¿Cuál es la condición para que la densidad numérica de un gas sea ultrarrelativista o no relativista y degenerada o ideal?

Este es un libro bastante estándar que no voy a reproducir y debe comprender que las líneas en su diagrama son "borrosas" en el sentido de que marcan los lugares donde no puede usar una aproximación u otra.

Primero, la división entre un gas clásico y un gas cuántico (tenga en cuenta que todos los gases en su diagrama son ideales; el término ideal se refiere a que las partículas son puntuales y no interactúan, lo cual es cierto para los electrones en un enana blanca como las de la atmósfera del Sol). La condición aquí es que para un gas clásico, la combinación densidad/temperatura debe ser tal que el espacio de fase (3d impulso$\times$volumen) ocupado por cada partícula es mucho mayor que$\hbar^3$. Esto asegura que haya más estados cuánticos disponibles que electrones indistinguibles para llenarlos.

El segundo criterio es comparar el momento de las partículas con$mc$. Claramente, si estos son comparables, entonces las partículas son relativistas. En un gas clásico, el impulso depende de la raíz cuadrada de la temperatura, como cita. En un gas cuántico de Fermi-Dirac, el momento máximo solo depende de la densidad de las partículas (como$n^{1/3}$). De ahí la diferencia de criterios.