucho que escribir y no tengo mucho tiempo para hacerlo. Estaré encantado de ampliarlo si algo no está claro.

Editar (en respuesta a la edición al final de la pregunta): La respuesta a la pregunta "¿Cuándo puede (o no) un microestado ϕ ser considerado como un macroestado ρ 0 sin afectar la previsibilidad de las observaciones macroscópicas?" es "básicamente nunca". Me referiré a esto en términos de mecánica clásica porque es más fácil para mí escribir en ese idioma. Los macroestados son distribuciones de probabilidad sobre microestados, por lo que la única vez que un macroestado puede comportarse de la misma manera que un microestado es si el macroestado resulta ser una distribución de probabilidad máxima (con entropía 0, asignando pags = 1 a un microestado y pags = 0 al resto), y permanecer así a lo largo de la evolución del tiempo.

Escribes en un comentario "si tengo un centavo definido en mi escritorio con una temperatura definida, ¿cómo puede tener varios estados puros diferentes?" Pero (al menos en la versión de Jaynes de la interpretación de MaxEnt de la mecánica estadística), la temperatura no es una propiedad del microestado sino del macroestado. Es el diferencial parcial de la entropía con respecto a la energía interna. Esencialmente, lo que está haciendo es (1) encontrar el macroestado con la entropía máxima (información) compatible con la energía interna igual a tu , luego (2) encontrar el macroestado con la máxima entropía compatible con la energía interna igual a tu + d tu , entonces (3) tomando la diferencia y dividiendo por d tu . Cuando habla de microestados en lugar de macroestados, la entropía siempre es 0 (precisamente porque no tiene ignorancia) y, por lo tanto, no tiene sentido hacer esto.

Ahora es posible que desee decir algo como "pero si mi centavo tiene un estado puro definido que desconozco, entonces seguramente se comportaría exactamente de la misma manera si conociera ese estado puro". Esto es cierto, pero si conociera con precisión el estado puro, entonces (en principio) ya no tendría necesidad de usar la temperatura en sus cálculos, porque (en principio) sería capaz de calcular con precisión los flujos dentro y fuera del centavo y, por lo tanto, podría dar respuestas exactas a las preguntas que la mecánica estadística solo puede responder estadísticamente.

Por supuesto, solo podría calcular el comportamiento futuro del centavo en escalas de tiempo muy cortas, porque el centavo está en contacto con su escritorio, cuyo estado cuántico preciso (presumiblemente) no conoce. Por lo tanto, tendrá que reemplazar su macroestado de estado puro del centavo por uno mixto con bastante rapidez. El hecho de que esto suceda es una de las razones por las que, en general, no puede simplemente reemplazar el estado mixto con un solo estado puro "más representativo" y usar la evolución de ese estado puro para predecir la evolución futura del sistema.

Edición 2: los casos clásicos versus cuánticos. (Esta edición es el resultado de una larga conversación con Arnold Neumaier en el chat, vinculada en la pregunta).

En la mayor parte de lo anterior he estado hablando del caso clásico, en el que un microestado es algo así como un gran vector que contiene las posiciones y velocidades de cada partícula, y un macroestado es simplemente una distribución de probabilidad sobre un conjunto de posibles microestados. Se concibe que los sistemas tienen un microestado definido, pero los aspectos prácticos de las mediciones macroscópicas significan que para todos los sistemas, excepto los más simples, no podemos saber qué es y, por lo tanto, lo modelamos estadísticamente.

En este caso clásico, los argumentos de Jaynes son (en mi opinión) bastante incuestionables: si viviéramos en un mundo clásico, no tendríamos una forma práctica de saber con precisión la posición y la velocidad de cada partícula en un sistema como un centavo en un escritorio, por lo que necesitaríamos algún tipo de cálculo que nos permitiera hacer predicciones sobre el comportamiento del sistema a pesar de nuestra ignorancia. Cuando uno examina cómo sería un cálculo óptimo de este tipo, llega precisamente al marco matemático de la mecánica estadística (distribuciones de Boltzmann y todo lo demás). Al considerar cómo la ignorancia de uno sobre un sistema puede cambiar con el tiempo, uno llega a resultados que (al menos a mí me parece) serían imposibles de afirmar, y mucho menos derivar, en la interpretación frecuentista tradicional. El teorema de la fluctuación es un ejemplo de tal resultado.

En un mundo clásico, no habría ninguna razón en principio por la que no pudiéramos conocer el microestado preciso de un centavo (junto con el de cualquier cosa con la que esté en contacto). Las únicas razones para no saberlo son las prácticas. Si pudiéramos superar tales problemas, entonces podríamos predecir con precisión la evolución temporal del microestado. Tales predicciones podrían hacerse sin referencia a conceptos tales como entropía y temperatura. Al menos desde el punto de vista de Jaynes, estos son conceptos puramente macroscópicos y no tienen significado estrictamente en el nivel microscópico. La temperatura de su centavo está determinada tanto por la Naturaleza como porpor lo que eres capaz de medir sobre la Naturaleza (que depende del equipo que tengas disponible). Si pudiera medir el microestado (clásico) con suficiente detalle, entonces podría ver qué partículas tenían las velocidades más altas y, por lo tanto, podría extraer trabajo a través de un tipo de aparato de demonio de Maxwell. Efectivamente, estaría dividiendo el centavo en dos subsistemas, uno que contiene las partículas de alta energía y otro que contiene las de baja energía; estos dos sistemas tendrían efectivamente temperaturas diferentes.

Mi sensación es que todo esto debería trasladarse al nivel cuántico sin dificultad y, de hecho, Jaynes presentó gran parte de su trabajo en términos de matriz de densidad en lugar de distribuciones de probabilidad clásicas. Sin embargo, hay una sutileza grande y (creo que es justo decirlo) no resuelta involucrada en el caso cuántico, que es la cuestión de qué cuenta realmente como un microestado para un sistema cuántico.

Una posibilidad es decir que el microestado de un sistema cuántico es un estado puro. Esto tiene cierto atractivo: los estados puros evolucionan de forma determinista como los microestados clásicos, y la matriz de densidad se puede derivar considerando distribuciones de probabilidad sobre estados puros. Sin embargo, el problema con esto es la distinguibilidad: se pierde algo de información cuando se pasa de una distribución de probabilidad sobre estados puros a una matriz de densidad. Por ejemplo, no hay una diferencia distinguible experimentalmente entre los estados mixtos 1 2 ( ∣↑ ⟩ ⟨ ↑∣ + ∣↓ ⟩ ⟨ ↓∣ ) y 1 2 ( ∣← ⟩ ⟨ ←∣ + ∣→ ⟩ ⟨ →∣ ) Para un giro- 1 2 sistema. Si uno considera que el microestado de un sistema cuántico es un estado puro, entonces se compromete a decir que hay una diferencia entre estos dos estados, es solo que es imposible de medir. Esta es una posición filosóficamente difícil de mantener, ya que está expuesta a ser atacada con la navaja de Occam.

Sin embargo, esta no es la única posibilidad. Otra posibilidad es decir que incluso los estados cuánticos puros representan nuestra ignorancia sobre algún nivel subyacente más profundo de la realidad física. Si uno está dispuesto a sacrificar la localidad, entonces puede llegar a tal punto de vista interpretando los estados cuánticos en términos de una teoría de la variable oculta no local.

Otra posibilidad es decir que las probabilidades que uno obtiene de la matriz de densidad no representan en absoluto nuestra ignorancia sobre ningún microestado subyacente, sino que representan nuestra ignorancia sobre los resultados de las mediciones futuras que podríamos hacer en el sistema.

No estoy seguro de cuál de estas posibilidades prefiero. El punto es que, en el nivel filosófico, la interpretación de la ignorancia es más engañosa en el caso cuántico que en el clásico. Pero en términos prácticos hace muy poca diferencia: los resultados derivados del caso clásico mucho más claro casi siempre se pueden volver a expresar en términos de la matriz de densidad con muy poca modificación.

Gracias por la aclaración sobre los orígenes. El problema con su respuesta a (iii) es que en el caso particular mencionado en mi declaración editada sobre (iii), el estado fundamental sería el estado puro más consistente, independientemente de la temperatura. Por lo tanto, la medida K/L no me permite evaluar si tratar el estado puro ψ como ejemplo canónico (si solo me interesan las consecuencias macroscópicas) es o no aceptable.
La única lección que se puede sacar de esto es que no siempre es sensato tratar de tomar un solo estado puro "más representativo" de una distribución de probabilidad y esperar que tenga propiedades similares. Si está interesado en las propiedades macroscópicas, debe calcular las expectativas. Si hay un estado puro cuyas propiedades (o al menos las que le interesan) se comportan de manera similar a las expectativas calculadas a partir de la matriz de densidad, entonces estaría justificado en lo que está tratando de hacer. Estoy de acuerdo en que la medida KL por sí sola no te dice esto, por supuesto.
Pero si tengo un centavo definido en mi escritorio con una temperatura definida, ¿cómo puede tener varios estados puros diferentes? O este centavo tiene una función de onda particular ψ que da su descripción mecánica cuántica completa (aunque nunca podemos decir cuál es), entonces este estado debe tener de alguna manera una temperatura asociada, ya que la Naturaleza conoce esta temperatura, y la descripción es completa. - O tan único ψ no existe, en cuyo caso el concepto de microestados se rompe, y solo existe la matriz de densidad para describir el sistema.
En opinión de Jaynes, el macroestado es una distribución de probabilidad sobre los microestados, y la temperatura es una propiedad del macroestado, no del microestado. T = ∂ S / ∂ tu , dónde S es la entropía del macroestado. Si conociéramos por completo el microestado, estaríamos hablando de una distribución de probabilidad en la que un estado tiene pags = 1 y el resto 0. No habría entropía y, por lo tanto, temperatura.
En términos de ignorancia, ∂ S / ∂ tu significa algo así como "si agrego un poco más de energía a este centavo, ¿cuánto más desconocimiento tendría sobre su microestado?" Actualizaré mi respuesta para aclarar algo de esto.

Completaré la respuesta de @ Natahniel con el hecho de que el 'conocimiento' puede tener una implicación física vinculada con el comportamiento de la naturaleza. El problema se remonta al demonio de Maxwell , que convierte su conocimiento del sistema en trabajo. Trabajos recientes (como arXiv:0908.0424 The work value of information ) muestran que las entropías teóricas de la información que definen el conocimiento del sistema están conectadas al trabajo que es extraíble de la misma manera que las entropías físicas.

Para resumir todo esto en pocas palabras, "La naturaleza [no] cambia su comportamiento dependiendo de cuánto ignoramos", pero "cuánto ignoramos" cambia la cantidad de trabajo que podemos extraer de la Naturaleza.

Por cierto. Y para ver un gran ejemplo de cómo nuestro conocimiento de un sistema natural puede afectar nuestra capacidad para extraer trabajo de él, lea este artículo (de Edwin Jaynes): bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.paradox.pdf
@Frederic: Entonces también podría estar interesado en el Capítulo 10.1 de mi libro Classical and Quantum Mechanics via Lie algebras lanl.arxiv.org/abs/0810.1019 , donde analizo la paradoja de Gibbs sin ninguna referencia al conocimiento de nadie.
@ArnoldNeumaier: Gracias por la referencia. Acabo de leer el capítulo 10.1. Para mí (pero estoy sesgado hacia la teoría de la información), la elección de un nivel de descripción es precisamente lo que está relacionado con el conocimiento del físico. Pero estoy de acuerdo en que es un debate filosófico (útil), y toda la cuestión está vinculada al estudio de la elección del modelo en sí.
Por cierto, el documento al que se vincula en mi respuesta no está directamente relacionado con la paradoja de Gibbs, sino que es un cálculo del trabajo que puede (probablemente) extraerse de un sistema sobre el cual tenemos un conocimiento parcial (cuantificado por Shannon/Smooth- entropías de Rényi)
@Frederic: leí el periódico. - Sobre el Capítulo 10.1: Creo que hay una gran diferencia entre el conocimiento (o la ignorancia, su ausencia) que es un concepto subjetivo y muy dudoso, y la elección del modelo, que es una necesidad en cualquier investigación física, no especial en mecánica estadística. El punto de mi discusión es que la elección de un nivel de descripción en la mecánica estadística no es realmente diferente de la de la mecánica: debe incluir todos los grados de libertad observables, y cualquier cosa adicional no ayuda.

Cuando se trata de la discusión de estos asuntos, hago el siguiente comentario que comienza con la cita de Landau-Lifshitz, libro 5, capítulo 5:

La promediación por medio de la matriz estadística... tiene una doble naturaleza. Comprende tanto la promediación debida a la naturaleza probabilística de la descripción cuántica (incluso cuando sea lo más completa posible) como la promediación estadística necesaria por lo incompleto de nuestra información sobre el objeto considerado... Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que que estos constituyentes no pueden separarse; todo el procedimiento de promediación se lleva a cabo como una sola operación, y no puede representarse como el resultado de promediaciones sucesivas, una puramente mecánica cuántica y la otra puramente estadística.

... y lo siguiente...

Debe enfatizarse que el promedio de varios ψ estados, que hemos utilizado para ilustrar la transición de una descripción mecánica cuántica completa a una incompleta, sólo tiene un significado muy formal. En particular, sería bastante incorrecto suponer que la descripción mediante la matriz de densidad significa que el subsistema puede estar en varios ψ estados con varias probabilidades y que el promedio está por encima de estas probabilidades. Tal tratamiento estaría en conflicto con los principios básicos de la mecánica cuántica.

Así que tenemos dos declaraciones:

Declaración A: No se puede "desatar" la incertidumbre estadística y mecánica cuántica en la matriz de densidad.
(Es solo una reafirmación de las citas anteriores).

Declaración B: La incertidumbre de la mecánica cuántica no puede expresarse en términos de mera "ignorancia" sobre un sistema.
(Estoy seguro de que esto es evidente por todo lo que sabemos sobre la mecánica cuántica).

Finalmente:
Por lo tanto: La incertidumbre en la matriz de densidad no puede expresarse en términos de mera "ignorancia" sobre un sistema.

La conclusión no se sigue de las premisas. Podría decir fácilmente "1. La incertidumbre cuántica y estadística no se puede desvincular en el formalismo de la matriz de densidad. 2. La incertidumbre en una matriz de densidad no se puede expresar como una mera incertidumbre 'cuántica' (de lo contrario, sería un estado puro). Por lo tanto , 3. La incertidumbre en la matriz de densidad no puede expresarse en términos de mera incertidumbre 'cuántica'". Una conclusión mucho más razonable es que parte de la incertidumbre en la matriz de densidad es cuántica y parte es estadística; es simplemente imposible desatarlos.
@Nathaniel Estoy de acuerdo con su declaración 3 y no veo ningún problema con ella. No contradice nada. Y tampoco refuta de ninguna manera mi declaración. Si bien la "conclusión mucho más razonable" es solo una reafirmación de la declaración 1.
@Nathaniel: ¿Por qué su punto 2 en su comentario debería ser cierto? Seguramente una matriz de densidad es un objeto cuántico y expresa incertidumbre cuántica. El éxito de la mecánica estadística junto con el hecho de que no se puede desvincular la información en una matriz de densidad sugiere más bien que la matriz de densidad es la información cuántica objetiva e irreductible, y el estado puro es solo un caso muy especial, raramente realizado.
@Kostya, lo siento, en ese caso no entendí bien, lo interpreté diciendo que ninguna de las incertidumbres en la matriz de densidad se puede expresar en términos de ignorancia. Si solo dijeras que parte de eso no puede, entonces no hay problema. (Aunque habiendo dicho eso, para alguien que apoya una interpretación de variable oculta no local, todo puede expresarse como ignorancia. Algunas personas pueden encontrar eso más agradable que abandonar la localidad; no estoy seguro de si lo hago o no).
@ArnoldNeumaier considere una máquina que lanza mecánicamente una moneda, luego, según el resultado, prepara un electrón en un estado puro (llámelo | A ⟩ ) u otro ( | B ⟩ ). Para modelar el estado de un electrón de esta máquina, usaría la matriz de densidad 1 2 ( | A ⟩ ⟨ A | + | B ⟩ ⟨ B | ) . Seguramente esto representa tanto la incertidumbre cuántica inherente a los estados puros como la incertidumbre clásica sobre el resultado de un lanzamiento de moneda (oculto). Entonces, al menos en algunas situaciones, parte de la incertidumbre de la matriz de densidad es ignorancia.
Ah, pero entonces podría volver al comentario "considere este centavo en mi escritorio" en su OP. Entonces considere esto: he elegido deliberadamente preparar el electrón en el estado | A ⟩ o estado | B ⟩ , pero me niego a decirte cuál. En ausencia de cualquier otra información, asume que cualquiera de los dos es igualmente probable, lo que lleva a la matriz 1 2 ( | A ⟩ ⟨ A | + | B ⟩ ⟨ B | ) .
@Nathaniel: Sí, en tal caso. Pero esta no es la situación considerada en la mecánica estadística de materiales. Mi pregunta es sobre el estado del centavo que está sobre mi escritorio. Agregué algunos detalles más al final de mi pregunta; por favor considere esto!
@Nathaniel: Me leíste la mente, ya que mi comentario llegó después de tu adición. Pero puedo mirar mi centavo tantas veces como quiera y saber todo lo macroscópico sobre él. La naturaleza no oculta la información macroscópica. Aún así, ¿cómo pasar de su microestado a la mezcla? o afirmas (según otro de tus comentarios) que el verdadero microestado de mi centavo no lo da un solo ψ sino por una distribución de probabilidad sobre todos ψ '¿s? En este caso, ¿cuál es el significado de esta distribución de probabilidad?
El verdadero microestado es un solo ψ ; la mezcla (es decir, el macroestado) solo surge porque no tiene una forma práctica de saber el valor de ψ . La naturaleza no oculta el macroestado, pero sí el microestado. He agregado una edición a mi respuesta que aborda algunos de estos. Espero que quede claro: tengo poco tiempo, pero si tiene más preguntas, volveré a esto mañana.
@Nathaniel: el verdadero microestado podría estar enredado con otro sistema mecánico cuántico, en cuyo caso la matriz de densidad no es pura no por ignorancia estadística, sino porque no estamos en posesión del sistema que contiene el estado cuántico completo.
@PeterShor eso es ciertamente cierto. Solo estaba tratando de mostrar que, a veces, parte de la incertidumbre en la matriz de densidad se debe a la ignorancia. Curiosamente, su punto parece implicar que la ignorancia estadística es experimentalmente indistinguible del enredo.
@Nathaniel: hay algunas versiones de la interpretación de muchos mundos en las que la ignorancia estadística es exactamente lo mismo que el enredo.
Interesante, ¿sabes dónde puedo leer algo al respecto? (No soy fanático de las interpretaciones de muchos mundos, pero el enredo = la idea de la ignorancia es intrigante.)
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