¿Cuál es el mecanismo por el cual funcionan los campos magnéticos?

Los campos magnéticos nunca realizan trabajo directamente sobre las cargas eléctricas. Esto se debe a que la fuerza magnética sobre cualquier partícula cargada,

$$\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B,}$$ es siempre ortogonal a la velocidad, y por lo tanto la potencia transferida, $\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$, es cero.

Por otro lado, esto parece contradecir gran parte de nuestra intuición sobre cómo se comportan los imanes. Si tomas dos imanes y los pones uno cerca del otro, se unirán, acelerando en el proceso, por lo que definitivamente hay algo que está funcionando. Lo que sea ese algo generalmente dependerá del marco de referencia en el que esté trabajando.

El ejemplo estándar es un bucle de alambre que se mueve en relación con un imán, lo que induce una corriente en él. Si considera la situación en el marco donde el bucle está estacionario, entonces lo que ve es un campo magnético cambiante; según la ley de Faraday, esto significa que hay un campo eléctrico inducido que acelera las cargas alrededor del bucle. Por otro lado, en el marco de referencia del imán solo hay campos magnéticos, por lo que debe ser otra cosa, que resulta ser el movimiento de la espira.

Suponga por simplicidad que la espira viaja a lo largo de su normal$\mathbf{n}$. Entonces las cargas tienen una velocidad$\mathbf{v}\propto\mathbf{n}$, y la fuerza magnética les dará un impulso perpendicular a eso y, por lo tanto, a lo largo del bucle. Sin embargo, una vez que tiene una corriente de este tipo, la velocidad de las cargas tiene un componente que es ortogonal a$\mathbf{n}$, y esto también incurrirá en una fuerza magnética, que ahora estará a lo largo$\mathbf{n}$y tiende a ralentizar el bucle. Por lo tanto, creará una corriente a expensas de la energía cinética del bucle o del trabajo realizado por alguna fuerza adicional que mantiene constante la velocidad. Hay una buena explicación detallada de este ejemplo en la Introducción a la electrodinámica de Griffith (ejemplo 5.3, sección 5.1; p. 209 en la ^3ª edición).

Los imanes de atracción se pueden tratar de una manera algo similar. Por un lado, puede cambiar los imanes permanentes por bucles de corriente sin pérdida de generalidad, porque los campos magnéticos que producen en realidad son producidos por corrientes de magnetización en su superficie. Póngalos lo suficientemente cerca y llegará al núcleo del problema, la fuerza magnética entre dos cables que transportan corriente .

Consideremos, entonces, dos alambres paralelos que transportan corrientes en la misma dirección, de modo que se atraen y se mueven uno hacia el otro. Nuevamente, en el marco de referencia de cada cable en movimiento hay un campo eléctrico inducido por un campo magnético cambiante, y esto puede realizar un trabajo. En el marco del laboratorio, por otro lado, tiene cada cable moviéndose en el campo magnético del otro. Una vez que se mueven una hacia la otra, las cargas en cada cable tienen un componente de velocidad a lo largo del cable y otro a lo largo del vector de separación. El segundo componente incurrirá en una fuerza magnética en los portadores de carga que está en contra de la dirección actual; esto significa que necesita una fuente de corriente para mantenerla estable (con el costo de energía asociado) o la corriente en los cables disminuirá.

Entonces, para los imanes, esto significa que la magnetización de dos imanes que se unen en realidad disminuirá ligeramente en el proceso, por un mecanismo específico que depende de dónde provenga esa magnetización. Esto es, por cierto, en principio, algo temporal: el trabajo que realizas en los imanes cuando los separas se dedica esencialmente a restablecer la magnetización.

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Cabe señalar, por otro lado, que en sentido estricto esto se aplica sólo a las partículas cargadas y, por extensión, a los sistemas que están formados por partículas cargadas. Sin embargo, no cubre el caso de los dipolos puntuales, como los electrones, para los cuales la fuerza fundamental (y el momento de torsión) ejercida por un campo magnético son diferentes y están dadas por

$$\mathbf F=\nabla(\boldsymbol \mu·\mathbf B) \quad\text{and}\quad \boldsymbol\tau=\boldsymbol \mu\times\mathbf B .$$ Esto deja a los imanes permanentes en una posición un tanto extraña, porque están hechos fundamentalmente de espines de electrones alineados, por lo que, en principio, uno debería aplicar esa descripción.

Sin embargo, en una descripción útil de un imán permanente, se toma un promedio macroscópico de la densidad del dipolo magnético local para obtener su magnetización.$\mathbf M$, y en el proceso dejas de preocuparte de dónde viene la magnetización. En lo que respecta a la electrodinámica clásica (y a menos que quiera entrometerse con átomos individuales dentro de ella), un imán permanente es simplemente un material con una magnetización permanente.$\mathbf M$, cuyas interacciones con otras cargas y corrientes se producen a través de sus corrientes de magnetización de masa y superficie ,

$$\mathbf J=\nabla\times\mathbf M \quad\text{and}\quad \mathbf K=\mathbf M \times\hat{\mathbf n} .$$ Si la magnetización es uniforme, entonces no hay densidad de corriente a granel (cada dipolo a granel se 'cancela' con sus vecinos) y la corriente de magnetización se limita a la superficie. Por lo tanto, una barra de hierro magnetizada uniformemente está bien modelada por las corrientes de magnetización en su superficie, y la paradoja del trabajo magnético también se puede resolver como se indicó anteriormente: por la acción de un campo eléctrico inducido o por fuerzas magnéticas que ralentizan esas corrientes una vez. hay movimiento a lo largo de la curva normal.

Al final, la diferencia entre los dos es un poco una cuestión de elección personal. En general, es un poco más difícil manejar los dipolos puntuales y, en general, hay pocas situaciones que no se pueden modelar mediante el uso de corrientes eléctricas, por lo que es bueno tener en cuenta esos modelos y sus propiedades contrarias a la intuición. Por otro lado, probablemente sea cierto que la física podría hacer un poco mejor su trabajo recordando enfatizar que los campos magnéticos nunca trabajan directamente sobre las cargas eléctricas .

Como afirma Emilio Pisanty, la fuerza magnética de Lorentz$\boldsymbol{F_m}= q \boldsymbol{v \times B }$no funciona, ya que$\boldsymbol{F_m \cdot v} = 0$. No tengo acceso a Griffith, pero encuentro la discusión de Feynman (en el v. II, capítulo 15) confusa, ya que tiene fuerzas magnéticas que trabajan en la corriente y al mismo tiempo afirma que esas mismas fuerzas no funcionan.

Para ver lo que está pasando (clásicamente, al menos) considere un cable ideal, de resistencia cero, impulsado por una fuente de corriente$I$en un campo magnético$\boldsymbol{B}$. La corriente$I$es transportado por electrones móviles cuya carga negativa$q_e<0$está equilibrado por una red fija de iones de alambre cargados positivamente (mucho más masivos)$q_w>0$, con$q_w=-q_e$por simplicidad.

Los electrones portadores de corriente en movimiento del alambre (velocidad promedio$\boldsymbol{v_e}$) será desviado por la fuerza de Lorentz$\boldsymbol{F_e} = q_e (\boldsymbol{v_e \times B})$. En consecuencia, los electrones tenderán a "amontonarse" en un lado del cable. La densidad de carga neta del cable ahora ya no es cero, por lo que un campo eléctrico$\boldsymbol{E}$se produce que se opone a la deflexión. En estado estacionario, la fuerza eléctrica debe equilibrar la fuerza de Lorentz, por lo que la fuerza neta sobre los electrones desaparece:

$$\boldsymbol{E} = - (\boldsymbol{v_e \times B})$$

(Esto es solo el efecto Hall).

Ahora bien, este campo eléctrico acelerará los iones del cable, ya que no existe una fuerza magnética que los contrarreste. De hecho, la fuerza eléctrica sobre los iones del alambre$\boldsymbol{F_w}$es exactamente igual a la fuerza magnética$\boldsymbol{F_e}$en los electrones:

$$\boldsymbol{F_w} = q_w \boldsymbol{E} = - q_e \boldsymbol{E} = q_e (\boldsymbol{v_e \times B}) = \boldsymbol{F_e}$$

La diferencia clave es que esta fuerza eléctrica puede y hará trabajo en la red.

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Si el alambre está inicialmente inmóvil ($\boldsymbol{v_w}=0$), la velocidad media de los electrones$\boldsymbol{v_e}=\boldsymbol{v_c}$, dónde$\boldsymbol{v_c}$es paralelo al cable (incremento$\boldsymbol{dl}$) y

$$|q_e| \, n A_c \, |v_c|=I$$ (con $n$la densidad electrónica y $A_c$el área de la sección transversal del cable),

Después$\boldsymbol{E=-v_e \times B}$es perpendicular a$d \boldsymbol{l}$, y la integral de línea de$\boldsymbol{E}$alrededor del cable es 0, por lo que el voltaje aplicado es 0 y la fuente de corriente no proporciona energía al cable. Pero eso no es sorprendente, ya que la tasa de trabajo mecánico que se realiza en cada ion de la red es$\boldsymbol{F_w \cdot v_w}=0$además.

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Para una velocidad de alambre distinta de cero$\boldsymbol{v_w}$, la velocidad del electrón$\boldsymbol{v_e}=\boldsymbol{v_c}+\boldsymbol{v_w}$, y habrá un componente distinto de cero de$\boldsymbol{E}$a lo largo de$\boldsymbol{dl}$:

$$\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{dl} = - (\boldsymbol{v_e \times B}) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{dl} = - (\boldsymbol{v_w \times B}) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{dl}$$

por lo que la energía eléctrica$P_e$suministrado por la fuente de corriente es:

$$P_e = VI = I \int -\boldsymbol{E \cdot dl} = I \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot dl}$$

el poder mecanico$P_m$aplicada al alambre es la suma de las potencias iónicas individuales:

$$P_m = \sum \boldsymbol{F_w \cdot v_w} = q_m n \int \boldsymbol{E \cdot v_w} \, dV = - q_m n \int \boldsymbol{(v_e \times B) \cdot v_w} \, dV$$

Por una identidad vectorial, y dado que$\boldsymbol{v_e = v_c + v_w}$y$q_m = -q_e$,

$$P_m = - q_m n \int \boldsymbol{( B \times v_w) \cdot v_e} \, dV = q_m n \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot v_c} \, dV = I \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot dl}$$

por un alambre delgado, y$P_m = P_e$.

Eso depende. La regla general es que:

• (no uniforme) Los campos magnéticos pueden trabajar en dipolos intrínsecos , como el espín de un electrón. De hecho, en el experimento de Stern-Gerlach, las partículas están siendo aceleradas por un campo magnético no uniforme. En tales casos la fuerza es$\textbf{F}=\nabla (\textbf{m} \cdot \textbf{B})$dónde$\textbf{m}$es el momento dipolar magnético del dipolo intrínseco, y$\textbf{B}$es el campo en el que está sumergido. Tenga en cuenta que este es claramente un campo de fuerza conservativo y, por lo tanto, podemos definir una energía potencial$U=-\textbf{m}\cdot \textbf{B}$.

• Sin embargo, los campos magnéticos en general no pueden realizar trabajo en sistemas compuestos por corrientes . En tales casos, la fuerza sobre las corrientes es siempre la fuerza de Lorentz, que coincidentemente para un dipolo "físico", uno con una corriente asociada, sigue siendo$\textbf{F}=\nabla(\textbf{m}\cdot \textbf{B})$. En este caso, sin embargo, la fuerza es perpendicular a la velocidad de las partículas, por lo que no se realiza ningún trabajo. Los dipolos intrínsecos están exentos de esto porque, por definición, no tienen una corriente física asociada a ellos.

Por lo tanto, cuando dos imanes se atraen, debido a que la mayor parte de su "magnetismo" proviene del momento dipolar intrínseco (espín) de los electrones, el campo magnético está realizando un trabajo. Este bonito artículo muestra que la disminución de la energía del campo magnético cuando dos imanes se unen se compensa con un aumento de la energía cinética https://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/mag_energy.pdf .

Sin embargo, cuando dos electroimanes se atraen, entonces el campo magnético no está haciendo ningún trabajo. Modelemos los dos electroimanes como dos bucles que transportan corriente.$I_a$y$I_b$, con autoinductancias$L_a$y$L_b$, e inductancia mutua$M$. Suponga que el bucle superior con corriente$I_b$es fijo, y que solo el bucle inferior con corriente$I_a$se mueve

Como muestra el siguiente diagrama, la fuerza magnética inicial será hacia arriba, perpendicular a la corriente. No se está haciendo ningún trabajo. Dado que los portadores de carga están obligados a moverse en el cable, ejercerán una fuerza (de naturaleza no magnética) sobre el cable. Por lo tanto, el cable comenzará a moverse hacia arriba.

Ahora, en el instante en que el cable comienza a moverse hacia arriba, las cargas también ganarán un componente de velocidad$\textbf{v}^\perp$perpendiculares a su movimiento original. Este componente producirá un componente horizontal$\textbf{F}_{mag}^\perp$de la fuerza magnética que se opone al flujo de corriente. Entonces, en ausencia de una fuente, las corrientes disminuirán, y el trabajo realizado por el campo magnético al hacerlo equilibrará con precisión el trabajo realizado por el componente horizontal al levantar el anillo. Por lo tanto, el campo magnético no habrá realizado ningún trabajo y, por supuesto, lo vemos visualmente porque la fuerza total$\textbf{F}_{mag}$es de hecho perpendicular a la velocidad total$\textbf{v}$.

Probemos este resultado. Los flujos magnéticos a través de los dos bucles son:

$$\begin{align} &\Phi_a = L_a I_a + MI_b\\ &\Phi_b = L_b I_b + MI_a \end{align}$$ que inducen fem en los bucles que se oponen al flujo de corriente: $$\begin{align} &\varepsilon_a = -L_a \frac{dI_a}{dt} - \frac{dM}{dt}I_b - M\frac{dI_b}{dt}\\ &\varepsilon_b = -L_b \frac{dI_b}{dt} - \frac{dM}{dt}I_a - M\frac{dI_a}{dt} \end{align}$$

Entonces, en ausencia de un suministro externo de energía, encontraremos que las corrientes disminuyen. La velocidad a la que estas fem realizan trabajo es entonces:

$$\begin{align} &\frac{dW_a}{dt} = -L_a\frac{dI_a}{dt}I_a - \frac{dM}{dt}I_bI_a - M\frac{dI_b}{dt}I_a\\ &\frac{dW_b}{dt} = -L_b\frac{dI_b}{dt}I_b - \frac{dM}{dt}I_bI_a - M\frac{dI_a}{dt}I_b \end{align}$$ Tenga en cuenta que el trabajo$dW_b$se debe totalmente a los campos electricos inducidos, la fem proviene de la ley de Faraday. En cambio, el trabajo$dW_a$es en parte una fem de Faraday debido a los campos magnéticos cambiantes de los dos bucles (el término$-L_a\frac{dI_a}{dt}I_a- M\frac{dI_b}{dt}I_a$) y en parte una fem de movimiento$-\frac{dM}{dt}I_bI_a$que se realiza por la componente horizontal de la fuerza magnética. El trabajo total realizado por la fem es: $$\begin{equation} \frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt} = -L_a\frac{dI_a}{dt}I_a-L_b\frac{dI_b}{dt}I_b-2\frac{dM}{dt} I_a I_b - MI_b \frac{dI_a}{dt} + MI_a \frac{dI_b}{dt} \end{equation}$$ Mientras tanto, el cambio en la energía del campo es: $$\begin{align} &U = \frac{1}{2}L_aI_a^2 + \frac{1}{2}L_bI_b^2 + MI_aI_b\\ &\frac{dU}{dt} = L_a I_a \frac{dI_a}{dt} + L_a I_b \frac{dI_b}{dt} + MI_b \frac{dI_a}{dt} + MI_a \frac{dI_b}{dt} + \frac{dM}{dt} I_a I_b \end{align}$$ Por lo tanto podemos escribir que $$\begin{equation}\tag{*}\label{energy cons} \frac{dU}{dt} + I_aI_b\frac{dM}{dt} = -\bigg(\frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt}\bigg) \end{equation}$$ Ahora reconocemos el trabajo$W_g$hecho en levantar el bucle en$\eqref{energy cons}$: $$\begin{equation} \frac{dW_g}{dt} = I_aI_b \frac{dM}{dt} \end{equation}$$ de modo que: $$\begin{equation}\tag{**}\label{energy cons2} \frac{dU}{dt} + \frac{dW_g}{dt} = -\bigg(\frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt}\bigg) \end{equation}$$ También podemos reescribir$\eqref{energy cons2}$en la forma de conservación de la energía: $$\begin{equation} U + W_g + W_a + W_b = \text{cnst.} \end{equation}$$ Entonces, en ausencia de una fuente, el trabajo realizado por la fem (ya sea de Faraday o de movimiento) al reducir las corrientes se paga con un cambio en la energía potencial y la energía cinética de traslación (dada por$W_g$utilizando el teorema del trabajo-energía).

Tenga en cuenta que el trabajo realizado por el componente vertical del campo magnético en la espira es solo el$-I_aI_b\frac{dM}{dt}$término en$dW_a$que por cierto es el negativo del trabajo realizado por la componente horizontal$dW_g$. Por lo tanto, como se requiere, el campo magnético no realiza trabajo. Las fem de Faraday en$W_a$y$W_b$en cambio, son responsables del cambio en la energía del campo.$U$. ¿Qué fuerza fue la responsable de que se levantara el bucle? El componente vertical$\textbf{F}_{mag}^\parallel$de la fuerza magnética, por supuesto, pero ¿realizó trabajo la fuerza magnética en general? Por supuesto que no.

El campo magnético tampoco realiza trabajo en el bucle b, ya que la fem es puramente faraday. Por lo tanto, el trabajo lo realiza un campo eléctrico inducido en lugar de un campo magnético.