¿Existe alguna relación entre las fuerzas débiles y fuertes, similar a las fuerzas eléctricas y magnéticas?

Supongo que lo que estás preguntando: ignora esta respuesta si te he entendido mal.

Las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento clásico del electromagnetismo. Solo pueden hacer esto porque las fuerzas EM son de largo alcance, por lo que a distancias macroscópicas se comportan de forma clásica. Por el contrario, las fuerzas débil y fuerte son de corto alcance y dejan de actuar sobre el límite clásico de distancia. No existe una aproximación clásica para describir las fuerzas débiles y fuertes, por lo que no existe una analogía con la ecuación de Maxwell.

Por encima de la transición electrodébil, la fuerza electrodébil se volverá de largo alcance. Si existe algún límite clásico en el espíritu de las ecuaciones de Maxwell es una buena pregunta y no sé la respuesta. Supongo que no existe tal límite para la fuerza fuerte incluso en la transición EW porque la fuerza aún estará confinada.

La respuesta a la pregunta planteada en el título mismo es no. La conexión unificadora, análoga a Electricidad + Magnetismo ⇒ Electromagnetismo, que está buscando no es Fuerza nuclear débil + Fuerza nuclear fuerte ⇒ (???), sino Fuerza nuclear débil + Electromagnetismo ⇒ Fuerza electrodébil. Solo la similitud de los nombres sugiere lo contrario.

En cambio, la fuerza fuerte se ramifica desde la fuerza de color o quark más profunda, más fundamental (y mucho más fuerte) , siendo la teoría del campo cuántico correspondiente la cromodinámica cuántica o QCD; mientras que para la fuerza electrodébil, es Quantum Flavor Dynamics o QFD.

Entonces, solo hay 2 fuerzas fundamentales conocidas, además de la gravedad, las fuerzas electrodébiles y de color; y el modelo estándar y la teoría cuántica de campos subyacente proporcionan espacio para la posibilidad de un tercero, lo que requiere una larga explicación sobre la quiralidad, la helicidad, la anomalía del triángulo y el espectro de fermiones para el modelo estándar con cierto detalle, así que gané No diré nada más al respecto aquí, excepto un breve punto antes de continuar.

La respuesta a la pregunta dentro de la pregunta ("¿existen ecuaciones tipo Maxwell?") ​​es sí, pero requerirá alguna configuración. Y no expondré la respuesta en su totalidad, ya que eso implica profundizar más en el Higgs.

El breve punto que debe señalarse es que el grupo de simetría SU(3) × SU(2) × U(1) involucra las simetrías SU(3) para "color", SU(2) para "isospin" (que, a pesar de su nombre, no tiene conexión con el espín o el momento angular aparte de su grupo de simetría que también es SU(2)) y U(1) para "hipercarga". Los dos primeros tienen campos de calibre no abelianos, mientras que el último no. Las ecuaciones de Maxwell para campos de norma no abelianos no son lineales ni homogéneos y todos tienen términos fuente que surgen del propio campo, incluidos los términos de fuente magnética y corriente.

Más importante aún: el campo electromagnético no es el campo de hipercarga U(1), sino una superposición del campo de hipercarga con uno de los 3 modos del campo SU(2). Como tal, sus ecuaciones de campo también son no lineales y no homogéneas. La característica más importante de la teoría electrodébil es que, en virtud de esta no linealidad y falta de homogeneidad, sus ecuaciones reemplazan y falsean las ecuaciones de Maxwell.

Para la teoría de campo clásica, la situación ahora es que las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo se reemplazan por ecuaciones que son parte de las ecuaciones de campo de calibre escritas en forma de Maxwell. Cuando cuantificamos el electromagnetismo dentro de QFD, esto es lo que ahora estamos cuantificando; no las ecuaciones de Maxwell.

Los campos

La descripción que sigue es genérica para todos los campos de calibre, independientemente de cuál sea su grupo de simetría o qué tipo de Lagrangiano describe su dinámica (Yang-Mills o de otro tipo). La única suposición que se hace es que exista un principio de acción para su dinámica regido por un Lagrangiano.

El campo y las ecuaciones son básicamente las mismas que las de Maxwell, excepto que se replica cada componente. Para el grupo de simetría U(1) × SU(2) × SU(3), que tiene 12 generadores, eso significa una replicación de 12 veces.

Por lo siguiente, son valores vectoriales de Lie: el potencial eléctrico $φ$, potencial magnético $𝐀 = (A₁, A₂, A₃)$, inducción magnética $𝐁 = (B¹, B², B³)$y fuerza electrica $𝐄 = (E₁, E₂, E₃)$. El escalar y cada componente de los tres vectores es un vector de mentira.

Por lo siguiente, se valoran como covectores de Lie: la inducción eléctrica $𝐃 = (D¹, D², D³)$, la fuerza magnética $𝐇 = (H₁, H₂, H₃)$, la densidad de carga $ρ$, y la densidad de corriente $𝐉 = (J¹, J², J³)$, así como el cargo$e$. Del mismo modo, eso significa cada escalar y cada componente de cada vector.

Se organizan en las siguientes formas valoradas por vectores de mentira:

$$A ≡ A₁ dx + A₂ dy + A₃ dz ‒ φ dt,$$ $$F ≡ B¹ dy∧dz + B² dz∧dx + B³ dx∧dy + (E₁ dx + E₂ dy + E₃ dz)∧dt,$$

respectivamente para el potencial de forma 1 , la fuerza de campo de forma 2 y las siguientes formas valoradas de covector de Lie:

$$G ≡ D¹ dy∧dz + D² dz∧dx + D³ dx∧dy ‒ (H₁ dy + H₂ dy + H₃ dz)∧dt,$$ $$Q ≡ ρ dx∧dy∧dz ‒ (J¹ dy∧dz + J² dz∧dx + J³ dx∧dy)∧dt.$$

respectivamente para el campo de respuesta 2-form y source current 3-form .

En sus primeros trabajos, antes del tratado, Maxwell escribió los campos como formas diferenciales, excepto que no combinó las$(φ, 𝐀), (𝐁, 𝐄), (𝐃, 𝐇), (ρ, 𝐉)$pares con$dt$, pero las mantuvo separadas y no usó el álgebra de Grassmann para las formas diferenciales (excepto una vez en el tratado). Y, de hecho, describió brevemente la posibilidad de que la gravedad y el electromagnetismo se combinaran con un ángulo de mezcla no trivial en lo que ahora llamaríamos un campo de norma abeliano para U(1) × U(1). El análogo moderno de esto surgiría al combinar la hipercarga U(1) con la U(1) de la fuerza adicional a la que aludí brevemente anteriormente (la$B-L$o fuerza que se acoplaría al número de bariones menos el número de leptones), y estaría describiendo la unificación de la fuerza electrodébil con la$B-L$fuerza, en lugar de la unificación del electromagnetismo con la gravedad.

Las convenciones algebraicas

Cada grupo de Lie tiene un álgebra de Lie cuyos elementos, "vectores de Lie", pueden expandirse en términos de una base$(Y₀, Y₁, Y₂, ⋯) = (Y_a)$. Las operaciones fundamentales del álgebra de Lie son la suma, la multiplicación por un escalar y el corchete de Lie.$[⋯,⋯]$. La operación de soporte está determinada completamente por su acción sobre la base,

$$[Y_a,Y_b] = Σ_c f_{ab}^c Y_c,$$

expresado en términos de los coeficientes de estructura $f_{ab}^c$. Aquí, y en lo que sigue, usaré la convención de suma de Einstein , lo que significa que los índices repetidos se deben sumar. Entonces la ecuación anterior se puede reescribir como$[Y_a,Y_b] = f_{ab}^c Y_c$.

En consecuencia, los campos, sus componentes y las formas$A$,$F$,$G$y$Q$, y el cargo$e$todos tienen descomposiciones en términos de las bases respectivas

$$(φ, 𝐀, 𝐁, 𝐄) = (φ^a Y_a, 𝐀^a Y_a, 𝐁^a Y_a, 𝐄^a Y_a),$$ $$(ρ, 𝐉, 𝐇, 𝐃) = (ρ_a Y^a, 𝐉_a Y^a, 𝐇_a Y^a, 𝐃_a Y^a),$$ $$e = e_a Y^a.$$

El punto importante a destacar sobre esto es que los dos miembros de cada uno de los pares$(𝐃,𝐄)$y$(𝐁,𝐇)$no pueden ser simplemente equiparados entre sí, porque ni siquiera son el mismo tipo de objetos.

Siempre es posible expandir un álgebra de Lie dotándola de una operación de producto asociativo tal que$uv ‒ vu = [u,v]$; por ejemplo, adoptando una representación matricial fiel o un álgebra incrustada.

El dual del álgebra de Lie tiene una base$(Y⁰, Y¹, Y², ⋯) = (Y^a: a = 0, 1, 2, ⋯)$. Las operaciones fundamentales son la contracción y un "soporte coadjunto" con vectores de Lie:

$$Y_a ˩ Y^b = δ_a^b,$$ $$[Y^c, Y_a] = f^c_{ab} Y^b$$

dónde$δ_a^b = 1$si$a = b$y$δ_a^b = 0$si$a ≠ b$. La última operación satisface la identidad

$$v ˩ [ω, u] = [u, v] ˩ ω.$$

Para grupos de Lie semisimples, la extensión algebraica de sus álgebras de Lie se puede ampliar aún más para incluir co-vectores, de modo que

$$ω u ‒ u ω = [ω, u]$$

y un operador adicional, un operador de "traza" lineal que satisface:

$$Tr(ωu) = u ˩ ω,$$ $$Tr(ab⋯c) = Tr(b⋯ca).$$ $$Tr(u ± v) = Tr(u) ± Tr(v)$$

Así, por ejemplo

$$Tr(ω [u,v]) = Tr(ω (uv ‒ vu)) = Tr((ωu ‒ uω)v) = Tr([ω,u]v)$$ lo cual es consistente con el requisito de que$v ˩ [ω,u] = [u,v] ˩ ω$.

En virtud de que el álgebra de Lie está incrustada en un álgebra asociativa, como se describió anteriormente, las operaciones vectoriales pueden encajar muy bien en las operaciones de Lie. De este modo,

$$𝐀 × 𝐀 = 𝐀^a × 𝐀^b Y_a Y_b = ½ 𝐀^a × 𝐀^b (Y_a Y_b ‒ Y_b Y_a) = ½ f^c_{ab} 𝐀^a × 𝐀^b Y_c$$ y, de manera similar: $$φ𝐀 ‒ 𝐀φ = f^c_{ab} φ^a 𝐀^b Y_c;$$ y para las formas valoradas co-vectoriales, podemos escribir $$φ𝐃 ‒ 𝐃φ = -f^c_{ab} φ^a 𝐃_c Y^b.$$

Ecuaciones de campo de calibre en forma de Maxwell

Con estas convenciones, las ecuaciones para la teoría de calibre clásica pueden escribirse en una forma análoga a las ecuaciones de Maxwell como:

1. Ecuaciones de potencial de campo:

$$𝐁 = ∇ × 𝐀 + 𝐀 × 𝐀,$$ $$𝐄 = ‒\frac{∂𝐀}{∂t} ‒ ∇φ + φ𝐀 ‒ 𝐀φ.$$

2. Identidades Bianchi:

$$∇·𝐁 + 𝐀·𝐁 ‒ 𝐁·𝐀 = 0,$$ $$∇×𝐄 + \frac{∂𝐁}{∂t} + 𝐀×𝐄 + 𝐄×𝐀 + 𝐁φ ‒ φ𝐁 = 𝟬.$$

3. Ley de campo:

$$∇·𝐃 + 𝐀·𝐃 ‒ 𝐃·𝐀 = ρ,$$ $$∇×𝐇 ‒ \frac{∂𝐃}{∂t} + 𝐀×𝐇 + 𝐇×𝐀 + φ𝐃 ‒ 𝐃φ = 𝐉.$$

4. Ecuación de continuidad:

$$∇·𝐉 + \frac{∂ρ}{∂t} + 𝐀·𝐉 ‒ 𝐉·𝐀 + ρφ ‒ φρ = 𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁.$$ El lado derecho siempre es cero para las teorías de campo cuya dinámica se deriva de los lagrangianos invariantes de Lorentz.

5. Leyes de fuerza y ​​potencia (primera forma):

$$\frac{d(𝐩 + Tr(e𝐀))}{dt} = ‒∇(Tr(e(φ ‒ 𝐯·𝐀))),$$ $$\frac{d(H + Tr(eφ))}{dt} = \frac{∂(Tr(e(φ ‒ 𝐯·𝐀)))}{∂t}.$$

se toman ambas derivadas parciales a la derecha, manteniendo$e$y$𝐯 = d𝐫/dt$fijado.

6. Leyes de Fuerza y ​​Potencia (segunda forma):

$$\frac{d𝐩}{dt} = Tr(e(𝐄 + 𝐯×𝐇)),$$ $$\frac{dH}{dt} = Tr(e𝐯·𝐄),$$ $$\frac{de}{dt} = Tr((φ‒𝐯·𝐀)e ‒ e(φ‒𝐯·𝐀)),$$ la última se llama Ecuación de Wong , que solo se cumple si el lado derecho de la ecuación de continuidad es 0; es decir, si$𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁 = 0$.

La ecuación de Wong describe la precesión de la carga de calibre bajo la influencia del campo de calibre. Para isospin SU(2), esta precesión está entre los estados isospin-up y isospin-down, que corresponden respectivamente a${u,c,t,ν_e,ν_μ,ν_τ}$y sus respectivos socios${d,s,b,e,μ,τ}$. (Y solo se aplica a los estados de helicidad izquierda para la materia y a los estados de helicidad derecha para la antimateria, que es en lo que no quería entrar en detalle aquí).

7. Leyes de fuerza y ​​potencia (forma continua):

$$𝐅 = Tr(ρ𝐄 + 𝐉×𝐁),$$ $$P = Tr(𝐉·𝐄).$$

Las ecuaciones 1-4 son respectivamente las formas componentes de

$$dA + A² = F,$$ $$dF + AF - FA = 0,$$ $$dG + AG - GA = Q,$$ $$dQ + AQ + QA = FG - GF,$$ donde se producen eficiencias similares al combinar el álgebra de Grassmann de las formas diferenciales con el álgebra de los vectores y covectores de Lie.

Las otras ecuaciones (5, 6 y 7) también se pueden escribir en términos de operaciones naturales con formas diferenciales, pero son un poco más complicadas y no las abordaré aquí. Como tales, todas son ecuaciones naturales que no requieren ninguna métrica de fondo y son independientes de la estructura métrica y causal. Toman la misma forma, independientemente de si la variedad subyacente está dotada de una métrica euclidiana local 4+0, una métrica Minkowski local 3+1 o incluso una estructura de Newton-Cartan para la teoría de campos no relativista.

Las leyes constitutivas con lagrangianas de Yang-Mills

8. Ley constitutiva en vacío

$$𝐃_a = ε_{0ab} 𝐄^b,$$ $$𝐁^a = μ_0^{ab} 𝐇_b,$$ dónde$k_{ab} = ε_{0ab} c$y$k^{ab} = μ_0^{ab} c$son, respectivamente, los componentes de la métrica y la métrica inversa para el álgebra de Lie subyacente con respecto a las bases$(Y_a)$y$(Y^a)$.

Esto surge, como las ecuaciones de campo, de la acción de Yang-Mills

$$S = ∫ ½ \frac{k_{ab}}{c} (𝐄^a·𝐄^b ‒ 𝐁^a·𝐁^b c²) d⁴x$$ que es la generalización directa de la acción de Maxwell-Lorentz $$S = ∫ ½ ε₀ (E² ‒ B² c²) d⁴x$$ y muestra que el coeficiente$k ≡ ε₀ c = \sqrt{ε₀/μ₀}$es en realidad la métrica del grupo de indicadores para U(1), cuando la acción de Maxwell-Lorentz se escribe como una acción de Yang-Mills para U(1). No es un coeficiente que sea "puramente convencional" ni uno que pueda ser "ignorado" o "definido", sino que tiene un significado físico y geométrico: describe una parte crucial de la misma geometría de U(1), en sí mismo: su ¡métrico!

La relevancia física de los coeficientes constitutivos y la ley constitutiva es un punto que Hehl ha señalado en el contexto de la teoría electromagnética. Contiene física importante que volverá a morderte (disfrazada) a continuación, en el contexto de la teoría cuántica de campos, incluso si intentas eliminarla de la teoría clásica. Más importante aún, en coordenadas no cartesianas y en espaciotiempos curvos, el coeficiente$ε₀c$se convierte en una función de la métrica y las coordenadas del espacio-tiempo. Como señaló Hehl, esto describe, de una manera no trivial, la propiedad constitutiva del vacío mismo. El vacío ya no es algo que no tiene nada dentro. La métrica cuenta como "algo" (al igual que la conexión, pero eso no entra directamente en juego aquí), no como "nada".

Es más común ver los campos escritos en la literatura teórica en forma gaussiana (indicada aquí con el subíndice$()₊$):

$$(𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊) = (\sqrt{\frac{4π}{μ₀}} 𝐀, \sqrt{4πε₀}φ, \sqrt{\frac{4π}{μ₀}} 𝐁, \sqrt{4πε₀}𝐄),$$ $$(𝐉₊, ρ₊, 𝐃₊, 𝐇₊) = (\frac{𝐉}{\sqrt{4πε₀}}, \frac{ρ}{\sqrt{4πε₀}}, \sqrt{\frac{4π}{ε₀}} 𝐃, \sqrt{4πμ₀}𝐇),$$ $$(e₊) = (\frac{e}{\sqrt{4πε₀}}),$$ $$(μ₊, ε₊) = (\frac{μ}{μ₀}, \frac{ε}{ε₀}).$$ con o sin extra$4π$'s.

Esto tiene el desafortunado efecto de enturbiar la imagen, al mezclar componentes de la métrica del grupo de indicadores con los propios campos. La dependencia de escala de la métrica bajo la renormalización se mezcla y confunde con la dependencia de escala de los componentes de campo y la carga, uno de los mayores errores y conceptos erróneos propagados en la literatura (aunque hay algunos lugares en la literatura donde ha sido con la regularización y la renormalización descritas en términos de un efecto sobre los coeficientes constitutivos). En realidad, es la métrica la que depende de la escala, en lugar del campo y la carga.

La forma en que puede decir que la "dependencia de escala" de la teoría de la renormalización en realidad pertenece a la métrica del grupo de calibre, en sí misma, es que la renormalización para el potencial$A$y fuerza de campo$F$va como$A₊ ⇒ √Z₃ A₊$,$F₊ ⇒ √Z₃ F₊$ cuando los campos están escritos bajo la convención Gaussiana , y si examinas de cerca tanto esto como el Lagrangiano, verás que el Lagrangiano es como$½ ε₀ (E² ‒ B²c²) ⇒ ½ Z₃ ε₀ (E² ‒ B²c²)$, una vez eliminada la escala gaussiana. Del mismo modo, la escala gaussiana se puede escribir con$√ε₀$en el numerador, como

$$(𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊) = \sqrt{4πε₀} (c𝐀, φ, c𝐁, 𝐄) ⇒ \sqrt{4πε₀Z₃} (c𝐀, φ, c𝐁, 𝐄) = \sqrt{Z₃} (𝐀₊, φ₊, 𝐁₊, 𝐄₊).$$ Entonces, en realidad es$ε₀$eso$Z₃$va con, en lugar de con$A$,$F$o sus componentes!

De manera similar, para la teoría de calibre, el coeficiente$Z₃$pertenece a la métrica del grupo de indicador$k_{ab}$, Que es que$ε₀c$corresponde a. Para cambiar la escala de los campos de una manera análoga a la convención gaussiana, primero sería necesario sacar la raíz cuadrada de la métrica (es decir, una descomposición en valor singular de la métrica). Por lo tanto, normalmente también se supone que la métrica del grupo de indicadores es definida positiva o negativa.

Las Leyes Constitutivas en General con Lagrangianos Invariantes de Lorentz

Las leyes constitutivas planteadas en el punto 8 son las de la acción Yang-Mills. De manera más general, para una teoría de calibre que surge de una acción dada por

$$S = ∫ 𝔏(𝐀,φ,𝐁,𝐄) d⁴x$$ con densidad lagrangiana$𝔏$, las leyes constitutivas pueden escribirse: $$𝐃_a = \frac{∂𝔏}{∂𝐄^a}, 𝐇_a = -\frac{∂𝔏}{∂𝐁^a}, 𝐉_a = \frac{∂𝔏}{∂𝐀^a}, ρ_a = -\frac{∂𝔏}{∂φ^a}$$ Aplicando la variacional $$δ𝔏 = Tr(δ𝐄·𝐃 ‒ δ𝐁·𝐇 + δ𝐀·𝐉 ‒ δφ ρ)$$ y usando las ecuaciones de potencial de campo para reducir$δ𝐄$,$δ𝐁$a$δ𝐀$,$δφ$ $$δ𝔏 = Tr((-∇δφ ‒ \frac{∂(δ𝐀)}{∂t} + δ(φ𝐀 ‒ 𝐀φ))·𝐃 ‒ (∇×(δ𝐀) + δ(𝐀×𝐀))·𝐇 + δ𝐀·𝐉 ‒ δφ ρ)$$ integrar por partes para obtener: $$δ𝔏 = Tr(∇(-δφ·𝐃 ‒ δ𝐀×𝐇) ‒ \frac{∂(δ𝐀·𝐃)}{∂t} + δφ(∇·𝐃 + 𝐀·𝐃 ‒ 𝐃·𝐀 ‒ ρ) ‒ δ𝐀·(∇×𝐇 ‒ \frac{∂𝐃}{∂t} + 𝐀×𝐇 + 𝐇×𝐀 + φ𝐃 ‒ 𝐃φ ‒ 𝐉))$$ y obtener, como resultado, las ecuaciones de campo.

Si el lagrangiano es dependiente de Lorentz, entonces la parte dependiente del campo del lagrangiano sería una función solo de sus invariantes de Lorentz

$$ℑ^{ab} ≡ ½ (𝐄^a·𝐄^b ‒ 𝐁^a·𝐁^b c²),$$ $$𝔍^{ab} ≡ ½ (𝐄^a·𝐁^b + 𝐁^a·𝐄^b),$$ con la ley constitutiva resultante: $$𝐃_a = ε_{ab} 𝐄^b + θ_{ab} 𝐁^b,$$ $$𝐇_a = ε_{ab} c² 𝐁^b ‒ θ_{ab} 𝐄^b,$$ que incluye una versión axial$θ_{ab}$de permitividad, donde los coeficientes son funciones de$ℑ$y$𝔍$ $$ε_{ab}(ℑ,𝔍) = \frac{∂𝔏}{∂ℑ^{ab}}, θ_{ab}(ℑ,𝔍) = \frac{∂𝔏}{∂𝔍^{ab}}$$ tal que $$\frac{∂ε_{ab}}{∂ℑ^{cd}} = \frac{∂ε_{cd}}{∂ℑ^{ab}}, \frac{∂ε_{ab}}{∂𝔍^{cd}} = \frac{∂θ_{cd}}{∂ℑ^{ab}}, \frac{∂θ_{ab}}{∂𝔍^{cd}} = \frac{∂θ_{cd}}{∂𝔍^{ab}}.$$ No necesitan ser constantes. En una teoría cuantificada, se modelarían como "constantes"$ε₀$,$θ₀$que adoptan diferentes apariencias a diferentes escalas, es decir, la esencia misma de la "renormalización", en sí misma, y ​​producirían un flujo de grupo de renormalización correspondiente para los campos y la carga, cuando se escriben en forma gaussiana.

Una consecuencia de estas leyes constitutivas es que el lado derecho de la ecuación de continuidad es 0:

$$𝐃·𝐄 ‒ 𝐄·𝐃 + 𝐁·𝐇 ‒ 𝐇·𝐁 = 0.$$ Por lo tanto, la ecuación de continuidad se reduce a $$∇·𝐉 + \frac{∂ρ}{∂t} + 𝐀·𝐉 ‒ 𝐉·𝐀 + ρφ ‒ φρ = 0,$$ y se cumple la ecuación de Wong (en 6).

El$θ$los coeficientes se definen solo hasta una constante aditiva, ya que las ecuaciones de campo son simétricas bajo la transformada

$$(𝐃_a, 𝐇_a) → (𝐃_a ‒ θ_{0ab} 𝐁^b, 𝐇_a + θ_{0ab} 𝐄^b),$$ que es un residuo y una versión reducida de la simetría de la tez.

Para el electromagnetismo, las condiciones$(ℑ,𝔍) = (0,0)$definir el campo nulo , es decir, el campo asociado con la radiación pura. Entonces, incluso para lagrangianos generales, podemos definir los valores de campo nulo de los coeficientes constitutivos (suprimiendo los índices del álgebra de Lie):

$$ε₀ ≡ ε(0,0), k₀ = ε₀ c, θ₀ ≡ θ(0,0) = 0.$$ este último se puede establecer en 0, utilizando la transformación anterior. En consecuencia, por el Teorema de Taylor (es decir: la forma exacta del Teorema de Taylor, con resto), se deduce que todas las densidades lagrangianas que involucran campos de calibre, si la densidad lagrangiana posee simetría de Lorentz, se pueden escribir como $$𝔏(ℑ,𝔍) = 𝔏(0,0) + k₀ ℑ + ½ (β₀ ℑ ℑ + β₁ (ℑ 𝔍 + 𝔍 ℑ) + β₂ 𝔍 𝔍).$$ Para campos débiles, esto se reduce a $$𝔏(ℑ,𝔍) ≃ 𝔏_M + 𝔏_{YM}$$ dónde $$𝔏_M ≡ 𝔏(0,0), 𝔏_{YM} = k₀ ℑ$$ es la densidad lagrangiana de la materia y de todos los demás campos y$𝔏_{YM}$es el propio lagrangiano de Yang-Mills.

Las leyes constitutivas de los medios isotrópicos

Si el lagrangiano es solo isotrópico (como sería adecuado para medios isotrópicos), en lugar de invariante de impulso, entonces la parte dependiente del campo sería una función de sus invariantes escalares. En ese caso, en realidad sería mejor volver a un tratamiento más cercano a Maxwell, en espíritu, utilizando la densidad de Routhian . $ℜ = 𝔏 + Tr(𝐁·𝐇)$, en lugar de$𝔏$, con la variacional

$$δℜ = Tr(δ𝐄·𝐃 + δ𝐇·𝐁 + ⋯)$$ que trata los campos de "inducción"$𝐃$,$𝐁$como derivados y los campos de "fuerza"$𝐄$,$𝐇$como fundamentales. Las invariantes escalares correspondientes son $$ℑ^{ab} = 𝐄^a·𝐄^b, 𝔍^a_b = ½ 𝐄^a·𝐇_b, 𝔎_{ab} = 𝐇_a·𝐇_b$$ con coeficientes dados por $$κ_{ab} = \frac{∂ℜ}{∂ℑ^{ab}}, λ_a^b = \frac{∂ℜ}{∂𝔍^a_b}, μ^{ab} = \frac{∂ℜ}{∂𝔎_{ab}}$$ y ley constitutiva $$𝐃_a = κ_{ab} 𝐄^b + λ_a^b 𝐇_b,$$ $$𝐁^a = λ_b^a 𝐄^b + μ^{ab} 𝐇_b.$$ Los símbolos del coeficiente dieléctrico $κ$y permeabilidad $μ$en realidad se remontan a Maxwell, quien ideó los nombres por analogía con el coeficiente de resorte$k$y masa$m$. El coeficiente axial$λ$no formaba parte de la exposición de nadie de la teoría clásica, pero está incluida en la lista de posibilidades tal como está$θ$. Ambos son pseudo-escalares, y si son 0, entonces ambos$κ$y$ε$coincidir:$θ_{ab} = 0 ⇔ λ_a^b = 0 ⇒ κ_{ab} = ε_{ab}$.

Cuando están en vacío, están relacionados con el primer conjunto de coeficientes constitutivos por:

$$ε_{ab} = κ_{ab} ‒ λ_a^c μ⁻¹_{cd} λ_b^d,$$ $$θ_{ab} = λ_a^c μ⁻¹_{cb},$$ $$ε_{ab} c² = μ⁻¹_{ab}.$$ Esta relación sólo es consistente si$μ$no es singular; es decir, si la arpillera$\frac{∂²ℜ}{∂𝐇_a ∂𝐇_b}$es no singular. Pero esa ya es la condición previa para poder convertir entre la densidad de Routhian$ℜ$y densidad lagrangiana$𝔏$.

La isotropía es una condición dependiente del marco, en general. Por lo tanto, estas relaciones solo pueden plantearse en un marco. En la época de Maxwell y principios del siglo XX, esto se llamaba el marco estacionario . Para otros marcos, tomarían la forma de

Las relaciones generalizadas de Maxwell-Minkowski:

$$𝐁 ‒ α 𝐆 × 𝐄 = λ (𝐄 + 𝐆 × 𝐁) + μ (𝐇 ‒ 𝐆 × 𝐃),$$ $$𝐃 + α 𝐆 × 𝐇 = κ (𝐄 + 𝐆 × 𝐁) + λ (𝐇 ‒ 𝐆 × 𝐃).$$

Para valores generales de$α$, estas son las ecuaciones adecuadas para una geometría que tiene los siguientes invariantes:

$$dt² ‒ α(dx² + dy² + dz²)$$ $$((∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)²) ‒ α (∂/∂t)²$$ Se especializa en las relaciones de Maxwell-Minkowski cuando$α > 0$, con la velocidad de la luz dada por$c = \sqrt{1/α}$; a su versión no relativista cuando$α = 0$; y a la forma euclidiana 4D$α < 0$, que podría usarse para la teoría del campo euclidiano.

En las relaciones de Maxwell-Minkowski, la invariancia bajo impulsos (generalmente) se rompe y la velocidad$𝐆$marca e identifica el marco distinguido en el que las relaciones constitutivas se reducen a forma isotrópica$𝐁 = λ𝐄 + μ𝐇$,$𝐃 = κ𝐄 + λ𝐇$.

Todo esto se generaliza en consecuencia a los campos de norma, con los coeficientes$κ$,$λ$y$μ$reemplazados respectivamente por$κ_{ab}$,$λ^a_b$y$μ^{ab}$:

$$𝐁^a ‒ α 𝐆 × 𝐄^a = λ^a_b (𝐄^b + 𝐆 × 𝐁^b) + μ^{ab} (𝐇_b ‒ 𝐆 × 𝐃_b),$$ $$𝐃_a + α 𝐆 × 𝐇_a = κ_{ab} (𝐄^b + 𝐆 × 𝐁^b) + λ^b_a (𝐇_b ‒ 𝐆 × 𝐃_b).$$ La matriz del producto$εμ = κμ ‒ λλ^T$tendría entonces una descomposición en valores singulares que, generalizando la relación$εμ = 1/V²$, lo que da la velocidad de onda$V$en el medio, produciría valores propios que darían diferentes velocidades de onda para diferentes modos propios.

Nunca he visto a nadie hacer nada con campos de calibre cuánticos o clásicos para medios en movimiento, por lo que todo esto puede ser nuevo. Pero es la generalización obvia de la teoría clásica de los medios en movimiento para la teoría electromagnética y puede ser posible vincularla directamente con el enfoque Lagrangiano Efectivo utilizado en la Teoría Cuántica de Campos y, de hecho, dar un significado preciso y cuantificar las nociones de "apantallamiento". " o "anti-screening" vacuua y otras formas de medios efectivos.