¿Cuál es la tasa de "Nyquist" para muestrear la derivada de una señal?

Antecedentes: estoy muestreando la corriente a través de un condensador. La señal de interés es el voltaje a través del capacitor. Integraré digitalmente la medida de corriente para obtener el voltaje.

Pregunta: Dado que el voltaje a través del capacitor tiene un ancho de banda limitado y estoy muestreando la derivada de este voltaje, ¿cuál es la frecuencia de muestreo mínima requerida para reconstruir perfectamente la señal de voltaje de las muestras actuales?

Si no hay una respuesta enlatada a esta pregunta, cualquier cosa que pueda orientarme en la dirección correcta sería útil. ¡¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!!

¿Quiere "reconstruir perfectamente" la señal original de las muestras? ¿Qué quieres decir con eso?
La tasa de Nyquist es el doble de la frecuencia más alta en la señal original.
@Dweerberkitty como mencionó Dave, la señal es solo una señal :). Hablando en serio, si está utilizando sistemas de medición real, podría haber retrasos que tendrán un impacto en su operación de derivados. Entonces, si los tiene en cuenta (con un poco de suerte, si el sistema es simple), podría derivar analíticamente el período de muestreo necesario.
"El voltaje a través del capacitor tiene un ancho de banda limitado". ¿Por qué?
@RodrigodeAzevedo, esto es solo una suposición para simplificar la declaración del problema. En realidad, no está limitado por el ancho de banda, pero el rango de frecuencia de interés está bien definido en este problema. ¡Gracias!
@Dweeberkitty Tenga en cuenta que está multiplicando 1 s por s . ¡Oye, una constante!

Respuestas (3)

Tomar una derivada (o una integral) es una operación lineal: no crea ninguna frecuencia que no estuviera en la señal original (ni elimina ninguna), solo cambia sus niveles relativos.

Entonces, la tasa de Nyquist para la derivada es la misma que para la señal original.

Cierto en un mundo ideal en el que hay señales perfectamente limitadas en banda, filtros de paso bajo ideales y ningún ruido térmico en absoluto.
Todo el saldo de SNR cambia. Un pequeño componente de alta frecuencia, que podría convertirse en un alias, pero no hacer mucho debido a su tamaño, puede convertirse en un monstruo considerable, seguro de causar grandes componentes de baja frecuencia en el muestreo.

Tomar la derivada multiplica la transformada por s, lo que efectivamente gira el gráfico de magnitud en sentido contrario a las agujas del reloj. Por lo tanto, bien puede haber componentes de mayor frecuencia en la derivada. Una forma más sucinta de decir esto es que la derivación amplifica el contenido de alta frecuencia.

La transformada de Laplace 1 s + 1 (que sería la respuesta escalonada de un filtro de paso alto de un solo polo)

 bode(tf(1, [ 1 1 ]))

ingrese la descripción de la imagen aquí

La transformada de Laplace de su derivada, s s + 1 

bode(tf([1 0], [ 1 1 ]))

ingrese la descripción de la imagen aquí

La derivada en este caso claramente tiene componentes de mayor frecuencia. Quizás más correctamente, tiene componentes de alta frecuencia mucho más grandes que el no derivado. Uno podría optar por muestrear la primera señal a 200 rads/s con cierta confianza, ya que la energía es muy pequeña a la tasa de nyquist, pero el aliasing sería sustancial si muestreara la derivada a la misma tasa.

Por lo tanto, depende de la naturaleza de la señal. La derivada de una sinusoide será una sinusoide de la misma frecuencia, pero la derivada del ruido de banda limitada tendrá componentes de mayor frecuencia que el ruido.

EDITAR: En respuesta al voto negativo, voy a martillar esta casa con un ejemplo concreto. Permítanme tomar una onda sinusoidal y agregarle un poco de ruido normal aleatorio (una décima parte de la magnitud de la onda sinusoidal)

ingrese la descripción de la imagen aquí

El fft de esta señal es:

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Ahora, permítanme tomar la derivada de la señal:ingrese la descripción de la imagen aquí

y la fft de la derivada

ingrese la descripción de la imagen aquí

Por supuesto, el submuestreo creará un alias de la señal o de la derivada. Los efectos del submuestreo serán modestos para la señal, y el resultado del submuestreo de la derivada será absolutamente inútil.

No estoy seguro de lo que cree que está tramando aquí, pero no son señales de banda limitada.
La transformada de Fourier de una señal y la transformada de Fourier de su derivada.
¿Qué idioma es ese, de todos modos?
Matlab, usando la caja de herramientas de señales
Vaya, caja de herramientas de control, no señales
ah En ese caso, tf()no representa una señal, representa una función de transferencia. Definitivamente no es de banda limitada.
Sí, representa la respuesta escalonada de un filtro de paso alto, que sería exp(-t)u(t), y luego es derivada,
Necesitarías mover la función de transferencia al dominio z
@ laptop2d: el alias se produce en la digitalización y, una vez digitalizada, es demasiado tarde. Las señales analógicas son importantes aquí, no las señales digitales. el dominio s es apropiado. Sería diferente si estuviera muestreando la señal y luego diferenciando digitalmente, por supuesto.
@ScottSeidman Me doy cuenta de eso. También me acabo de dar cuenta de que sin una frecuencia de muestreo establecida por el OP no puede transferirla al dominio z, por lo que mi comentario anterior no tenía sentido
@DaveTweed ¿La edición es convincente en absoluto, o estoy malinterpretando fundamentalmente lo que pregunta el OP?
Todavía te falta el punto de que la señal es de banda limitada. Está agregando ruido sin límite de banda a la señal para demostrar su punto, que está fuera del alcance de la pregunta. Sí, esa es una consideración práctica, pero la pregunta (tal como yo la veo) es teórica.
La señal original es, por supuesto, de banda limitada por la naturaleza de su creación. No le puse una escala de tiempo, pero mi frecuencia de muestreo original es de 100 Hz y, por definición, el ancho de banda está limitado a 50 Hz. El seno es 0,1 Hz. Submuestreo de imagen a 1 Hz o 10 Hz. Esto no es teórico. Esto es lo que sucedería en este SNR.

no puedes

La integración solo le informará sobre cómo cambia el voltaje durante el tiempo que está muestreando.

Sin embargo, el condensador siempre comenzará con algo de carga presente, por lo que habrá algo de voltaje inicial. Su cálculo no puede conocer ese voltaje, por lo que no puede conocer el voltaje real a través del capacitor durante su tiempo de medición. Esto debería ser familiar de las clases de matemáticas: siempre integras entre dos puntos.

También tiene el problema de que, aunque sus muestras de medición actuales están limitadas por Nyquist, es posible que la corriente real a través del capacitor no lo esté. A menos que pueda garantizar que la corriente a través del condensador tiene un filtro de paso bajo duro en algún lugar por debajo del límite de Nyquist, nunca podrá medir la corriente con la precisión suficiente para reproducir el voltaje. Debo aclarar que esto es matemáticamente imposible, porque requeriría una frecuencia de muestreo infinita.

Pero si conoce el voltaje de arranque y si la corriente real a través del condensador tiene un filtro de paso bajo adecuado, entonces DaveTweed tiene razón en que el límite de Nyquist para la integral es el mismo que para los datos muestreados.

No veo por qué necesita hacer una diferencia entre la corriente real a través del capacitor y el valor medido de banda limitada. ¿Qué tiene de mágico esta situación en la que ya no se aplica la bien conocida linealidad de las derivadas, los filtros y la integración?
@pipe En una palabra, muestreo. Supongamos que estamos muestreando a 1kHz. Ahora supongamos que tenemos un pico de corriente de 0,5 ms de largo. La versión muestreada nunca verá el pico, pero el voltaje real del capacitor ciertamente lo hará. Luego tienes los errores residuales entre cada forma de integración digital y el valor real. Y ni siquiera he comenzado con nada relacionado con la resolución, que es otra lata de gusanos.
Pero la energía en ese pulso se extenderá en bandas que verá la muestra . Por ejemplo: un tren de pulsos con pulsos muy cortos, después de la limitación de banda, ascenderá a un nivel de CC ligeramente elevado. El área de su pulso seguirá siendo la misma, y ​​la integración de la versión de banda limitada termina con el mismo resultado.
¿Cuál es la tasa de "Nyquist" para muestrear la derivada de una señal?
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