Conservación del momento angular en un sistema cohete-sol-luna

Question

Conservación del momento angular en un sistema cohete-sol-luna

físico23

Describamos un cohete que viaja de la tierra a la luna y viceversa. Quiero mostrar que el momento angular del cohete se conserva para poder concluir que el movimiento del cohete está restringido a un plano bidimensional. Supongamos que la tierra está en el origen y la luna se encuentra en $\boldsymbol{r}_\mathrm{M} = d\boldsymbol{e}_1$ , dónde $d$ es la distancia entre la tierra y la luna.

Dejar $\Phi(\boldsymbol{r}) = -\gamma\left(\frac{m_\mathrm{E}}{|\boldsymbol{r}|}+\frac{m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|}\right)$ Sea el potencial gravitatorio. La fuerza gravitacional dice

F (r) = - γ {metro}_{R} (\frac{{metro}_{mi}}{| r |^{3}} r + \frac{{metro}_{METRO}}{| r - r_{METRO} |^{3}} (r - r_{METRO})) .

$\begin{equation} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = -\gamma m_\mathrm{R}\left(\frac{m_\mathrm{E}}{|\boldsymbol{r}|^3}\boldsymbol{r}+\frac{m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|^3}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M})\right). \end{equation}$ Sin embargo, el momento angular con respecto al origen no se conserva como

\dot{L} = r \times F = \frac{γ {metro}_{R} {metro}_{METRO}}{| r - r_{METRO} |^{3}} r \times r_{METRO} .

$\begin{equation} \dot{\boldsymbol{L}} = \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{F} = \frac{\gamma m_\mathrm{R} m_\mathrm{M}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_\mathrm{M}|^3}\,\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{r}_\mathrm{M}. \end{equation}$ También pensé en elegir otro sistema de coordenadas (por ejemplo, centro de masa) pero esto no funcionó. ¿Alguna idea de cómo mostrar esto? ¡Gracias de antemano!

Respuestas (3)

Conservación del momento angular en un sistema cohete-sol-luna

Claudio Saspinski · Answer 1

El momento angular se conserva si la fuerza apunta siempre al sistema COM, es decir: es radial, por lo que $\mathbf r \times \mathbf F = 0$ .

No es el caso del sistema Tierra-Luna. Por ejemplo: cualquier objeto cercano a la Luna no caerá al sistema COM, o un astronauta no podría caminar en la superficie de la Luna.

Prallax · Answer 2

Las leyes de conservación a menudo provienen de simetrías del hamiltoniano. En este caso, para conservar el momento angular, necesitaría un hamiltoniano rotacionalmente simétrico. Pero un sistema de dos masas puntuales no es rotacionalmente simétrico y, por lo tanto, como ha descubierto, el momento angular del cohete no se conserva.

Si la posición inicial y la velocidad del cohete, la Luna y la Tierra se encuentran en el mismo plano, se puede esperar que el movimiento se limite a dicho plano. De lo contrario, la trayectoria será tridimensional.

La prueba intuitiva de esta afirmación es que la fuerza siempre se encuentra en el plano formado por $\vec{r}_M$ y $\vec{r}(t)$ , por lo tanto, el cohete no sentirá ninguna fuerza ortogonal al plano. Si la velocidad también se encuentra en este plano, el cohete no abandonará el plano y la órbita será plana.

Una prueba algo más rigurosa:

Una órbita se dice plana si está completamente contenida en un plano. Esta afirmación se puede escribir como

\begin{matrix} (1) & \exists \vec{w} : (\vec{r} (t) - {\vec{r}}_{0}) \cdot \vec{w} = 0 \end{matrix}

$\exists \vec{w} : (\vec{r}(t)-\vec{r}_0)\cdot\vec{w} = 0 \tag 1$ dónde

{\vec{r}}_{0}

$\vec{r}_0$ es la posición inicial (en

t = 0

$t=0$ ) y

\vec{w}

$\vec{w}$ es el vector normal al plano de la órbita. Derivando la ecuación se obtiene:

\begin{matrix} (2) & \dot{\vec{r}} (t) \cdot \vec{w} = 0 \end{matrix}

$\dot{\vec{r}}(t) \cdot \vec{w} = 0 \tag 2$

\begin{matrix} (3) & \ddot{\vec{r}} (t) \cdot \vec{w} = 0 \end{matrix}

$\ddot{\vec{r}}(t) \cdot \vec{w} = 0 \tag 3$

Esto significa que tanto la velocidad como la aceleración deben estar en el mismo plano durante todo el movimiento.

Consideremos el plano formado por los vectores $\vec{F}(\vec{r}_0)$ y $\vec{r}_M$ , y deja $\vec{w} = \vec{F}(\vec{r}_0) \times \vec{r}_M$ . Es fácil ver que para cada punto $\vec{r}$ en el plano, ecuaciones $(1)$ y $(3)$ sostener.

Si queremos una órbita plana, es necesario en este punto elegir la velocidad inicial tal que $\vec{v}_0 \cdot \vec{w} = 0$ , y puedes ver que después de un pequeño tiempo

\vec{v} (d t) \cdot \vec{w} = ({\vec{v}}_{0} + \dot{\vec{v}} d t) \cdot \vec{w} = {\vec{v}}_{0} \cdot \vec{w} + (\vec{F} ({\vec{r}}_{0}) \cdot \vec{w}) d t / metro = 0

$\vec{v}(\delta t) \cdot \vec{w} = (\vec{v}_0 + \dot{\vec{v}}\delta t) \cdot \vec{w} = \vec{v}_0 \cdot \vec{w} + (\vec{F}(\vec{r}_0) \cdot \vec{w}) \delta t/m = 0$

En otras palabras, mientras el cohete esté en el avión, su velocidad permanecerá sobre él.

Gracias. Quiero describir exactamente lo que escribes en el segundo párrafo, pero no logré mostrarlo matemáticamente. ¿Tienes una idea?
Lo sé, la última parte de la prueba que agregué no es rigurosa. Pero no pude encontrar una mejor manera de decirlo.

RW pájaro · Answer 3

El momento angular del sistema; la tierra, la luna y el cohete, se pueden conservar. El momento angular del cohete no puede. El cohete estará sujeto a dos fuerzas. Al menos uno de estos producirá un par sobre cualquier punto de referencia elegido.

Conservación del momento angular en un sistema cohete-sol-luna

físico23

Respuestas (3)

Claudio Saspinski

Prallax

físico23

Prallax

RW pájaro

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