Esta ecuación es en realidad una pista falsa.

El profesor está discutiendo la cantidad total de masa consumida para crear todos los Benders, que es equivalente a la masa total de todos los Benders si asumimos la conservación de la masa (es decir, masa que entra = masa que sale). Esta es una suposición segura ya que el profesor describe el comportamiento del dispositivo de duplicación como "reorganizar la materia prima" .

Ahora, se necesitaba una serie divergente como dispositivo de trama para ilustrar cómo la replicación de los Benders eventualmente consumiría toda la materia disponible. En este sentido, la ecuación fue satisfactoria en el sentido de que ciertamente es divergente, ya que es una serie armónica generalizada (como Zev identifica correctamente en un comentario). Esto es más fácil de ver cuando se simplifica observando (como hizo OghmaOsiris en su respuesta) que los 2 ⁿ términos se cancelan entre sí:

Sin embargo, esta no es la serie divergente correcta para esta situación.

¿Cuan bajo Puedes ir?...

Primero, tendremos que ignorar los efectos limitantes de los Benders de tamaño atómico. Después de varias generaciones, los Benders se volverían tan pequeños que, si fueran materia "normal", estarían compuestos por un número limitado de moléculas, demasiado pocas para crear una unidad de flexión completa. Sin embargo, una escena muestra a Benders completamente formados pero aún de tamaño atómico manipulando e ingiriendo moléculas, lo que implica que no se forman a partir de materia "normal" sino de materia "reducida". En el universo de Futurama esto es razonable ya que El Profesor se refirió previamente a la existencia (y el costo extravagante) de "pequeños átomos" en el episodio Parasites Lost cuando Bender le pregunta al Profesor acerca de reducirlos:

Bender: Oye, viejo, ¿por qué tenemos que usar esos pequeños micro-droides? ¿No puedes encogernos?

Farnsworth: Oh, vaya, no. Eso requeriría átomos extremadamente pequeños, y ¿los ha valorado últimamente? ¡No estoy hecho de dinero! ¡Déjame en paz!

Entonces, asumiendo que están involucrados "átomos diminutos", podemos calcular con seguridad la masa para un número infinito de generaciones sin preocuparnos por tener Benders que son fracciones de la masa de un átomo normal.

Una mejor elección de ecuación...

Dado que:

1. Cada nueva generación tiene 2 veces más Benders que la generación anterior, y
2. Cada nuevo Bender es una fracción fija de la masa del Bender del que engendró

Entonces, la ecuación correcta para la masa total de todos los Benders (y, por lo tanto, la materia que han consumido) a medida que el número de generaciones se acerca al infinito es esta:

Donde M ₀ es la masa del Bender original y r _mass es la relación entre la masa de una copia de Bender y la del Bender del que se generó. Esta es una serie geométrica , y creo que esta ecuación no es tan interesante como la otra ecuación que usaron. Tal vez eligieron la ecuación que podían mostrar de una manera más compleja, o tal vez simplemente cometieron un error. Así es la ciencia ficción. ;)

Ahora bien, ¿diverge esta ecuación como requiere la premisa del episodio? Si la ecuación es o no convergente se determina por el valor de r _masa . En el episodio, Bender alude a sus primeras 2 copias como "réplicas mías a escala del 60%" . Ya sea que aplique este factor de escala a las dimensiones físicas o a la masa , obtendrá resultados muy diferentes.

Escalando las dimensiones físicas en un 60%...

Si comparamos las alturas y los anchos de los sucesivos Benders, parece que están escalados en un 60%. Usando esta captura de pantalla , tomé algunas medidas aproximadas (que se muestran en rojo):

La relación entre estas medidas resultó ser de 0,594 para el alto y 0,599 para el ancho. Como señala Erik en su respuesta , escalar cada dimensión en 0,6 terminará escalando el volumen (y, por lo tanto, la masa) en un factor de 0,216. _{El uso de este valor para la masa} r nos da una serie convergente que da asíntotas a una masa total de Bender de alrededor de 1,76*M ₀ . ¡Ni siquiera dos Bender en masa!

Dado que muchos / todos los clones de Bender se unen en un punto del episodio para luchar contra un gigante , está bastante claro que hay mucho más que dos Bender en masa de clones. Entonces, aunque las dimensiones físicas parecen escalar en un 60% para cada nueva generación, la masa (de alguna manera) no parece escalar al mismo tiempo. Tal vez haya Benders replicándose a sí mismos más de una vez, lo que invalidaría la primera suposición que hice anteriormente.

Escalando la masa en un 60%...

Si la masa en sí aumenta en un 60 % entre generaciones, entonces _{la masa} r sería 0,6 y la ecuación se vuelve divergente, creciendo sin límites. ¡Sí! ¡Eso es lo que queremos ver! Pero, dadas las discrepancias, es algo así como una victoria vacía, y escribir esta respuesta, aunque fue divertido, fue en gran parte "matemáticamente perturbador" . En última instancia, solo tienes que darte cuenta de que es ciencia ficción , no ciencia , y que los escritores no siempre lo entenderán al 100 %.

... Sin embargo, sigue siendo uno de mis programas favoritos de todos los tiempos. ;)

Es básicamente una suma de 0 a infinito de potencias de 2 multiplicadas por la cantidad original sobre la misma potencia de 2 por n+1. Efectivamente sumando una fracción cada vez más pequeña hasta que la suma se convierte en 0.

Podría reescribirse como:

M = sumatoria(n = 0 -> infinito): (M ₀ /n+1), porque el 2 ⁿ se cancela.

Es posible que desee preguntarle a math.stackexchange.com si me equivoco.

Aquí está mi análisis: ¿alguien puede detectar un defecto? Voy a hacer de este el tema de mi próximo podcast Math Mutation. :-)

En lugar de kilogramos, simplifiquemos nuestros cálculos y midamos la masa en masas Bender, o Bs, donde la masa del Bender original es 1B. ¿Cuál es la masa de los dos semidobladores que crea?

Primero tenemos que definir qué significa '60% del tamaño': creo que sería lógico suponer que estamos reduciendo la medida a .6 veces la original en cada una de las 3 dimensiones: largo, ancho, alto. Asumiendo que la masa es proporcional al volumen, esto significa que la masa de cada mini-Bender es .6*.6*.6 Bs, o .216 veces la masa del Bender original. Entonces, la masa total de los dos medios dobladores es 2*.216 = .432 Bs. De manera similar, la N-ésima generación de Benders debería tener una masa de (.432)^N Bs, ya que su masa es .432 veces la de la generación anterior. Y la suma con la que estamos tratando es (1 + .432 + .432^2 + ...).

Buenas noticias: ¡esta serie converge! La forma más fácil de ver eso es notar que .432 es menor que 1/2, por lo que el término N siempre es menor que (1/2^N), una serie convergente bien conocida que suma 2. (Un resumen rápido La forma de probar esto es mirar el número de base 2 .1111...) Entonces, no importa cuántas réplicas haya, la masa total será menos de 2 Benders, y nuestro planeta está a salvo.

Y los escritores solo estaban jugando con nosotros al mostrar esa ecuación irrelevante en la pantalla.

Soy relativamente novato en matemáticas, así que disculpe si esto es obviamente incorrecto. Pero se me ocurre que tal vez la M en esta ecuación no pretende ser la masa de los Benders resultantes, sino la masa de materia prima que consume cada generación. Eso explicaría por qué se vuelve más pequeño con cada generación. Si se trata de una serie infinita, la amenaza de destrucción global, por supuesto, sigue ahí.

¿Esto tiene sentido?