Descripción covariante de la dispersión de la luz en un cilindro que gira rápidamente

Consideremos el siguiente experimento Gedanken :

Un cilindro gira simétricamente alrededor del z eje con velocidad angular Ω y una onda plana con mi ,  B ∝ mi i ( k X − ω t ) se dispersa por ella.

Suponemos conocer la permitividad isotrópica ϵ ( ω ) y permeabilidad m ( ω ) del material del cilindro en reposo . Además, el cilindro es infinitamente largo en z -dirección.

El problema estático ( Ω = 0 ) puede tratarse en términos de la teoría de Mie ; aquí, sin embargo, se necesitará una descripción covariante del sistema para rotaciones muy rápidas (que se supone que son posibles) que causan transformaciones no triviales de ϵ y m .

De ahí mi pregunta:

¿Cuál es la respuesta de dispersión a una onda plana en un cilindro que gira rápidamente?

Disco giratorio http://www.personal.uni-jena.de/~p3firo/PhysicsSE/RotatingDisc.png

Gracias de antemano

¿Qué es "infinito" en ese cilindro?
Gracias @Georg por señalar la formulación engañosa. Quiero decir infinitamente en z -dirección. Lo cambiaré en un segundo :) Saludos
Interesante pregunta de E&M pero huele como un problema de tarea.
@Carl: Puede considerar que todavía hay algunas cosas en la electrodinámica clásica que son de alguna manera problemas básicos pero no estándar de tarea. En mi opinión, la descripción covariante de la electrodinámica en los medios pertenece a esta clase. Saludos
@David Zaslavsky: Me gusta bastante la forma de carta que termina con algunos saludos. Así que revertí tu borrado si no te importa. Saludos
Robert, podría ser útil comenzar con el caso de la luz que incide sobre un medio medio infinito en movimiento (es decir, un plano infinito que divide el espacio en dos materiales diferentes). Ese caso se resuelve de manera trivial (solo aumente el caso para material que no se mueve), y se puede resumir (creo) para dar un caso límite para el cilindro giratorio (en el límite de la longitud de onda pequeña). Pero han pasado 30 años desde que tomé E&M y nunca fue mi "mejor" materia.
@Robert: Hice esa edición no porque tenga ningún problema personal con las firmas, sino porque está prohibido por la política del sitio de Stack Exchange establecida por el equipo de administración. Consulte meta.physics.stackexchange.com/q/360/365#365 . No hemos sido muy particulares sobre esto en el pasado, pero ahora que Jeff ha declarado la posición oficial, vamos a tener que ser más estrictos con respecto a eliminar estas cosas en el futuro. Así que estoy deshaciendo tu reversión; Espero que puedas entender mi razonamiento. Si tiene objeciones, no dude en consultarlas con el equipo de SE.
@David: Ok, puedo verlo ahora. Incluso si encuentro esta regla muy extraña y divertida, la respetaré. Saludos
@Carl: Gracias por la pista. La diferencia con el problema de la reflexión en un medio espacio es el carácter rotacional del sistema. Un intento de resolver el problema es ingresar a un sistema de coordenadas co-rotativas y transformar la onda plana en consecuencia. En este caso, no estoy seguro de si dicho marco es físicamente correcto. La otra forma sería simplemente transformar covariantemente el medio; esto es mucho más general ya que aprenderíamos sobre la relación relativista especial de ϵ y m . Saludos
¿Todavía no hay solución? Tengo curiosidad acerca de esta pregunta durante semanas.
@Diego: No, desafortunadamente tampoco tuve tiempo de hacer más investigaciones yo mismo. Saludos
Creo que, contrariamente al primer impulso de @Carl, esto no solo no es una tarea, sino más bien complicado: incluso para el movimiento en línea recta, el impulso de Lorentz del campo electromagnético produce una transformación de las relaciones constitutivas que hace que su material efectivo sea bianistrópico . Dudo que la rotación con la aceleración efectiva sea más fácil .
¡Sería bueno especificar cómo se relaciona la longitud de onda con el tamaño del cilindro!
@AlexeyBobrick: Entiendo tu punto, pero intencionalmente dejé el tamaño sin determinar. Creo que el problema no radica en los efectos de retardo aquí, es realmente la descripción covariante de ϵ y m . Saludos

Respuestas (3)

Este es un problema muy interesante. En primer lugar, se puede demostrar que cada componente del tensor electromagnético se puede escribir en términos de F 03 . Por simetría axial, la solución será

F ( r ) r mi i ( metro ϕ − ω t )
Resulta que, cuando
0 < ω < metro Ω ,
dónde Ω es la velocidad angular del cilindro en el marco del laboratorio, ¡el coeficiente de reflexión es mayor que 1! Este fenómeno se llama superradiancia.

Se puede encontrar una discusión en la sección V de este documento https://arxiv.org/abs/gr-qc/9803033

En primer lugar, no entiendo muy bien la siguiente frase: "El problema estático (Ω=0) puede tratarse en términos de la Teoría de Mie". La teoría de Mie es para la difracción en una esfera homogénea, no en un cilindro. La solución completa del problema de la difracción de ondas electromagnéticas en un cilindro homogéneo infinito se obtuvo en JR Wait, Can. Revista. de Phys. 33, 189 (1955) (o puede encontrar el esquema de la solución de Wait para una onda cilíndrica en http://arxiv.org/abs/physics/0405091, Sección III). Esta solución es bastante compleja, por lo que sospecho que su problema solo puede resolverse numéricamente, ya que parece significativamente más complejo. El problema de Wait es un caso especial de su problema, por lo que la solución de este último problema no puede ser más simple que la solución de Wait. En particular, parece aconsejable expandir su onda plana en ondas cilíndricas, siguiendo Wait. Parece que las ecuaciones materiales para el cilindro giratorio se pueden obtener siguiendo http://arxiv.org/abs/1104.0574 (Am. J. Phys. 78, 1181 (2010)). Sin embargo, el cilindro no será homogéneo (las propiedades del material dependerán de la distancia al eje y pueden ser anisotrópicos). Sospecho que el problema se puede resolver usando la solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria para los parámetros de las ondas cilíndricas.

¿Puede al menos resolver el problema analíticamente para algunos casos especiales en los que aún Ω ≠ 0 ?
Probablemente. Por ejemplo, para un cilindro perfectamente conductor, la radiación no penetrará significativamente en el cilindro, por lo que el problema sería bastante equivalente al de un cilindro homogéneo. Sin embargo, este caso puede parecer relativamente trivial. De todos modos, me temo que no tengo mucho tiempo ni motivación para resolver este problema. Por ejemplo, no me entusiasma estudiar el AM. J. física. artículo que trata de determinar las propiedades eléctricas del cilindro giratorio. Con el debido respeto, el autor de la pregunta puede estar en una mejor posición para hacerlo.
Gracias @akmeteli por tu aporte. Sin embargo, creo que la determinación de las propiedades del cilindro giratorio está en el centro de este problema: ¿cómo ϵ y m ¿transformar? Saludos
@Robert Filter: Estoy de acuerdo. Sin embargo, este tema se discute, por ejemplo, en la Am. J. física. cité. Sin embargo, no estoy seguro de que sea posible encontrar una solución exacta del problema de difracción para el cilindro no homogéneo (o la solución exacta puede ser demasiado compleja para ser útil).

Mire aquí para obtener algunos detalles. Algunos comentarios sobre la dispersión por un cilindro dieléctrico giratorio . También artículos que los citan.

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