¿Contradicción entre la Teoría de la Relatividad y la Ley de la Gravitación Universal de Newton?

A) No tome la ley de Newton demasiado en serio en el régimen relativista.

De acuerdo con la Ley de Newton, cuando alcanza el horizonte de sucesos debe estar viajando a$c$, porque$c$es la velocidad de escape en el horizonte de sucesos.

Esto es cierto, suponiendo que la partícula cae libre desde el reposo en el infinito, pero los detalles son bastante diferentes de la teoría newtoniana. Para órbitas en el espacio-tiempo de Schwarzschild, el potencial efectivo es

$$V = -\frac{GM}{r} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{GMl^2}{c^2r^3}\text{,}$$ donde $l\equiv L/m$es el momento angular específico de la órbita. El último término ofrece correcciones relativistas que no tienen análogo en la gravedad newtoniana, por lo que, en general, no se puede contar con la ley de Newton cuando se está cerca del horizonte del agujero negro.

Pero para caída libre radial,$l = 0$, y tenemos una energía específica orbital total:

$$\mathcal{E} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 - \frac{GM}{r}\text{,}$$ que tiene exactamente la forma newtoniana. En particular, una partícula en caída libre desde el reposo en el infinito tendrá $$\left|\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right| = \sqrt{\frac{2GM}{r}}\text{,}$$ tan pronto como se acerca al horizonte ( $r\to 2GM/c^2$), tenemos $|\mathrm{d}r/\mathrm{d}\tau|\to c$, tal como lo predeciría la teoría newtoniana.

Sin embargo, el movimiento es solo aproximadamente análogo a lo prescrito por la ley de Newton, porque existen diferencias muy importantes en la interpretación de esas cantidades. Específicamente, (1) el$\tau$se refiere al tiempo propio de la partícula en órbita, no al tiempo coordinado$t$, y ciertamente no cualquier tiempo absoluto como la teoría newtoniana propiamente dicha, y (2) el$r$se refiere a la coordenada radial de Schwarzschild, que se define de tal manera que una esfera en esta coordenada tiene un área de superficie$4\pi r^2$, y esta no es la distancia radial al centro.

B) Las coordenadas no tienen significado intrínseco.

Por lo tanto, después de que pasa el horizonte de eventos, debe continuar acelerando más allá$c$, sin embargo, la teoría de la relatividad establece que nunca sucederá.

Supongamos que lanzo una partícula a lo largo de una regla recta, y esa regla está marcada en pies. Entonces, si, por ejemplo, mi partícula recorre cinco unidades marcadas a lo largo de la regla en un nanosegundo, eso es claramente un problema, porque la partícula debe ser superlumínica ($c\approx 1\,\mathrm{ft}/\mathrm{ns}$).

Ahora supón que la regla no está marcada en pies, y no te digo cómo está marcada. ¿Es un problema que la partícula avance cinco unidades en un nanosegundo? Sin saber cuáles son las marcas, la declaración de este tipo de "velocidad coordinada" ni siquiera tiene sentido. Finalmente, suponga que le digo cómo está marcada la regla, pero sus marcas en realidad no miden la distancia a lo largo de la regla. Entonces, ¿es un problema que pase por cinco de esas marcas en un nanosegundo?

La moraleja es simplemente esta: por sí mismas, las coordenadas son simplemente etiquetas para identificar eventos. Uno puede escoger coordenadas tales que la velocidad de las coordenadas sea arbitrariamente grande o pequeña, y no importa, porque las coordenadas no son cosas físicas. El universo no viene con sus propias coordenadas; son solo etiquetas que le ponemos a las cosas.

Sin embargo, lo que puede dar significado a las coordenadas es el tensor métrico , que relaciona las coordenadas con longitudes o duraciones reales, de modo que, por ejemplo, la coordenada radial de Schwarzschild tiene un significado establecido en términos de áreas de superficie. Finalmente, las coordenadas de Schwarzschild son patológicas cerca del horizonte. No están definidas a lo largo del horizonte (técnicamente, las coordenadas de Schwarzschild son en realidad dos gráficos de coordenadas completamente diferentes desconectados por el horizonte). Puede ver esto en la métrica de Schwarzschild (unidades de$G = c = 1$):

$$\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\,\mathrm{d}r^2 + r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2)\text{,}$$ donde los coeficientes métricos en el gráfico de Schwarzschild no están definidos en el horizonte $r = 2M$.

C) "Entonces, en esta condición, ¿qué hará el objeto?"

Cruzará el horizonte de sucesos y llegará a su fin en la singularidad.

Aquí está la misma geometría de Schwarzschild en coordenadas Gullstrand-Painlevé :

$$\mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}t^2 + \left(\mathrm{d}r + \sqrt{\frac{2M}{r}}\,\mathrm{d}t\right)^2 + r^2(\mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta\,\mathrm{d}\phi^2)\text{.}$$ En este gráfico de coordenadas, el espacio se mueve hacia la singularidad a la velocidad del estado $\sqrt{2GM/r}$, y las partículas son transportadas junto con él. En un gráfico de coordenadas relacionado, coordenadas de Lemaître , las partículas que caen libremente desde el reposo en el infinito tienen una velocidad de coordenadas cero, con $\mathrm{d}r/\mathrm{d}t = 0$, donde aquí $r$es la coordenada radial de Lemaître. (Editar: ejemplo corregido que atribuye erróneamente esta propiedad al gráfico de GP).

Puede elegir cualquier gráfico de coordenadas que se comporte bien en el horizonte, y cualquier gráfico de este tipo lo mostrará moviéndose a través del horizonte sin problemas. Pero las coordenadas de Schwarzschild no dan ese gráfico porque no están definidas en el horizonte.