¿De qué lado debo poner la resistencia?

Primero las resistencias de los interruptores. Mover uno de ellos al lado izquierdo de los interruptores no tiene sentido: solo estaría entre +6 V y tierra y generaría una corriente baja constante. Los interruptores solo verán los 6 V y ni siquiera sabrán que la resistencia está allí.

El 4511 es un CMOS IC, y estos tienen la propiedad de tener una impedancia de entrada muy alta. Tan alto que el voltaje en él puede variar por sí solo si lo dejas desconectado, lo que llamamos flotante. En el mejor de los casos, puede cambiar el número en su pantalla, en el peor de los casos, la entrada puede dañarse. Cuando cierra un interruptor, esto hará que la entrada sea alta, y luego no hay problema.

Pero cuando el interruptor está abierto, desea que la entrada baje. No puede simplemente conectar el pin directamente a tierra, porque cerrar el interruptor provocaría un cortocircuito en la fuente de alimentación. Entonces, usa una resistencia para llevar la entrada a un valor bajo definido. Cuando fluye corriente a través de una resistencia, causará una caída de voltaje debido a la Ley de Ohm, pero con la entrada de alta impedancia no hay ningún lugar del que pueda provenir corriente, y luego el voltaje a través de la resistencia será cero, por lo que la entrada será a nivel de 0 V.

Aquí usan resistencias de 10 kΩ, lo cual está bien. Un valor de resistencia más bajo le dará una conexión a tierra más sólida, pero también generará más corriente cuando cierre el interruptor. Cerrar un interruptor traerá esa entrada a +6 V, y luego fluirá una corriente a través de las resistencias: 6 V/ 10 kΩ = 0,6 mA. Eso es bastante bajo, pero en circuitos de muy baja potencia pueden usar un valor de resistencia más alto; 100 kΩ todavía está bien y reducirá aún más la corriente cuando los interruptores estén cerrados.

Luego las resistencias de la pantalla. Si los LED fueran todos exactamente iguales, podría reemplazar las 7 resistencias por una en el lado del cátodo. Pero este mundo no es perfecto y puede haber pequeñas diferencias en el voltaje de los LED. Si un LED tiene 2 V y su vecino 1,95 V, la corriente irá por este último. Los LED tienen una resistencia interna que equilibrará un poco las corrientes, pero la diferencia en la corriente y, por lo tanto, el brillo seguirán ahí.

Y como señaló Oli, empeora. El voltaje tiene un coeficiente de temperatura negativo, lo que significa que disminuye a medida que aumenta la temperatura. La corriente provoca la disipación de potencia en el LED, lo que aumenta su temperatura. Entonces el LED con la corriente más alta, que ya tenía el voltaje más bajo, verá disminuir aún más su voltaje, por lo que la corriente aumentará aún más. Esto puede conducir a lo que se denomina fuga térmica , y solo la resistencia en serie y el pequeño efecto de equilibrio de la resistencia interna de los LED están ahí para detenerlo.

Esa es una razón para tener una resistencia para cada LED. Otra razón es que no siempre tendrá la misma cantidad de LED encendidos. Si la pantalla muestra un "1", solo hay 2 LED encendidos, con "8" son 7. Suponga que usa una sola resistencia y desea 10 mA a través de sus LED. Si tienen una caída de voltaje de 2 V, su resistencia debería ser (7 V - 2 V)/(7$\times$10 mA) = 71 Ω. Muestre un "8" y los LED obtendrán 10 mA cada uno. Pero para un "1" eso será más alto. La caída de voltaje a través de la resistencia sigue siendo de 5 V, por lo que la corriente seguirá siendo de 70 mA, pero esta vez para solo 2 LED, eso es 35 mA por LED. No solo variará el brillo para cada dígito, sino que los 35 mA pueden ser más altos que el máximo permitido.

Darle a cada LED su propia resistencia resuelve todo eso. La corriente será de cero o 10 mA, sin importar cuántos otros LED estén encendidos y sin importar las pequeñas diferencias en el voltaje de los LED.

Para la pantalla, se necesita una resistencia en cada segmento/LED para evitar que un LED acapare toda la corriente. Esto se debe al hecho de que los LED reales no son ideales y cada LED tiene un voltaje directo ligeramente diferente. Además, si menos de todos ellos están encendidos a la vez, cada LED obtendrá una mayor parte de la corriente disponible.

Si asumimos que coloca una sola resistencia que era 1/8 del valor original (ya que la resistencia única ahora tiene que llevar la corriente para los 7 LED)
Ahora, si todos están encendidos, y un LED tiene un Vf ligeramente más bajo (hacia adelante voltaje) tomará un poco más de la corriente. Esto hará que se caliente, lo que hace que caiga el Vf, por lo que consume un poco más de corriente, y así sucesivamente.

En su ejemplo, veamos qué sucede con una sola resistencia:

Supongamos un voltaje directo de 2 V para cada LED (típico para un LED rojo)

Con un suministro de 6 V y 470 ohmios en cada resistencia, obtenemos (6 - 2) / 470 = 8,5 mA a través de cada LED.

Con el suministro único, para que haya 8,5 mA disponibles para cada LED, necesitamos una resistencia que permita 8,5 mA * 7 = 59,5 mA.
Entonces (6 - 2) / 59,5 mA = 67,2 ohmios (llámelo 67)
Olvidémonos del acaparamiento actual y supongamos que tenemos LED ideales.

Si tenemos los 7 LED encendidos, como se esperaba, obtenemos 59,5 mA / 7 = 8,5 mA cada uno

Para 4 LED encendidos, obtenemos 59,5 mA / 4 = 14,9 mA cada uno (serán más brillantes, pero seguirán estando bien, ya que la mayoría de los LED están clasificados para 20 mA o más)

Para 2 LED encendidos, obtenemos 59,5 mA / 2 = 29,7 mA cada uno, que está por encima de la clasificación de muchos LED estándar.

Por un solo LED obtenemos los 59,5 mA completos, lo que sin duda lo dañará. Entonces, incluso sin el acaparamiento actual, hay un gran problema.

Para el acaparamiento de corriente, este es el caso de tensión constante o accionamiento de corriente constante.
Nota de la aplicación de la unidad BridgeLux LED (página 12 relevante)
Además, una pregunta anterior aquí pregunta sobre esto (todas las respuestas útiles/correctas)

Para los botones, las resistencias no están allí para limitar la corriente, sino para mantener el voltaje de los pines conectado a tierra (0V) cuando el botón está presionado. Esto se debe a que las entradas CMOS tienen una impedancia muy alta, por lo que una entrada "flotante" puede verse fácilmente afectada por una fuente de ruido externa, por lo que la entrada puede oscilar entre 1 y 0 aleatoriamente.
Aquí hay un enlace para referencia.

No podemos poner una sola resistencia en el cátodo porque, según la ley de Ohm, (Voltaje = Resistencia * Corriente) a medida que aumentamos la corriente en la resistencia, también aumentamos la caída de voltaje, lo que significa que la caída de voltaje en los segmentos disminuirá.

El uso de una resistencia para cada segmento nos permite controlar la corriente aplicada a cada segmento individualmente.

Con respecto a las 4 resistencias en las entradas: están ahí para evitar que se apliquen valores flotantes a las entradas. De esa forma, se asegura que las entradas estén siempre bajas a menos que los interruptores estén cerrados.