Efecto del tiempo en un nodo con un capacitor

Esta pregunta es defectuosa porque en el momento en que se cierra el interruptor$V_O$no está definido por ninguno de los componentes del circuito. Nada en el circuito antes de t=0 define$V_O$.

En t<0 vs está desconectado y el resto del circuito está muerto. va=v 0 =0V

No, esto no es cierto.

Solo piensa en ello. Antes de t = 0, la entrada + Vin al amplificador operacional no tiene un potencial definido; no hay una resistencia que pueda estar "ligeramente" atándola a tierra. Debido a esto, no puedes asumir que está en el suelo. Incluso si supuso que estaba en tierra, la salida aún no está definida porque no se han establecido condiciones de estado estable (antes de t = 0) que podrían dar como resultado una carga conocida en el capacitor. Esto significa que el voltaje de salida,$V_O$está en un nivel indeterminable antes de t=0.

En t = 0, fuerza un voltaje conocido en la entrada + Vin y esto supera la mitad de los problemas, pero aún no está más cerca de determinar qué$V_O$es.

Hagamos suposiciones (EDITAR)

Entonces, dados estos problemas, si tuviera que asumir que antes de t = 0, el capacitor se mantuvo descargado, sucedería lo siguiente cuando se cierra el interruptor. En ese instante, se aplican 20mV a +Vin y para combatir esta discrepancia potencial entre +Vin y -Vin, la salida del amplificador operacional (perfecto, por supuesto) aumenta instantáneamente a +20mV. Lo que sucede a continuación es que el voltaje de salida continúa aumentando linealmente con el tiempo.

Para mantener -Vin al mismo potencial que +Vin (20mV) tiene que haber una corriente constante a través de la resistencia de 20k ohmios de 1uA. Esta corriente solo puede provenir del capacitor de 5uF y para comprender lo que sucede, debe comenzar con la fórmula Q = CV.

Q es la carga en el capacitor y la corriente es la tasa de cambio de Q, por lo tanto: -

$\dfrac{dQ}{dt} = C\dfrac{dV}{dt} = 1\mu A$

La capacitancia es constante a 5uF, por lo tanto$\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{1\times 10^{-6}}{5\times 10^{-6}}$= 0,2 V por segundo.

Entonces, la salida aumenta a 0,2 V por segundo para mantener 1 microamperio a través de la resistencia de 20 k ohmios que, a su vez, mantiene el equilibrio entre +Vin y -Vin.

Regla número 1 : si el amplificador operacional funciona con retroalimentación negativa y no está saturado, los voltajes en las dos entradas siempre son iguales.

Regla número 2 : La corriente de entrada es siempre 0.

Entonces, la corriente a través de la resistencia es igual a la corriente a través del condensador y es:

$$I_C = I_R = \frac{U_S}{R}$$

Entonces, el voltaje en el capacitor será (según$U_C=\frac{Q}{C}$y$I=\frac{dQ}{dt}$):

$$U_C = U_{C0}+\frac{I_C}{C}.t$$ Aquí, $U_{C0}$es el voltaje antes de que se encienda el interruptor.

La tensión de salida es la suma de la tensión del condensador y la tensión de la resistencia:

$$U_0 = U_R+U_C = U_S + U_{C0}+\frac{U_S}{C.R}.t = U_{C0}+U_S.(1+t/\tau)$$