The Wall of Darkness de Arthur C. Clarke (1949) es una pieza de ficción matemática, generalmente citada en círculos semiacadémicos como una ilustración de la geometría de la banda de Moebius .
Se trata de un universo con un solo sol y planeta, pero sin otras estrellas. Supuestamente, el mundo siempre se mantuvo ligero, con solo un ligero cambio cuando el sol se ocultaba un poco en el horizonte en invierno. Su planeta tiene un norte inhóspitamente cálido, un centro templado y un sur extremadamente frío. El sur es árido, a excepción de un muro infranqueable que se extiende por todo el mundo en un punto tan al sur que la gente apenas puede alcanzarlo durante el verano, cuando las cosas se calientan.
Corre el rumor de que ver lo que hay al otro lado del muro enloquecerá a un hombre. Pero un tipo rico y curioso llamado Shervane decide que tiene que hacerlo de todos modos. En un proyecto masivo que lleva más de 7 años, tiene una serie de plataformas construidas y camina sobre la pared, asegurándose de que su amigo explote todo si sucede algo horrible.
Luego se aleja del sol, que se oscurece detrás de él mientras camina, y frente a él aparece otro sol y se vuelve brillante. Cuando se acerca al borde de la pared, ve a su amigo (a quien dejó atrás) mirándolo.
Luego hacen explotar las plataformas, para que nadie más pueda volver a intentar romper el muro, diciendo que era necesario. Se imagina en su mente a otro él haciendo estallar la plataforma del otro lado, pero dice que claro que eso es imposible, ya que él es el único hombre en el mundo que sabe con certeza que EL MURO TIENE UN SOLO LADO.
La geometría de la tira de Moebius también se explica en la historia, a través de un profesor del protagonista.
Pero claro, como bien debe saber el autor, la cinta de Mobius es bidimensional y cualquier modelo del universo (en su historia) tiene que ser tridimensional.
Ahora, una botella de Klein generalmente se considera un equivalente dimensional superior de la banda de Moebius. Si bien esto es claramente un concepto erróneo (la "botella" de Klein es una superficie bidimensional, al igual que la tira de Moebius, solo que parece encerrar un volumen diferente al otro), bien podría ser que el modelo involucrado aquí sea el "adentro". de la botella de Klein o, de manera equivalente, que el universo tiene la botella de Klein como límite. Pero no puedo reconocer cómo funciona exactamente la "situación del muro" con un universo en tal forma.
Se ha sugerido que la pared se construye sobre el cuello de la botella. Pero una mirada a la figura mostrará que una persona que camina "a través de la parte superior" de tal muro verá solo la región más allá, no el mismo lado. La propiedad de la botella de Klein (análoga a la banda de Moebius que tiene solo un lado y no dos) es que tiene solo una de las paridades izquierda y derecha, y solo una de adentro y afuera. Para que nuestro muro funcione de la manera prevista, tiene que "atravesar" la "superficie" conectando el falso interior y el falso exterior, lo cual no tiene ningún sentido.
También se ha comentado que la historia está tratando de sonar más impresionante de lo que realmente es. Pero podría ser solo que el autor no pretendiera más que una pieza de humor centrada en la filosofía de nuestra existencia y nuestra búsqueda en "el gran desconocido".
¿Alguien puede señalar cuál es la geometría adecuada de este universo? Lo que significa reconocer qué forma matemática conocida, una superficie tridimensional, la modela con precisión.
El resumen de la historia y los comentarios anteriores se copian de aquí .
EDITAR: También permitimos superficies 3D ramificadas cuando decimos superficie 3D, lo que parece necesario en vista de la discusión que siguió a la respuesta de Kyle Jones.
tl; dr La variedad que rodea el universo de Shervane se llama mango de Alicia .
Para simplificar la explicación y facilitar la visualización, imagina que nuestro héroe Shervane es un ser bidimensional que vive en una superficie 2D finita, una región circular recortada de un plano. Visto desde arriba, Shervane se parece a la letra R mientras se mueve por su mundo. Mirando hacia abajo, vemos a Shervane deslizándose hacia el borde de su mundo y el olvido. Para salvarlo, añadimos una larga franja de espacio al borde de su universo para que cuando llegue al borde anterior no se eleve a la nada. Doblamos la tira suavemente en la tercera dimensión para que se conecte de nuevo al borde del disco donde comenzó. El universo de Shervane es ahora (más o menos) un disco con un cilindro contra su borde. Ahora bien, si Shervane sigue caminando, atraviesa el exterior del cilindro y eventualmente termina donde comenzó, excepto que se mueve en la dirección opuesta.
Desafortunadamente, el viaje a través de la tercera dimensión también ha cambiado a Shervane, de modo que ahora es su propia imagen en el espejo. Desde arriba, ahora parece la letra Я en lugar de R. Su izquierda es la derecha de todos los demás y viceversa. Para evitar que Shervane se voltee, agregamos medio giro a la tira que pegamos en el borde del disco para que Shervane obtenga un giro adicional antes de regresar al disco.
Ese medio giro que agregamos convierte la tira que agregamos en una tira de Moebius, por lo que ahora el universo de Shervane parece un disco con su borde tangente a la superficie de una tira de Moebius, esto en lugar de un disco contra un cilindro. Para evitar que Shervane se salga del disco en otra dirección, debemos rodear todo el disco con estas tiras retorcidas. También debemos pegar los bordes de las tiras para que no pueda salirse de esos bordes. Si pegas los bordes de una tira de Moebius, obtienes la superficie de Klein . Entonces, si Shervane viviera en Flatland, para que la historia funcione, su disco plano tendría que tener sus bordes rodeados y tangentes a una superficie de Klein unificada. (Si no nos importara invertir la izquierda y la derecha de Shervane, sería suficiente un disco con todo su borde tangente a la superficie del toro).
Para hacer que la historia funcione en un universo tridimensional, el universo de Shervane tendría que estar rodeado no por una superficie de Klein, sino por cualquier análogo 3D de la superficie de Klein. El término para tal variedad es un mango de Alice o un agujero de gusano no orientable.
@N Unnikrishnan escribió en los comentarios anteriores: "Me imagino que la superficie del planeta tiene forma de toro y la pared de un lado está en el ecuador interior". No creo que esto sea cierto, porque:
El mundo de Shervane estaba "girando la misma cara siempre hacia su sol solitario". (Clarke llama a este lado del mundo el "norte") Entonces debe hacer una revolución alrededor del sol y alrededor de su eje al mismo tiempo, al igual que la Luna alrededor de la Tierra.
"El viaje por tierra y mar ... no se puede acortar más que un poco viajando tan al norte como uno se atreva". Esto significa que el norte, menor es la circunferencia de este mundo.
Basado en 1 y 2, supongo que desde la pared hasta el polo norte, este mundo es un hemisferio o algo así. No entiendo cómo explicar el cambio de estaciones en este modelo. Pero en un modelo con toro, esto me parece una tarea aún más difícil.
en cuanto a la frontera sur de este mundo, si reemplazas el disco con un hemisferio, me gusta tu idea.
¿Será que en la zona donde se levantó el muro, el planeta está en contacto con el límite de este universo?
Tanto en una tira de Moebius como en una botella de Klein, el "giro" y la reconexión están en una dimensión superior. La tira es 1D y la botella es 2D. Es un error pensar que la botella se "atraviesa" sola. Una verdadera botella de Klein no tiene agujero, a diferencia de la imagen física que vemos.
Para hacer que una región del espacio 3D "no tenga otro lado", necesita doblar el espacio mismo y conectarlo retorcido hacia atrás en dimensiones más altas. Si haces eso, eventualmente te encontrarás en el punto de origen sin darte la vuelta.
Ni siquiera se puede hacer correctamente una botella de Klein, por lo que no hay una representación real de este espacio más de lo que hay para un tesseract, el análogo 4-D de un cubo.
hipnótico