Demostrando rigurosamente la misma tensión en ambos extremos.

Siempre hay un punto en la introducción a la mecánica que me ha estado molestando continuamente desde que tomé mi primer curso de física: ¿Por qué una cuerda sin masa tiene la misma tensión en ambos extremos?

He estado buscando una buena explicación en varios libros de texto en diferentes niveles, pero ninguno de ellos me proporcionó una explicación satisfactoria. ellos tampoco

  1. Indique directamente "suponemos que la cuerda no tiene masa y la polea no tiene fricción, por lo tanto, la tensión debe ser la misma en toda la cuerda" sin más elaboración y continúe con el cálculo,

  2. Afirmar sin razón alguna que "siempre que la cuerda y la polea no tengan masa ni fricción, la tensión será la misma en ambos lados", o

  3. Explique usando muchos argumentos que agitan las manos con respecto a la aceleración infinita, el momento de inercia distinto de cero, etc., en una o dos líneas.

Aunque esos argumentos que agitan las manos del tipo ( 3 ) suenan bastante razonables para mí y me convencerán por un tiempo cada vez que los revise. Pero después de un tiempo, volveré a sentirme mal con todo este concepto de tensión.

Por lo tanto, estoy buscando una prueba rigurosa (en el sentido físico) de exactamente por qué y cuándo la tensión en la cuerda será uniforme, y espero que a partir de eso pueda resolver todas mis dificultades conceptuales.

Tome un segmento recto AB de la cuerda. Si este segmento se mueve en línea recta a lo largo de la línea AB con aceleración a y F A , F B las tensiones en los extremos A,B respectivamente entonces
F A + F B = metro ⋅ a = 0 ⋅ a = 0
entonces F A = − F B .
Parece una pregunta interesante, pero ¿cómo puede una cuerda no tener masa? Incluso el caso académico de una cuerda con rigidez cero tiene una masa lineal. ¿Qué hay detrás de la física? Si la situación es físicamente imposible, entonces puede explicar por qué es difícil o imposible de justificar a menos que recrees un modelo ad hoc (me pregunto si tiene sentido escribir F = metro a cuando no hay masa).
@claudechuber, como de costumbre, tales aproximaciones de Physics 101 no son exactamente físicas, pero a menudo se pueden entender como aproximaciones que son razonables en regímenes físicamente realizables. Una cuerda "sin masa" es aquella que está unida en ambos extremos a algo mucho más masivo que toda la cuerda, de modo que la diferencia en la tensión de la cuerda debido a la masa de la cuerda en sí es mucho menor que la fuerza debida a las cosas unidas. . Vea abajo.
@dmckee Entonces estás diciendo que la ley 2d de Newton F = metro a todavía tiene sentido (se puede aplicar) cuando la masa es cero?
@claudechuber Este método de aplicar directamente la Segunda Ley de Newton y argumentar que la fuerza neta debe ser cero para evitar una aceleración infinita es exactamente cómo me enseñaron a manejar sistemas con este tipo de objeto sin masa idealizado (argumentos de tipo (3)) . Si bien este tipo de análisis suena bastante intuitivo, no me convence demasiado. Es por eso que espero ver una forma más rigurosa de obtener este mismo resultado para un objeto sin masa como caso límite.
-1. ¿Por qué crees que la tensión podría ser diferente en los 2 extremos? No ha ofrecido ningún contraargumento, ni ha señalado ninguna dificultad conceptual con la premisa de que la tensión es la misma. Descartar otros argumentos como "agitar la mano" sin indicar cuáles son esos argumentos (o proporcionar un enlace) no es satisfactorio. Lo que está pidiendo es una prueba que cuenta con su aprobación.
@claudechuber No. Dije que tal situación no es física. Es una forma abreviada de una aproximación en la que la masa de la cuerda es lo suficientemente pequeña como para afectar significativamente las cosas que está tratando de calcular. Como puede ver a continuación, preocuparse explícitamente por la masa de la cuerda en algún momento puede hacer que un cálculo sea lo suficientemente difícil como para oscurecer la lección. A los estudiantes de la primera clase no les conviene arrojarles un montón de matemáticas quisquillosas. Pueden recoger eso la segunda vez.
@dmckee Pero en su respuesta debajo del punto 1, dice "la cuerda está sujeta a una fuerza externa neta cero (por la segunda ley de Newton)", lo que me confunde, ya que entendí que abordó allí el caso de una cuerda sin masa (que era la pregunta). Para el caso de una cuerda con masa, por supuesto, no hay problema. Entiendo la abreviatura que apunta a aproximar el caso de una masa pequeña, pero generalmente las aproximaciones pueden justificarse per se, incluso si no son físicas, mientras que aquí me preocupo por una justificación limpia per se del caso límite sin masa porque veo una dificultad en usando F = metro a en ese caso.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/156413/2451 y enlaces allí.

Respuestas (2)

Solo consideraré cuerdas tensas e inextensibles. Esto representa un régimen de aproximación en el que la tensión es mucho menor que el módulo de Young del material del cable multiplicado por el área de la sección transversal del cable. (Como veremos, esta condición es suficiente para garantizar la conclusión de los segmentos rectos de la cuerda, siempre que sean livianos en comparación con lo que sea que estén unidos).

  1. Comencemos con el caso más fácil: hay un marco de referencia en el que toda la cuerda está quieta.

    En este caso podemos razonar así: la cuerda está sujeta a una fuerza externa neta cero (por la 2da Ley de Newton). Además, cualquier elemento interno de la cuerda debe estar sujeto a fuerzas iguales y opuestas de los elementos vecinos. Esas fuerzas son la tensión en la cuerda, por lo que la tensión es la misma en todas partes.

    [Tenga en cuenta que la cuerda no necesita ser sin masa.]

  2. El siguiente caso más fácil es que la cuerda está en movimiento con velocidad constante a lo largo de su propia longitud, pero puede pasar sobre poleas circulares sin fricción en el rodamiento (pero con suficiente fricción en la ranura para que la cuerda no se deslice) y similares, por lo que cualquier parte de la cuerda puede cambiar de dirección a veces.

    El argumento de la parte (1) se aplica a los segmentos entre las poleas.

    Las poleas en sí no tienen aceleración angular y, por lo tanto, están sujetas a un par neto cero. Entonces, los segmentos a cada lado de la polea tienen la misma tensión porque tienen que ejercer pares iguales y opuestos.

    [Tenga en cuenta que ni la cuerda ni las poleas deben ser sin masa.]

  3. Ahora llegamos a casos en los que la cuerda acelera a lo largo de su propia longitud.

    Si asumimos una cuerda sin masa, cualquier cambio de tensión a lo largo provocaría una aceleración arbitraria. Es un caso desagradable porque no es físico, pero representa una aproximación de un régimen en el que la masa de la cuerda es mucho menor que la masa de cualquier cosa a la que esté conectada. Las máquinas de demostración de Atwood son más o menos así.

  4. Una cuerda recta y maciza (segmento) que acelera a lo largo de su propia longitud. El segmento está sujeto a una fuerza externa neta. F norte = F 1 − F 2 dónde F 1 y F 2 son las fuerzas netas en cada extremo, de modo que la aceleración es a = F norte / metro . Se supone que el segmento de la cuerda tiene una densidad de masa uniforme λ = metro / yo . En cualquier fracción F a lo largo de la cuerda, la tensión debe ser tal que el segmento a cada lado de la división conceptual tenga la misma aceleración (para evitar la extensión sin permitir que se afloje). Así que tensión τ (que es el mismo en cada dirección de la tercera ley de Newton) en la posición F yo debe cumplir con los requisitos

    a 1 = F 1 − τ λ F yo ,
    y
    a 2 = τ − F 2 λ ( 1 − F ) yo ,
    dónde a i es la aceleración del segmento más cercano a la fuerza F i , y a 1 = a 2 se requiere. De este modo
    F 1 − τ λ F yo = τ − F 2 λ ( 1 − F ) yo F 1 − τ F = τ − F 2 1 − F ( 1 − F ) ( F 1 − τ ) = F ( τ − F 2 ) − τ = ( F − 1 ) F 1 − F F 2 τ = F 1 − F F norte .
    Ahora bien, esto depende de F , lo que significa que no es constante, ¿verdad?

    OK, pero el término es F F norte , y F norte = metro a dónde metro es la masa del segmento de cuerda. Entonces, si la cuerda es mucho menos masiva que las cosas unidas a sus extremos, estos términos podrían ser insignificantes en comparación con F 1 (o, de hecho F 2 ya que el etiquetado es arbitrario). Entonces obtenemos

    τ ≈ F 1 ,
    lo que justifica la afirmación del punto (3) de que la condición hipotética "sin masa" es una aproximación de "muy ligera".

  5. A continuación, podríamos dejar que estas cosas pasen por poleas de baja fricción. Podemos recuperar la conclusión de 'la tensión es la misma en todas partes' solo si las poleas también son "muy livianas", de modo que podemos usar un argumento como el del punto (2) porque el par en ellas surgirá de una fuerza pequeña en comparación con F 1 o F 2 .

  6. Una vez que las poleas tienen una masa no trivial y la cuerda está acelerando, se debe suponer que los segmentos tienen diferentes tensiones incluso si la cuerda es liviana.

Muchas gracias, este es exactamente el tipo de "prueba" que estoy buscando. Solo hay un punto que no entiendo (o de alguna manera me perdí): en (4), qué hace que la fuerza F 1 tan especial que aparece en la expresión final de la tensión (y es aproximadamente la tensión para el caso sin masa) pero no F 2 ? Si bien están etiquetados arbitrariamente, son desiguales en general, entonces, ¿qué hace que la ecuación favorezca a uno de ellos sobre el otro?
@AstroK esto solo se debe a la elección de la fracción: en (4) también puede llegar a τ = ( 1 − F ) F norte + F 2 y concluir a continuación que τ ≈ F 2 . Esto no es contradictorio con la afirmación anterior porque si supones que metro es pequeño mientras a permanece constante, entonces F 1 − F 2 = F norte = a metro ≈ 0 .
Sin embargo, en 1., todavía me preocupa el uso de la ley 2d de Newton F = metro a cuando la masa es cero.
@AstroK Como dice claude, es un artefacto del significado de F (que no hice explícito, pero se mide desde el lado de la cuerda donde F 1 Está aplicado. Me he estado preguntando si hay una manera de aclarar esa sección, pero no me ha venido a la mente.

La respuesta a esa pregunta en una palabra es simetría .

De hecho, supongamos que los dos extremos de la cuerda A y B tienen coordenadas − d y d a lo largo de un eje x. Se supone que la cuerda es homogénea, en equilibrio estático. Da igual que tenga masa positiva o no, que sea extensible o no, rígido o no... Lo único que importa es que el problema sea perfectamente simétrico respecto al origen. De ahí las tensiones T A y T B en los dos extremos tienen la misma magnitud y signo opuesto:

T A = − T B .

Tenga en cuenta que no hay necesidad de involucrar las leyes de Newton, el argumento de simetría es suficiente.

Demostrando rigurosamente la misma tensión en ambos extremos.
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v