Aproximaciones en órbitas elípticas

Ignorando que la derivación asume un problema de dos cuerpos y la gravedad newtoniana, aquí no hay una aproximación. Con estas suposiciones, una órbita unida de un cuerpo alrededor de otro es una elipse, con cualquier cuerpo visto como fijo y el cuerpo fijo como uno de los focos de la elipse.

Esta es, por supuesto, una perspectiva no inercial. El cuerpo fijo está acelerando hacia el cuerpo en órbita. Desde la perspectiva de un marco inercial en el que el centro de masa está fijo en lugar de uno de los cuerpos, ambos cuerpos están en órbitas elípticas alrededor del centro de masa, siendo el centro de masa el foco común de las dos elipses.

Para demostrar que estos son de hecho equivalentes, supongamos que sabemos que el objeto B está orbitando el centro de masa de un sistema de dos cuerpos en una elipse, con el centro de masa en uno de los dos focos de la elipse. Esto significa que las coordenadas polares del objeto B con el origen en el centro de masa es

$$\vec r_B = \frac {a_B (1-e^2)}{1+e \cos\theta} \,\,\hat r$$ dónde $a_B$es la longitud del semieje mayor de la órbita, $e$es la excentricidad de la órbita, y $\theta$es el ángulo en el plano orbital subtendido por la máxima aproximación de B al centro de masa, el centro de masa y el propio objeto B.

¿Qué pasa con el otro objeto? Su posición en este sistema de centro de masa está restringida por$m_A \vec r_A = -m_B \vec r_B$. Por lo tanto, también se mueve en una elipse con el centro de masa como uno de los focos:

$$\vec r_A = \frac {a_A (1-e^2)}{1+e \cos\theta}(-\hat r)$$ dónde $a_A = \frac{m_B}{m_A} a_B$.

Finalmente, ¿qué pasa con el vector de desplazamiento entre los dos? Esto es

$$\vec r_B - \vec r_A = \left(1 + \frac {m_B}{m_A}\right) \frac {a_B(1-e^2)}{1+e\cos\theta} \,\, \hat r \equiv \frac {a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}\,\,\hat r$$ dónde $a \equiv \frac{m_A+m_B}{m_A}a_B = \frac{m_A+m_B}{m_B}a_A$.

Esto es, por supuesto, otra elipse. Se puede mirar de dos maneras diferentes: Desde la perspectiva del objeto.$B$orbitando un objeto fijo$A$, en cuyo caso objeto$A$está en uno de los focos de esta elipse, o desde la perspectiva del objeto$A$orbitando un objeto fijo$B$, en cuyo caso objeto$B$está en uno de los focos de esta elipse.

Primero, el hecho de que el planeta tenga una órbita elíptica con el sol en un foco puede deducirse sin aproximación. Esto está muy bien explicado en la respuesta de David Hammen. El marco de referencia que corresponde a esta vista no es inercial.

En el capítulo 8 de Marion todas las dinámicas se derivan siempre del marco del centro de masa. Como ya sabrás, el problema de dos cuerpos se puede resolver analíticamente, y esto se puede hacer colocando nuestro marco inercial en el centro de masa y trabajando con la masa reducida $\mu$.

Una aproximación que a veces se hace es la siguiente: como el sol suele ser mucho más masivo que el planeta, puedes tomar la aproximación de colocar el centro de masa de todo el sistema en el centro del sol. Como la masa del sol$m_S$es mucho más grande que la masa del planeta$m_P$($m_S >> m_P$), también puede tomar la aproximación$\mu \approx m_P$. Esto es equivalente a considerar al sol como un marco inercial. Esto significa que la mecánica habitual (mecánica de "marco inercial") no se puede aplicar directamente, pero es una buena aproximación. Si quieres resolver exactamente la dinámica del sistema debes moverte al centro de masa y trabajar desde ahí con la masa reducida.

El momento angular total es una cantidad conservada del sistema total porque nunca hay un par externo$\tau=r \wedge F$aplicado en el sistema. No importa qué observador seas, la dirección de la fuerza$F$siempre es paralela al vector de posición$r$, asi que$\tau=0$.

En el marco del centro de masa, el momento lineal total se conserva para todo el sistema, ya que no hay una fuerza externa que actúe sobre él; pero no para cada uno de los cuerpos por separado porque la gravedad actúa sobre cada uno de ellos.

Si pones tu marco en el sol o en el planeta (marcos no inerciales), entonces el momento lineal ya no se conserva, incluso para todo el sistema, porque la única contribución proviene del planeta, y esa no es una cantidad conservada.

Nota: es el centro de masa del sol el que se mueve en una órbita elíptica alrededor del centro de masa de los dos cuerpos, ya que ambos están hacia el sol.