¿Es el aumento de entropía un teorema?

Consideremos un sistema aislado de$N$partículas cuyo movimiento está determinado por la mecánica newtoniana, a lo largo del tiempo que se extiende desde$-\infty$a$+\infty$. El sistema está aislado, por lo tanto, las únicas fuerzas impulsoras son partículas de interacción por pares, que se supone que no son disipativas. Por lo tanto, la energía, el momento y el momento angular se conservan. El número$N$de partículas es muy, muy grande.

Consideremos la entropía de Boltzmann$S(t) = k \log \Omega(t)$, del microestado en el que se encuentra el sistema en el momento$t$. Aquí,$\Omega(t)$es el número de microestados que se asignan al macroestado en el que se encuentra el sistema en ese momento$t$. Tenga en cuenta que la dinámica del sistema es determinista. Por lo tanto, dadas algunas condiciones iniciales, la función$S(t)$es completamente determinista.

Entonces, espero que haya algún teorema que establezca que, para la gran mayoría de las condiciones iniciales, se cumple la siguiente desigualdad:

en particular, esperaría que la fracción de las condiciones iniciales para las que se cumple tal desigualdad tendería a 1 como$N \rightarrow \infty$. Tal teorema implicaría que los procesos irreversibles emergen de la dinámica microscópica reversible .

Sin embargo, después de buscar en todos los libros de texto posibles que pude poner en mis manos, no he encontrado tal teorema.

Más bien, he encontrado lo siguiente:

1. Para un número suficientemente grande de partículas, la gran mayoría de los microestados se mapean en el llamado estado de equilibrio. Está probado que tal macroestado corresponde al valor más alto posible de la entropía S. Por lo tanto, cuando combino esto con la hipótesis ergódica, concluyo que el sistema pasará una fracción excesivamente alta de su tiempo en un estado con entropía máxima ( hasta fluctuaciones insignificantes). Sin embargo, esto no prueba que la desigualdad$dS/dt > 0, \forall t \in (-\infty, \infty)$. se mantiene para una fracción extremadamente alta de las condiciones iniciales.

2. He encontrado un sistema simple en el que se muestra que si empiezo desde un estado de baja entropía, el sistema evolucionará hacia un estado con mayor entropía con una probabilidad extremadamente alta (en el orden$1-10^{10^{20}}$). El ejemplo más clásico es una caja que contiene$N$pelotas que en un momento determinado$t$todas las bolas están en la misma mitad de la caja (baja entropía). Es fácil probar que después de cierto tiempo todas las bolas ocuparán todo el volumen de la caja (alta entropía), y así permanecerán por un tiempo excesivamente largo (del orden de$10^{10^{20}}$

Sin embargo, si tomo ese mismo conjunto de condiciones iniciales de baja entropía y dejo que el sistema evolucione hacia atrás en el tiempo , encuentro que con una probabilidad extremadamente alta el sistema estuvo en un estado de alta entropía en el pasado. En otras palabras, no veo ninguna irreversibilidad macroscópica que surja de la reversibilidad microscópica.

Se podría considerar una situación en la que una barrera obliga a los balones a permanecer en la mitad izquierda del área y en$t = 0$la barrera se hace desaparecer mágicamente. Es cierto que si la barrera vuelve a aparecer en un instante posterior aleatorio, la probabilidad de que todas las bolas vuelvan a estar en la misma mitad de la caja es extremadamente pequeña. Sin embargo, dicho sistema no está aislado , requiere un operador externo para quitar o agregar la barrera. Incluso si no se realiza ningún trabajo cuando la barrera desaparece/aparece, la desaparición/aparición de la barrera no se desencadena por el movimiento de las bolas.

Entonces, mi pregunta es: ¿Cómo podría derivarse la ley del aumento de la entropía a partir de primeros principios?