Confundido acerca de la operación del transistor

Tiene la configuración incorrecta: conecte el emisor a tierra y agregue algunas resistencias.

La unión base-emisor es como un diodo, y la base será 0,7 V más alta que el emisor. Si solo le aplicara 5 V, está creando un cortocircuito: no hay resistencia entre 5 V y 0,7 V. Agregar una resistencia de 2 kΩ limitará la corriente según la Ley de Ohm:

$I = \dfrac{V}{R} = \dfrac{5 V - 0.7 V}{2 k\Omega} = 2.15 mA$

Entonces la corriente del colector será un múltiplo de eso. Si eso es 100 veces (puede encontrar el valor en la hoja de datos del BC108 como$H_{21E}$, que es un nombre que nadie usa, todo el mundo habla$H_{FE}$) entonces la corriente del colector será de 215 mA, 100 veces la corriente base.

Pero su transistor será inútil: siempre tendrá 12 V en el colector, sin importar la corriente. Y se calentará: ¡12 V a través de él y 215 mA a través de él son 2,58 W! Demasiado para la pobre. Entonces agregue una resistencia entre el colector y 12 V:

(Aquí también tenemos un LED, pero podemos hacerlo solo con la resistencia de 1 kΩ).

Teníamos una corriente de colector de 215 mA, lo que provocaría una caída de voltaje en la resistencia de 215 mA.$\times$1 kΩ = 215 V!, según la Ley de Ohm. Pero eso es imposible, solo tenemos 12 V y 12 V en la resistencia generarán una corriente de 12 mA, no más que eso. Entonces, la resistencia limita la corriente, incluso cuando el transistor intentará extraer más.

Si aumentáramos R2 a 100 kΩ, entonces la corriente base sería 50 veces menor, o 43$\mu$A, y la corriente del colector sería 100 veces mayor, o 4,3 mA. Entonces la caída de tensión en R1 será de 4,3 mA.$\times$1 kΩ = 4,3 V. Entonces el colector será 4,3 V más bajo que los 12 V, o estará a 7,7 V.

Entonces, al elegir la corriente de base correcta, puede crear un cierto voltaje en el colector, y cuando la corriente de base es demasiado alta, el voltaje del colector llegará a cero.

Nota
Puede hacer un circuito como lo hizo, con una resistencia entre el emisor y la tierra, pero entonces la resistencia debería ser mucho más pequeña que la del multímetro, que suele ser de 10 MΩ; un valor de 100 Ω a menudo es suficiente. Incluso entonces, no es un buen circuito aquí, ya que el voltaje del emisor nunca debe superar los 4,3 V (el emisor base de 5 V en - 0,7 V). Nunca tendrás 12 V allí, y ni siquiera puedo explicar que tienes un voltaje superior a 4,3 V.

editar

"Estaba pensando en multiplexar cuatro de mis pantallas colocando un transistor antes de cada ánodo común y luego conectando los 32 cátodos de segmento a 8 transistores".

Esto funcionará bien. Lo que describí es el controlador para un segmento. Conecte todos los cátodos para los mismos segmentos de las diferentes pantallas y use 8 salidas para controlar los 8 transistores.

Entonces necesita algo para pasar de una pantalla a la siguiente.

Esa será la parte del circuito alrededor de Q1 y Q2 (Q3 es el controlador del segmento). Q1 es un transistor PNP, que suministrará corriente a los segmentos de 1 pantalla, por lo que necesitará 4 de ellos, además de las partes circundantes (Q2, R1, R2 y R3). Q1 enviará corriente a su colector si hay una corriente desde el emisor (12 V) hasta la base. Obtenemos esa corriente activando Q2, un transistor NPN como vimos antes. Entonces, si hace que "Display 1" sea alto, fluirá una corriente de 12 V a través de la base del emisor de Q1 y R2 al colector de Q2. Puede usar un BC807 para Q1.
Nota: me desharía del BC108. Es una vieja bestia, y Digikey, que vende de todo, ni siquiera lo incluye en la lista. Alternativa: BC337; alto$H_{FE}$selecciones disponibles y corriente máxima de 500 mA.