Ecuación de onda en diferentes medios

Recientemente me topé con la imagen de arriba que describe la transmitancia parcial, y me preguntaba qué tipo de ecuación modelaría tal onda propagándose a través de diferentes medios. ¿Existe también una ecuación para medios continuos, en oposición a la transición discontinua en la imagen?

Respuestas (1)

Sí.

Simplemente use la ecuación de onda en cualquier lado de la interfaz entre los dos medios y luego imponga las condiciones de suavidad apropiadas en la interfaz. En una dimensión, la ecuación de onda es

∂ 2 y ∂ X 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2
Si, por ejemplo, la onda es una onda transversal a lo largo de una cuerda, entonces y = y ( t , X ) se puede considerar como el desplazamiento transversal de la cuerda en función de la posición X a lo largo del eje horizontal y el tiempo t . El parámetro v en esta ecuación es la velocidad de la onda que está determinada por las propiedades del medio (como su densidad) y es, en general, diferente para diferentes medios.

Cuando tiene una interfaz entre dos medios, como en la animación, uno resuelve la ecuación de onda en cualquier lado de la interfaz y luego impone condiciones de suavidad apropiadas en la interfaz, como la continuidad de y y su primera derivada. Si la interfaz está en X = 0 , entonces estas condiciones se leerían

y ( t , 0 − ) = y ( t , 0 + ) , ∂ y ∂ X ( t , 0 − ) = ∂ y ∂ X ( t , 0 + ) .
Probablemente encontrará la siguiente publicación de physics.SE esclarecedora:

Condiciones de contorno en la ecuación de onda

¿Qué tal cuando no hay una interfaz, sino una transición continua de un medio a otro?
@ user1825464 Oh, en ese caso, simplemente intenta resolver la ecuación de onda con v siendo una función de posición continuamente variable. Por ejemplo, así es como podría tratar una cuerda con una densidad de masa lineal que varía continuamente. Sin embargo, la ecuación se vuelve mucho más difícil de resolver en ese caso.
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