¿Cuál es la distribución de probabilidad para los tiempos de detección de emisiones radiactivas de una muestra radiactiva?

La función de densidad de probabilidad del número de átomos después del tiempo.$t$viene dado por la distribución de Poisson, como ya lo dijo Jon Custer en su comentario. Este es un resultado estándar en física y encontrará muchas referencias. Sin embargo, la distribución de los tiempos entre dos decaimientos está dada por la distribución exponencial . La distribución exponencial es la distribución, que no tiene memoria .

¿Qué significa esta propiedad sin memoria? Suponga que la probabilidad de observar al menos un decaimiento durante el intervalo de tiempo$dt$es dado por$P_1 = P(X<= dt)$. Además supongamos que ya esperamos el tiempo$T$y durante ese tiempo no ocurrió ninguna descomposición. La propiedad sin memoria significa que la probabilidad de que observemos un decaimiento durante el intervalo de tiempo$[T, T+dt]$es también$P_1 = P(X<= dt)$. Por lo tanto, no importa cuánto tiempo esperemos, mientras no haya decaimiento, la probabilidad de observar un decaimiento no cambia. Esto es exactamente lo que esperaríamos de un proceso aleatorio, como una desintegración radiactiva. por ejemplo en un$\beta^-$- descomposición no hay "acumulación" de la descomposición. En cambio, el neutrón se descompone repentinamente en sus constituyentes.

Poissoniano vs. proceso de muerte puro
Contrariamente a la intuición inmediata (reflejada en los comentarios y en la versión anterior de mi propia respuesta), no estamos tratando aquí con un proceso de Poisson , sino con un proceso de muerte puro (llamado así como un caso particular de más proceso general de nacimiento y muerte ). Ambos son procesos markovianos, donde la probabilidad del próximo evento depende solo de los parámetros del evento anterior. Sin embargo, en un proceso de Poisson esta probabilidad no depende del número total de eventos anteriores, mientras que en el proceso de muerte pura sí lo es.

La probabilidad de tener$n$átomos no decaídos se describe mediante las siguientes ecuaciones:

$$\dot{p}_n(t) = -\lambda np_n(t) + \lambda (n+1)p_{n+1}(t), n>0,\\ \dot{p}_0(t) = \lambda p_1(t)$$ El primer término describe la reducción de la probabilidad de tener$n$átomos debido a la descomposición de un átomo entre$n$, el segundo término describe el aumento de esta probabilidad a través de la descomposición de un átomo entre$n+1$. La diferencia con el proceso de Poisson es la presencia de factores$n$y$n+1$en las tasas, lo que refleja el hecho de que la probabilidad de que un átomo se desintegre es proporcional al número de átomos.

Las ecuaciones anteriores se pueden convertir fácilmente a la ecuación para el número promedio de átomos,

$$N(t) = \sum_0^{N_0}p_n(t)$$ con solucion $$N(t)=N_0e^{-t/T}.$$

Probabilidad de supervivencia y probabilidad de transición
Por lo tanto, la probabilidad de supervivencia , es decir, la probabilidad de que después de un evento de decaimiento en el tiempo$t'$no observamos otro evento de descomposición hasta el momento$t$es

$$S(t|n,t')=e^{-\lambda n(t-t')},$$ mientras que la densidad de probabilidad de otro decaimiento en el tiempo$t$es $$f(n-1, t|n, t') = -\frac{d}{dt}S(t|n,t') = \lambda n e^{-\lambda n(t-t')}$$

Densidad de probabilidad conjunta de múltiples eventos
La densidad de probabilidad conjunta de eventos que ocurren a veces$t_M>t_{M-1}>...>t_2>t_1$, tendido en el intervalo$[t_0, t]$, condicionado a tener$N_0$átomos en$t_0$, entonces viene dada por

$$f(t, t_M, t_{M-1}, ..., t_2, t_1|N_0)=\\S(t|t_M, N_0-M)f(N_0-M, t_M|N_0-M+1, t_{M-1})...f(N_0-2, t_2|N_0-1, t_1)f(N_0-1, t_1|N_0, t_0)=\\ S(t|t_M, N_0-M)\prod_{m=1}^Mf(N_0-m, t_m|N_0-m+1, t_{m-1})$$

Referencias
Como texto matemático general (aunque un poco avanzado) sobre procesos puntuales y análisis de supervivencia sugiero Aalen et al., Survival and event history analysis

Actualizar
agrego para completar la solución para$p_n(t)$:

$$P(n, t|N_0) = \begin{cases} {N_0\choose n}e^{-n\lambda t}\left(1-e^{-\lambda t}\right)^{N_0-n}, \text{ for } n\leq N_0,\\ 0, \text{ otherwise}. \end{cases}$$

Si su tiempo de muestreo es comparable a la vida útil$T$de su emisor, entonces la distribución de conteos no será uniforme sino exponencial: en dos pequeños contenedores separados por$T$, el contenedor anterior tendrá más conteos por un factor de$e$.

Si muestrea por un tiempo$\delta t$eso es corto en comparación con la vida útil del emisor,$\delta t \ll T$, todavía hay una pendiente$\frac{d}{dt}N(t) = - N(t)/T$en la tasa de conteo. Si ignora las derivadas más altas, esperaría que cada intervalo de tiempo contuviera menos conteos que su predecesor por un factor de$\delta t / T$. Sin embargo, si puede distinguir entre las tasas de conteo en contenedores adyacentes depende del número absoluto de conteos que incluya. Gracias a las estadísticas de Poisson, dos intervalos de tiempo que se predice que recibirán$N$los conteos realmente recibirán$N\pm\sqrt N$. Entonces, si quisiera distinguir dos intervalos de tiempo adyacentes que tienen ancho$\delta t/T = 1\%$, el número de conteos en cada contenedor necesarios para hacerlo con confianza estadística es algo así como$\frac{1}{\sqrt{1\%}} = 10^4$. Si el número de decaimientos detectados en cada intervalo de tiempo es pequeño, será imposible distinguir entre el decaimiento exponencial real y su suposición de una distribución uniforme.

Usted está interesado en la llegada de eventos dentro de un intervalo de tiempo único, a lo que le digo: reduzca sus intervalos de tiempo y use mi análisis.

La distribución de intervalos entre eventos relacionados sucesivos también está relacionada con la distribución de Poisson, aunque de una manera convolucionada. Suponga que sus eventos ocurren uniformemente, a una tasa promedio de$1/\tau$, pero independientes y no correlacionados. Su primer evento inicia un reloj, que no es menos arbitrario que cualquier otro punto de partida. Si esperas hasta$\tau$después de tu reloj esperas haber observado$1\pm1$otros eventos; si esperas hasta$2\tau$esperas haber observado$2\pm\sqrt2$otros eventos; si esperas hasta$10\tau$esperas haber observado$10\pm\sqrt{10}$más eventos. Puede invertir esto y decir que la probabilidad de tener$10\tau$(o más) entre dos eventos sucesivos es igual a la probabilidad de sacar un cero de una distribución de Poisson con media$10$: pequeño, pero no despreciable. La probabilidad de tener$\tau$(o más) entre eventos sucesivos es igual a la probabilidad de sacar cero de una distribución de Poisson con media$1$: acerca de$1/e$.

Si haces la integral de este proceso, aprenderás que los tiempos entre llegadas están descritos por la distribución exponencial .