Ecuaciones de Maxwell, medios no lineales y respuesta dinámica

Ecuaciones de Maxwell en el vacío con permitividad eléctrica ϵ 0 y permeabilidad magnética m 0 se dan como:

∇ ⋅ mi → = ρ ϵ 0
∇ ⋅ B → = 0
∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t
∇ × B → = m 0 j → + ϵ 0 m 0 ∂ mi → ∂ t

En los medios materiales, ϵ y m son más grandes o más pequeños que ϵ 0 y m 0 y puede depender de X → e incluso en la dirección de la polarización.

Todo eso me parece bien a primera vista. Sin embargo, en medios no lineales, ϵ y m depender de mi → y B → . Entonces, para medios no lineales, las ecuaciones de Maxwell a menudo se escriben como:

∇ ⋅ mi → = ρ ϵ ( mi → , B → )
∇ ⋅ B → = 0
∇ × mi → = − ∂ B → ∂ t
∇ × B → = m ( mi → , B → ) j → + ϵ ( mi → , B → ) m ( mi → , B → ) ∂ mi → ∂ t

(Como una generalización adicional, ϵ y m a veces se representan como tensores cuyos componentes son funciones de mi → y B → , pero ese no es un tema importante para la pregunta actual).

Mi problema con la versión de medios materiales no lineales de las ecuaciones de Maxwell es que parece suponer una respuesta material instantánea a los cambios. mi → y B → , mientras que parece que cualquier material físicamente plausible solo puede responder en un tiempo finito. Sería como decir que la longitud de un resorte es proporcional a la fuerza aplicada, lo cual es cierto solo cuando la fuerza aplicada cambia muy lentamente. Es decir, espero que cualquier material real tenga una respuesta dinámica a cambios mi → y B → .

Si eso es cierto, entonces parece que debería tener más sentido para la especificación de ϵ y m estar en forma de ecuaciones diferenciales o integrales incluyendo el tiempo. Por supuesto, eso complicaría mucho las matemáticas, pero desde la perspectiva de la física sería más plausible. Mi pregunta: ¿Existe alguna forma de ecuaciones de Maxwell en medios no lineales que tenga en cuenta la respuesta dinámica del medio? Una pregunta de seguimiento sería "¿Existe una forma covariante de Lorentz de esas ecuaciones?"

La ecuación de Maxwell explica la respuesta dinámica al permitir que el índice de refracción sea un número complejo. Esto permite una diferencia de fase entre el campo externo y la respuesta de polarización. Esto es válido para la respuesta lineal y no lineal.
Según tengo entendido, un índice de refracción complejo permite la absorción y amplificación de las ondas EM que pasan por el medio. No veo cómo sería suficiente para dar cuenta de un tipo más general de respuesta dinámica.
Eso es difícil de discutir. ¿Puede dar un ejemplo donde fallaría?
¿Está preguntando si puedo dar un contraejemplo a la idea de que un índice de refracción complejo permite la absorción y amplificación de ondas EM que pasan a través del medio?
Creo que un índice de refracción complejo no hace que las ecuaciones de Maxwell no sean lineales, por lo que no describe el electromagnetismo en un medio no lineal.
No hay ninguna razón por la que un índice de refracción complejo no pueda depender del campo. Lineal o no lineal, un índice de refracción complejo tiene en cuenta la dinámica.
Bien, aquí hay un contraejemplo: imagina un medio que consta de cajas microscópicas que contienen un material conductor pero altamente resistivo, separadas por un material muy delgado y completamente no conductor. Si se aplica un campo eléctrico a través del medio, es posible que no alcance el equilibrio durante varios segundos. Mejor aún, deje que el medio conductor tenga una conductividad dependiente del campo.
En realidad, el segundo conjunto de ecuaciones de MW no parece correcto. Por lo general, epsilon depende del espacio (al menos en el límite) y no puede sacarlo de debajo de la divergencia.

Respuestas (2)

De lo que hablas es de dispersión. La dispersión no es necesariamente un fenómeno no lineal, también ocurre en medios lineales. Además se puede tener dispersión espacial y temporal. La dispersión temporal significa que la respuesta del sistema depende de cuál es el estímulo en ese momento, así como de cuál era antes. La dispersión espacial significa que su respuesta material en la posición A depende de lo que hace el campo en la posición B ≠ A

Hay muchas formas de dar cuenta de estos fenómenos, solo enumeraré cómo se hace en dieléctricos. Otras generalizaciones son similares.

En dieléctrica no trivial tendrías

∇ . D = 0

∇ . B = 0

∇ × mi = − ∂ t B

∇ × B = m 0 ∂ t D

Ahora puede incluir toda su respuesta material compleja en el desplazamiento. ¿Quieres dispersión temporal (caso lineal)? Aquí tienes:

D ( t , r ) = ϵ 0 ∫ − ∞ t d t ′ ϵ r ( t − t ′ , r ) . mi ( t ′ , r )

¿Dispersión espacial (lineal)?

D ( t , r ) = ϵ 0 ∫ d 3 r ′ ϵ r ( t , r − r ′ ) . mi ( t , r ′ )

Para la respuesta no lineal, juega juegos similares pero tiende a usar la densidad de polarización, es decir PAG = D − ϵ 0 mi . No linealidad de segundo orden con dispersión temporal:

PAG ( t , r ) = ∫ − ∞ t d t ′ ∫ − ∞ t d t ″ x ( 2 ) ( t − t ′ , t − t ″ , r ) . mi ( t ′ , r ) . mi ( t ″ , r )

etc... La mayoría de los libros sobre óptica no lineal cubrirán este

PD: ϵ r es el tensor de perimitividad relativa, x ( 2 ) es el tensor de susceptibilidad de segundo orden.

En realidad, no estoy preguntando específicamente sobre la dispersión. Mi interés es cómo describir las no linealidades de campo/material de una manera covariante derivada de Lagrangian.
Disculpa, me equivoque. Bueno, ¿no puedes seguir una ruta similar, pero en lugar de polarización tendrías un tensor de rango 2 asimétrico de polarización-magnetización, que es una función del tensor electromagnético? Una vez que haya hecho esto, puede investigar cómo traer la dispersión, pero probablemente terminará con alguna función de transferencia integrándose sobre la mitad 'pasada' del cono de luz para el punto del espacio-tiempo en cuestión. Lamento ser vago, pero esto no es algo que haya encontrado todavía (aparte del tensor de polarización-magnetización).
He buscado mucha literatura, pero parece que tal vez este tema es lo suficientemente complicado como para desanimar a la mayoría de los teóricos. La mayoría de los artículos relevantes tienen un enfoque muy limitado, como solo permitividad no lineal, medios móviles o imanes de goma con nanopartículas magnéticas incrustadas en ellos; y los que al principio parecen más relevantes a menudo ignoran detalles como la invariancia relativista.
Me interesaría ver una literatura sobre óptica no lineal covariante si la encuentra. ¿Está desarrollando usted mismo el tratamiento teórico o necesita una publicación verificada? Si es el primero, creo que debería comenzar a trabajar con el tensor de polarización-magnetización, que puede conectarse fácilmente a la densidad de Lagrange. Desafortunadamente, no tengo experiencia aquí para dar consejos en los que pueda confiar para que sean buenos.
Creo que estoy hurgando en un territorio poco explorado. Estaré encantado de compartir todo lo que pueda encontrar.
Creo que en realidad estás preguntando sobre la dispersión, porque el hecho de que las cargas en el medio tarden en reaccionar a los campos electromagnéticos que inciden en realidad se manifiesta como dispersión. Además, los medios destruyen la covarianza relativista de las ecuaciones de Maxwell in vacuo y, por lo tanto, no existe una formulación covariante de Lorentz de las ecuaciones de Maxwell en los medios.
@MaxLein no está claro que la dispersión requiera polarización para reaccionar con retraso. Hipotéticamente, incluso si oscila en fase con el campo eléctrico, podría haber dispersión, si la permitividad (real) dependiera de la frecuencia.
Dependencia de frecuencia de ε y m es exactamente equivalente a las relaciones constitutivas que son integrales de convolución en el tiempo. Simplemente tome la transformada de Fourier en el tiempo: luego los productos directos en el espacio de frecuencia se convierten en convoluciones en el dominio del tiempo. (Del mismo modo, la no localidad en el espacio real conduce a la localidad en el espacio de momento).
@S.McGrew Creo que no puedes (fácilmente) hacer eso. Si deriva la energía de la ecuación de Maxwells (teorema de Pointing), obtiene la integral de EdD+HdB según el historial completo de la configuración. Solo para medios lineales esto se reduce a la integral 'normal' ED+HB. Dado que el lagrangiano es en cierto sentido la transformación legendre de la energía, terminas con el mismo problema. Personalmente, creo que usar D y H mientras se ve hermoso no es la forma correcta de pensar en estos problemas para medios no lineales, sino usar un promedio (microscópico a macro) para cada configuración/ajuste individual.

¿Existe alguna forma de ecuaciones de Maxwell en medios no lineales que tenga en cuenta la respuesta dinámica del medio?

Sí, lo hay, pero probablemente no te satisfaga. La forma general es la misma que las ecuaciones habituales de Maxwell para campos en presencia de carga conocida y distribución de corriente en el vacío. Lo único que se supone que cambia el medio material es que las distribuciones ρ , j tienen otro aporte debido al medio material.

Tales ecuaciones de Maxwell no son un sistema completo de ecuaciones diferenciales, sino un sistema subespecificado, por lo que se deben introducir y utilizar algunas otras suposiciones para relacionar las distribuciones de carga y corriente en un lado, y los campos EM en el otro lado.

Estas suposiciones varían con la situación física, como la polarización dieléctrica estática ( PAG es suficiente), magnetización ferromagnética estática ( METRO y j F r mi mi es suficiente), o propagación de ondas EM disipativas de alta frecuencia (es mejor trabajar con algún modelo microscópico y ρ , j directamente). También dependen de la calidad del medio material, que hay de muchos tipos. No existe una formulación general de la teoría EM del medio material que proporcione un sistema cerrado de ecuaciones.

Eso es lo que he estado sospechando. ¿Existen dificultades conceptuales o matemáticas específicas que hayan impedido tal formulación? Si es así, ¿conoce algún documento que discuta las dificultades?
@ S.McGrew La carga y la distribución de corriente en la materia macroscópica dependen de lo que hace una gran cantidad de partículas constituyentes. Para obtener una formulación del tipo que busca, tendría que haber una simplificación universal de un gran número de variables microscópicas en unas pocas variables macroscópicas. Nadie ha encontrado una forma universal de hacerlo, solo existen formulaciones adaptadas a la situación de validez limitada, como se describe en mi respuesta. Hay artículos y libros sobre derivaciones de la teoría EM macroscópica a partir de modelos microscópicos, clásicos y teóricos cuánticos.
Esto fue muy estudiado por físicos holandeses, véase, por ejemplo, SR de Groot, J. Vlieger, Derivation of Maxwell's ecuaciones: La teoría estadística de las ecuaciones macroscópicas , Physica 31, 254-268 doi.org/10.1119/1.1976000
@JánLalinský Gracias por la referencia. El procedimiento general de granulado grueso es parte integrante de cualquier buen libro de texto (p. ej., en el capítulo 6.6 de Electrodinámica clásica de Jackson).
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