¿Existe una representación matemática que represente el voltaje de salida de un convertidor reductor o elevador en modo discontinuo?

¿Hay alguna fórmula que represente el voltaje de salida de un dólar?$\color{red}{\boxed{\text{or}}}$convertidor boost en modo discontinuo?

La respuesta corta para un convertidor boost es esta:$\dfrac{V_{OUT}}{V_{IN}} = \dfrac{1}{2} + \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{D^2\cdot R_{LOAD}}{2\cdot L\cdot F_{SW}}}$

• $D$es el ciclo de trabajo
• $L$es inductancia
• $F_{SW}$es la frecuencia de conmutación

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Respuesta larga:

Para un convertidor elevador, el$\color{red}{\text{discontinuous}}$El ciclo de cambio de modo consta de tres secciones: -

• Cargue el inductor con energía.
• Transferir esa energía a la carga.
• Mantenga presionado hasta que comience el siguiente ciclo (esto sucede solo en modo discontinuo)

Si la corriente de carga aumenta, la energía a transferir debe aumentar para mantener constante el voltaje de salida. Esto se hace detectando continuamente el voltaje de salida y ajustando el ciclo de trabajo (tiempo de carga en relación con el tiempo total del ciclo de conmutación) si cambia el voltaje. El ciclo de trabajo dicta cuánta energía debe almacenarse y transferirse.

Para llegar a la ecuación en la parte superior, debe comenzar por calcular cuánta potencia "magnética" debe transferirse a la carga y esto puede no ser tan obvio como piensa al principio.

Por ejemplo, es posible que desee que Vout sea de 16 voltios alimentando una carga de 5 Ω y su suministro de entrada (Vin) podría ser de 12 voltios. Por lo tanto, la potencia de carga es 16²/5 = 51,2 vatios. Sin embargo, esa no es la potencia que debe transferirse a través del mecanismo de almacenamiento de energía del inductor.

De hecho, el inductor solo necesita "elevar" Vout de 12 voltios a 16 voltios (Δ 4 voltios), por lo tanto, la potencia de elevación es algo menor. Si calculamos la corriente de carga (16/5), obtenemos 3,2 amperios, por lo tanto, el aumento de potencia del inductor es de solo 4 voltios x 3,2 amperios = 12,8 vatios.

_{En el mundo real, agregaríamos algunos vatios para las pérdidas de conducción directa del diodo. Voy a ignorar esto porque cualquier convertidor elevador decente aumentará su ciclo de trabajo (D) para adaptarse a las pérdidas de diodos. En otras palabras, puedo asumir que el lazo de control hará lo que debe hacer.}

Entonces, usando la potencia de "elevación" calculada desde arriba, la energía (W o trabajo) que se transferirá por ciclo de conmutación es esa potencia dividida por la frecuencia de conmutación$F_{SW}$. Entonces podemos usar la conocida fórmula de energía del inductor: -

$$W = \dfrac{L\cdot I^2}{2}$$

A partir de esto podemos calcular la cantidad de corriente ($I_{PK}$) necesita fluir hacia el inductor: -

$$I_{PK} = \sqrt{\dfrac{2\cdot W}{L}}$$

Entonces podemos usar esta conocida fórmula: -

$$V = L\cdot \dfrac{di}{dt}$$

Podemos reorganizarlo así: -

$$t_1 = \dfrac{L\cdot I_{PK}}{V_{IN}}$$

Parámetro$t_1$es el tiempo de carga y el ciclo de trabajo,$D = t_1\cdot F_{SW}$

Resumiendo lo anterior obtenemos esto: -

$$D = \dfrac{1}{V_{IN}}\cdot\sqrt{2\cdot L\cdot F_{SW}\cdot P_{UPLIFT}}$$

Esto también se puede reescribir como: -

$$D = \dfrac{1}{V_{IN}}\cdot\sqrt{\dfrac{2\cdot L\cdot F_{SW}\cdot (V_{OUT}-V_{IN})}{R_{LOAD}}}$$

Para llegar a la fórmula en la parte superior, se necesita un poco de manipulación matemática usando la fórmula inmediatamente anterior: -

$$\dfrac{D^2\cdot V_{IN}^2\cdot R_{LOAD}}{2\cdot L\cdot F_{SW}} = V_{OUT}\cdot(V_{OUT}- V_{IN})$$

Esto se puede convertir en una ecuación cuadrática: -

$$\dfrac{D^2\cdot R_{LOAD}}{2\cdot L\cdot F_{SW}} = \dfrac{V_{OUT}^2}{V_{IN}^2} - \dfrac{V_{OUT}}{V_{IN}}$$

Que tiene una solución como se muestra en la parte superior de la página: -

$$\dfrac{V_{OUT}}{V_{IN}} = \dfrac{1}{2} + \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{D^2\cdot R_{LOAD}}{2\cdot L\cdot F_{SW}}}$$

Imagen y fórmulas de este sitio . También hay una calculadora como esta: -