Fracción de ionización de helio en alternancia, dominó el universo primitivo

Me piden que verifique una expresión para la fracción de ionización del helio en un universo en el que el helio domina la materia bariónica.

Me dan que la fracción de ionización$X = \frac{n_{He^+}}{n_{He^+}+n_{He}}$con una energía de ionización dada$Q_{He}$, y las densidades numéricas por la fórmula$n_i=g_i(\frac{m_ik_BT}{2\pi \hbar})^{3/2}\exp(-\frac{m_ic^2}{k_BT})$. También la relación barión-fotón en este caso es$\eta=\frac{4(n_{He^+}+n_{He})}{n_\gamma}$.

Estoy tratando de mostrar que al juntar todo esto obtengo algo con la forma:

$\ln(\frac{1-X}{X^2})=A+\ln(\eta)-B\,\ln(\frac{Q_{He}}{k_BT})+\frac{Q_{He}}{k_BT}$. donde$A$y$B$son constantes.

Cuando conecto todo, tengo$\frac{1-X}{X^2}=\frac{n_\gamma}{8}\eta \, \exp(-\frac{Q_{He}}{K_BT})$, lo que da:

$\ln(\frac{1-X}{X^2})=\ln(\frac{n_\gamma}{8})+\ln(\eta)+\frac{Q_{He}}{k_BT}$

¿Alguna idea de dónde podría haber ido mal?