¿Cuál es exactamente el papel de la retención de orden cero en un sistema híbrido de datos muestreados analógico/digital?

Configuración

Consideramos un sistema con una señal de entrada$x(t)$, y para mayor claridad nos referimos a los valores de$x(t)$como voltajes, cuando sea necesario. Nuestro periodo de muestra es$T$, y la frecuencia de muestreo correspondiente es$f_s \triangleq 1/T$.

Para la transformada de Fourier, elegimos las convenciones

$$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$$ dando la transformada inversa de Fourier $$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$$ Tenga en cuenta que con estas convenciones, $X$es una función de la variable de Laplace $s = i \omega = i 2 \pi f$.

Muestreo y reconstrucción ideales

Partamos del muestreo ideal: según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , dada una señal$x(t)$que está limitado en banda a$f < \frac{1}{2} f_s$, es decir

$$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$$ entonces la señal original se puede reconstruir perfectamente a partir de las muestras $x[n] \triangleq x(n T)$, donde $n\in \mathbb{Z}$. En otras palabras, dada la condición sobre el ancho de banda de la señal (llamado criterio de Nyquist ), es suficiente conocer sus valores instantáneos en puntos discretos equidistantes en el tiempo.

El teorema de muestreo también da un método explícito para llevar a cabo la reconstrucción. Justifiquemos esto de una manera que será útil en lo que sigue: estimemos la transformada de Fourier$X(i 2 \pi f)$de una señal$x(t)$por su suma de Riemann con paso$T$:

$$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$$ donde $\Delta t = T$. Reescribamos esto como una integral, para cuantificar el error que estamos cometiendo: $$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$$ donde usamos el teorema de convolución en el producto de $x(t)$y la función de muestreo $\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$, el hecho de que la transformada de Fourier de la función de muestreo sea $\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$, y realizó la integral sobre las funciones delta.

Tenga en cuenta que el lado izquierdo es exactamente$T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$, donde$X_{1/T}(i 2 \pi f T)$es la transformada de Fourier en tiempo discreto de la señal muestreada correspondiente$x[n] \triangleq x(n T)$, con$f T$la frecuencia de tiempo discreto adimensional.

Aquí vemos la razón esencial detrás del criterio de Nyquist: es exactamente lo que se requiere para garantizar que los términos de la suma no se superpongan. Con el criterio de Nyquist, la suma anterior se reduce a la extensión periódica del espectro desde el intervalo$[-f_s/2, f_s/2]$a toda la línea real.

Desde la DTFT en$\eqref{discreteft}$tiene la misma transformada de Fourier en el intervalo$[-f_s/2, f_s/2]$como nuestra señal original, simplemente podemos multiplicarla por la función rectangular$\mathrm{rect}(f/f_s)$y recuperar la señal original. A través del teorema de convolución , esto equivale a convolucionar el peine de Dirac con la transformada de Fourier de la función rectangular, que en nuestras convenciones es

$$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$$ donde la función sinc normalizada es $$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$ Luego, la convolución simplemente reemplaza cada delta de Dirac en el peine de Dirac con una función sinc desplazada a la posición del delta, dando $$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$$ Esta es la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon .

Muestreo no ideal

Para traducir la teoría anterior al mundo real, la parte más difícil es garantizar la limitación de banda, que debe realizarse antes del muestreo. Para los propósitos de esta respuesta, asumimos que esto se ha hecho. La tarea restante es entonces tomar muestras de los valores instantáneos de la señal. Dado que un ADC real necesitará una cantidad finita de tiempo para formar la aproximación a la muestra, la implementación habitual almacenará el valor de la señal en un circuito de muestreo y retención, a partir del cual se forma la aproximación digital.

Aunque esto se parece mucho a una retención de orden cero, es un proceso distinto: el valor obtenido de la muestra y la retención es exactamente el valor instantáneo de la señal, hasta la aproximación de que la señal permanece constante para el duración que se tarda en cargar el condensador que contiene el valor de la muestra. Esto suele lograrse bien con los sistemas del mundo real.

Por lo tanto, podemos decir que un ADC del mundo real, ignorando el problema de la limitación de banda, es una muy buena aproximación al caso del muestreo ideal, y específicamente la "escalera" que proviene del muestreo y retención no provoca ningún error en el muestreo por sí mismo.

Reconstrucción no ideal

Para la reconstrucción, el objetivo es encontrar un circuito electrónico que cumpla con la suma de senos que aparece en$\eqref{sumofsinc}$. Dado que el sinc tiene una extensión infinita en el tiempo, está bastante claro que esto no se puede realizar exactamente. Además, formar tal suma de señales incluso en una aproximación razonable requeriría múltiples subcircuitos y rápidamente se volvería muy complejo. Por lo tanto, generalmente se usa una aproximación mucho más simple: en cada instante de muestreo, se emite un voltaje correspondiente al valor de la muestra y se mantiene constante hasta el siguiente instante de muestreo (aunque vea la modulación Delta-sigma para ver un ejemplo de un método alternativo). Esta es la retención de orden cero y corresponde a reemplazar el sinc que usamos anteriormente con la función de rectángulo$1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$. Evaluación de la convolución

$$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$$ usando la propiedad definitoria de la función delta, vemos que esto da como resultado la clásica forma de onda de escalera de tiempo continuo. el factor de $1/T$entra para cancelar el $T$introducido en $\eqref{discreteft}$. Que tal factor es necesario también queda claro por el hecho de que las unidades de una respuesta de impulso son 1/tiempo.

El cambio por$-1/2 T$es simplemente garantizar la causalidad . Esto solo equivale a un cambio de la salida en 1/2 muestra en relación con el uso$1/T \mathrm{rect}(1/T)$(lo que puede tener consecuencias en sistemas en tiempo real o cuando se necesita una sincronización muy precisa con eventos externos), que ignoraremos en lo que sigue.

Comparando de nuevo a$\eqref{discreteft}$, hemos reemplazado la función rectangular en el dominio de la frecuencia, que dejó la banda base completamente intacta y eliminó todas las copias de frecuencias más altas del espectro, llamadas imágenes , con la transformada de Fourier de la función$1/T \mathrm{rect}(t/T)$. esto es por supuesto

$$\mathrm{sinc}(f/f_s).$$

Tenga en cuenta que la lógica se invierte un poco del caso ideal: allí definimos nuestro objetivo, que era eliminar las imágenes, en el dominio de la frecuencia, y derivamos las consecuencias en el dominio del tiempo. Aquí definimos cómo reconstruir en el dominio del tiempo (ya que eso es lo que sabemos hacer), y derivamos las consecuencias en el dominio de la frecuencia.

Entonces, el resultado de la retención de orden cero es que, en lugar de la ventana rectangular en el dominio de la frecuencia, terminamos con el sinc como una función de ventana. Por lo tanto:

• La respuesta de frecuencia ya no está limitada por banda. Más bien se descompone como$1/f$, siendo las frecuencias superiores imágenes de la señal original
• en la banda base, la respuesta ya decae considerablemente, alcanzando unos -4 dB en$1/2 f_s$

En general, la retención de orden cero se usa para aproximar la función sinc en el dominio del tiempo que aparece en la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon . Al muestrear, el muestreo y retención de aspecto similar es una solución técnica al problema de estimar el valor instantáneo de la señal y no produce ningún error en sí mismo.

Tenga en cuenta que tampoco se pierde información en la reconstrucción, ya que siempre podemos filtrar las imágenes de alta frecuencia después de la retención inicial de orden cero. La pérdida de ganancia también se puede compensar con un filtro sinc inverso, ya sea antes o después del DAC. Entonces, desde un punto de vista más práctico, la retención de orden cero se usa para construir una aproximación implementable inicial a la reconstrucción ideal, que luego se puede mejorar aún más, si es necesario.

La retención de orden cero tiene la función de aproximar el delta y$\mathrm{sinc}$-funciones que aparecen en el teorema de muestreo, según corresponda.

En aras de la claridad, considero un sistema ADC/DAC con una señal de voltaje. Sin embargo, todo lo siguiente se aplica a cualquier sistema de muestreo con el cambio de unidades apropiado. También asumo que la señal de entrada ya ha sido mágicamente limitada en banda para cumplir con el criterio de Nyquist.

Comience con el muestreo: idealmente, uno muestrearía el valor de la señal de entrada en un solo instante. Dado que los ADC reales necesitan una cantidad finita de tiempo para formar su aproximación, el voltaje instantáneo se aproxima mediante el muestreo y retención (la instantánea se aproxima por el tiempo de conmutación utilizado para cargar el capacitor). Entonces, en esencia, la retención convierte el problema de aplicar un funcional delta a la señal en el problema de medir un voltaje constante.

Tenga en cuenta aquí que la diferencia entre la señal de entrada que se multiplica por un tren de impulsos o una retención de orden cero que se aplica en los mismos instantes es simplemente una cuestión de interpretación, ya que, sin embargo, el ADC almacenará solo los voltajes instantáneos que se mantienen. Uno puede reconstruirse a partir del otro. A los efectos de esta respuesta, adoptaré la interpretación de que la señal muestreada es la señal de tiempo continuo de la forma

$$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$$ donde $V_\mathrm{ref}$es el voltaje de referencia del ADC/DAC, $n$es el número de bits, $x_k$son las muestras representadas de la forma habitual como números enteros, y $\Delta t$es el período de muestreo. Esta interpretación un tanto poco convencional tiene la ventaja de que estoy considerando, en todo momento, una señal de tiempo continuo, y el muestreo aquí simplemente significa representarlo en términos de los números $x_k$, que son de hecho las muestras en el sentido habitual.

En esta interpretación, el espectro de la señal en la banda base es exactamente el mismo que el de la señal original, y la convolución efectiva del tren de impulsos tiene el efecto de replicar esa señal para hacer que el espectro sea periódico. Las réplicas se denominan imágenes del espectro. que el factor de normalización$\Delta t$es necesario se puede ver, por ejemplo, considerando la compensación de CC de un pulso de 1 voltio de duración$\Delta t$: su DC-offset definido como el$f = 0$-componente de la transformada de Fourier es

$$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$$ Para obtener el mismo resultado de nuestra versión muestreada, debemos incluir el factor de $\Delta t$.*

Entonces, la reconstrucción ideal significa construir una señal eléctrica que tenga el mismo espectro de banda base que esta señal, y sin componentes en frecuencias fuera de este rango. Esto es lo mismo que convolucionar el tren de impulsos con el$\mathrm{sinc}$-función. Esto es bastante difícil de hacer electrónicamente, por lo que el$\mathrm{sinc}$a menudo se aproxima mediante una función rectangular, también conocida como retención de orden cero. En esencia, en cada función delta, el valor de la muestra se mantiene durante el período de muestreo.

Para ver qué consecuencias tiene esto para la señal reconstruida, observo que la retención es exactamente equivalente a convolucionar el tren de impulsos con la función rectangular

$$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$$ La normalización de esta función rectangular se define al exigir que se reproduzca correctamente un voltaje constante, es decir, si un voltaje $V_1$se midió durante el muestreo, se emite el mismo voltaje en la reconstrucción.

En el dominio de la frecuencia, esto equivale a multiplicar la respuesta de frecuencia con la transformada de Fourier de la función rectangular, que es

$$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$$ Tenga en cuenta que la ganancia en DC es $1$. A altas frecuencias, la $\mathrm{sinc}$se descompone como $1/f$, y por lo tanto atenúa las imágenes del espectro.

Al final, el$\mathrm{sinc}$La función resultante de la retención de orden cero se comporta como un filtro de paso bajo en la señal. Nótese que en la fase de muestreo no se pierde información (asumiendo el criterio de Nyquist), y en principio tampoco se pierde nada al reconstruir: el filtrado en banda base por el$\mathrm{sinc}$podría compensarse con un filtro inverso (y esto se hace a veces, consulte, por ejemplo, https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853 ). el modesto$-6\mathrm{dB/octave}$decadencia de la$\mathrm{sinc}$por lo general requiere alguna forma de filtrado para atenuar aún más las imágenes.

Tenga en cuenta también que un generador de impulsos imaginarios que podría reproducir físicamente el tren de impulsos utilizado en el análisis generaría una cantidad infinita de energía para reconstruir las imágenes. Esto también causaría algunos efectos peludos, como que un ADC que vuelve a muestrear la salida no vería nada, a menos que estuviera perfectamente sincronizado con el sistema original (principalmente muestrearía entre los impulsos). Esto muestra claramente que incluso si no podemos limitar la banda de salida exactamente, siempre se necesita una limitación de banda aproximada para regularizar la energía total de la señal, antes de que pueda convertirse en una representación física.

Para resumir:

• en ambas direcciones, la retención de orden cero actúa como una aproximación a una función delta, o su forma de banda limitada, la$\mathrm{sinc}$-función.
• desde el punto de vista del dominio de la frecuencia, es una aproximación al filtro de pared de ladrillo que elimina imágenes y, por lo tanto, regula la cantidad infinita de energía presente en el tren de impulso idealizado.

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*Esto también queda claro a partir del análisis dimensional: las unidades de una transformada de Fourier de una señal de voltaje son$\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$mientras que la función delta tiene unidades de$1/\mathrm{s}$, lo que anularía la unidad de tiempo procedente de la integral en la transformada.

Transformada de Fourier :

$$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\Big\{x(t)\Big\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$$

Transformada inversa de Fourier:

$$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\Big\{X(j 2 \pi f)\Big\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$$

Función de pulso rectangular :

$$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

Función "Sinc" ("sinus cardinalis") :

$$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$$

Definir la frecuencia de muestreo ,$f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$como el recíproco del período de muestreo$T$.

Tenga en cuenta que:

$$\mathscr{F}\Big\{\operatorname{rect}\left( \tfrac{t}{T} \right) \Big\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

Peine Dirac (también conocido como "función de muestreo", también conocido como "función Sha") :

$$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$$

El peine de Dirac es periódico con el período.$T$. Serie de Fourier :

$$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$$

Señal de tiempo continuo muestreada :

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$$

donde$x[n] \triangleq x(nT)$.

Esto significa que$x_\text{s}(t)$se define únicamente por las muestras$x[n]$y el período de muestreo$T$y pierde totalmente cualquier información de los valores de$x(t)$para tiempos entre instancias de muestreo.$x[n]$es una secuencia discreta de números y es una especie de notación abreviada DSP para$x_n$. Si bien es cierto que$x_\text{s}(t) = 0$por$nT < t < (n+1)T$, El valor de$x[n]$para cualquier$n$no es un entero indefinido.

NB: La señal discreta$x[n]$y todas las operaciones de tiempo discreto en él, como el$\mathcal{Z}$-La Transformada , la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT) , la Transformada de Fourier Discreta (DFT) , son "agnósticas" con respecto a la frecuencia de muestreo o el período de muestreo$T$. Una vez que esté en el tiempo discreto$x[n]$dominio, no sabe (o no le importa) sobre$T$. Es solo con el teorema de muestreo y reconstrucción de Nyquist-Shannon que$x[n]$y$T$se juntan.

La transformada de Fourier de$x_\text{s}(t)$es

$$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$$

Nota importante sobre el escalado: la función de muestreo$T \cdot \operatorname{III}_T(t)$y la señal muestreada$x_\text{s}(t)$tiene un factor de$T$que no verás en casi todos los libros de texto. Ese es un error pedagógico de los autores de estos de estos libros de texto por múltiples razones (relacionadas):

1. Primero, dejando de lado el$T$cambia la dimensión de la señal muestreada$x_\text{s}(t)$de la dimensión de la señal que se muestrea$x(t)$.
2. Eso$T$el factor será necesario en algún lugar de la cadena de la señal. Estos libros de texto que lo dejan fuera de la función de muestreo terminan colocándolo en la parte de reconstrucción del Teorema de muestreo, generalmente como la ganancia de banda de paso del filtro de reconstrucción. Eso es dimensionalmente confuso. Alguien podría preguntar razonablemente: "¿Cómo diseño un LPF de ladrillo con una ganancia de banda de paso de$T$?"
3. Como se verá a continuación, dejando el$T$aquí da como resultado un error de escala similar para la función de transferencia neta y la respuesta de frecuencia neta de la retención de orden cero (ZOH). Todos los libros de texto sobre sistemas de control digitales (e híbridos) que he visto cometen este error y es un grave error pedagógico.

Tenga en cuenta que la DTFT de$x[n]$y la transformada de Fourier de la señal muestreada$x_\text{s}(t)$son, con la escala adecuada, virtualmente idénticos:

DTFT:

$$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$$

Se puede demostrar que

$$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$$

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Las matemáticas anteriores son verdaderas si$x(t)$está "adecuadamente muestreado" o no.$x(t)$está "adecuadamente muestreado" si$x(t)$puede recuperarse completamente de las muestras$x[n]$y conocimiento de la tasa de muestreo o período de muestreo. El teorema de muestreo nos dice qué es necesario recuperar o reconstruir$x(t)$de$x[n]$y$T$.

Si$x(t)$está limitado en banda a algún límite de banda$B$, eso significa

$$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$$

Considere el espectro de la señal muestreada compuesta por imágenes desplazadas del original:

$$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$$

El espectro original$X(j 2 \pi f)$se puede recuperar del espectro muestreado$X_\text{s}(j 2 \pi f)$si ninguna de las imágenes cambiadas,$X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$, superponen a sus vecinos adyacentes. Esto significa que el borde derecho de la$k$-ésima imagen (que es$X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$) debe estar completamente a la izquierda del borde izquierdo del ($k+1$)-ésima imagen (que es$X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$). Reexpresado matemáticamente,

$$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$$

que es equivalente a

$$f_\text{s} > 2B$$

Si muestreamos a una frecuencia de muestreo que excede el doble del ancho de banda, ninguna de las imágenes se superpone, el espectro original,$X(j 2 \pi f)$, que es la imagen donde$k=0$se puede extraer de$X_\text{s}(j 2 \pi f)$con un filtro de paso bajo de pared de ladrillo que mantiene la imagen original (donde$k=0$) sin escala y descarta todas las demás imágenes. Eso significa que multiplica la imagen original por 1 y multiplica todas las demás imágenes por 0.

$$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$$

El filtro de reconstrucción es

$$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

y tiene una respuesta de impulso acausal :

$$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$$

Esta operación de filtrado, expresada como multiplicación en el dominio de la frecuencia, es equivalente a la convolución en el dominio del tiempo:

$$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$$

Eso explica explícitamente cómo el original$x(t)$se reconstruye a partir de las muestras$x[n]$y conocimiento de la tasa de muestreo o período de muestreo.

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Entonces, lo que sale de un convertidor digital a analógico (DAC) práctico no es ni

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$$

que no necesita tratamiento adicional para recuperarse$x(t)$, ni

$$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$$

que, con un LPF de pared de ladrillo ideal, recupera$x(t)$aislando y conservando la imagen de banda base y descartando todas las demás imágenes.

Lo que sale de un DAC convencional, si no se procesa o escala la señal digitalizada, es el valor$x[n]$mantenido en un valor constante hasta que se emita la siguiente muestra. Esto da como resultado una función constante por partes :

$$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Nótese el retraso de$\frac{1}{2}$periodo de muestra aplicado a la$\operatorname{rect}(\cdot)$función. Esto lo hace causal. Significa simplemente que

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$$

Dicho de otra manera

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$$

donde$\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$es la función de piso , definida como el entero más grande que no exceda$u$.

Esta salida DAC se modela directamente como un sistema lineal invariable en el tiempo (LTI) o filtro que acepta la señal muestreada idealmente$x_\text{s}(t)$y para cada impulso en la señal idealmente muestreada, genera esta respuesta de impulso:

$$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Conectando para comprobar esto...

$$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$$

La salida DAC$x_\text{DAC}(t)$, como la salida de un sistema LTI con respuesta de impulso$h_\text{ZOH}(t)$concuerda con la construcción constante por partes anterior. Y la entrada a este sistema LTI es la señal muestreada$x_\text{s}(t)$escalado juiciosamente para que la imagen de banda base de$x_\text{s}(t)$es exactamente el mismo que el espectro de la señal original que se está muestreando$x(t)$. Es decir

$$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$$

El espectro de la señal original es el mismo que el espectro muestreado, pero con todas las imágenes que habían aparecido debido al muestreo, descartadas.

La función de transferencia de este sistema LTI, que llamamos retención de orden cero (ZOH) , es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso:

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$$

La respuesta de frecuencia se obtiene sustituyendo$j 2 \pi f \rightarrow s$

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$$

Esto indica un filtro de fase lineal con un retraso constante de la mitad del período de muestra,$\frac{T}{2}$, y con una ganancia que decrece a medida que la frecuencia$f$aumenta Este es un efecto de filtro de paso bajo suave. en CC,$f=0$, la ganancia es 0 dB y en Nyquist,$f=\frac{f_\text{s}}{2}$la ganancia es -3,9224 dB. Entonces, la imagen de banda base tiene algunos de los componentes de alta frecuencia reducidos un poco.

Al igual que con la señal muestreada$x_\text{s}(t)$, hay imágenes en la señal muestreada$x_\text{DAC}(t)$en múltiplos enteros de la frecuencia de muestreo, pero esas imágenes se reducen significativamente en amplitud (en comparación con la imagen de banda base) porque$|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$pasa por cero cuando$f = k\cdot f_\text{s}$para entero$k$eso no es 0, que está justo en el medio de esas imágenes.

Concluyendo:

1. La retención de orden cero (ZOH) es un modelo lineal invariable en el tiempo de la reconstrucción de la señal realizada por un práctico convertidor de digital a analógico (DAC) que mantiene la salida constante en el valor de muestra,$x[n]$, hasta que se actualice con la siguiente muestra$x[n+1]$.

2. Contrariamente a la idea errónea común, el ZOH no tiene nada que ver con el circuito de muestreo y retención (S/H) que uno podría encontrar antes de un convertidor de analógico a digital (ADC) . Siempre que el DAC mantenga la salida en un valor constante durante cada período de muestreo, no importa si el ADC tiene un S/H o no, el efecto ZOH permanece. Si el DAC emite algo que no sea la salida constante por partes (como una secuencia de pulsos estrechos destinados a aproximarse a los impulsos de dirac) que se muestra arriba como$x_\text{DAC}(t)$, entonces el efecto ZOH no está presente (algo más lo está, en cambio) ya sea que haya un circuito S / H que preceda al ADC o no.

3. La función de transferencia neta de ZOH es

   $$H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$$ y la respuesta de frecuencia neta del ZOH es $$H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$$ Muchos libros de texto omiten la$T$factor en el denominador de la función de transferencia y eso es un error.

4. El ZOH reduce las imágenes de la señal muestreada$x_\text{s}(t)$significativamente, pero no los elimina. Para eliminar las imágenes, se necesita un buen filtro de paso bajo como antes. Los LPF de Brickwall son una idealización. Un LPF práctico también puede atenuar la imagen de banda base (que queremos mantener) a altas frecuencias, y esa atenuación debe tenerse en cuenta como la atenuación que resulta del ZOH (que es una atenuación inferior a 3,9224 dB). El ZOH también retrasa la señal en la mitad del período de muestra, lo que puede tener que tenerse en cuenta (junto con el retraso del LPF anti-imagen), particularmente si el ZOH está en un circuito de retroalimentación.