Comportamiento de la función de onda tras la medición

Hay dos puntos básicos que debes entender.

Primero, en la teoría cuántica deberías prestar más atención a las afirmaciones hechas sobre las observaciones que a lo que sucede con objetos como la función de onda. La naturaleza del colapso radica en las probabilidades condicionales. Si tienes (en la foto de Heisenberg)$|\alpha,t\rangle$como un estado propio de lo observable$A(t)$ con espectro discreto también tienes el operador de proyección,

$$\begin{equation}\hat{\mathcal{P}}_\alpha(t)=|\alpha,t\rangle\langle\alpha,t|,\quad\hat{\mathcal{P}}_\alpha(t)=\Big(\hat{\mathcal{P}}_\alpha(t)\Big)^\dagger,\quad \hat{\mathcal{P}}_\alpha(t)\hat{\mathcal{P}}_\beta(t)=\delta_{\alpha\beta}\hat{\mathcal{P}}_\alpha(t) \end{equation}$$ La probabilidad de la medida $A(t)=\alpha$es dado por, $$\begin{equation} P_\psi\Big[A(t)=\alpha\Big]=\langle\psi|\hat{\mathcal{P}}_\alpha(t)|\psi\rangle=|\langle\alpha,t|\psi\rangle|^2 \end{equation}$$ El colapso es una declaración de que la probabilidad condicional para la próxima medición es una probabilidad calculada para el estado proyectado, $$\begin{equation} P_\psi\Big[B(t_2)=\beta|A(t_1)=\alpha\Big]=P_{\hat{\mathcal{P}}_\alpha(t_1)\psi}\Big[B(t_2)=\beta\Big] \end{equation}$$ que está relacionado con la fórmula para las probabilidades de dos medidas consecutivas, $$\begin{equation} P_\psi\Big[A(t_1)=\alpha,B(t_2)=\beta\Big]=\langle\psi|\hat{C}^\dagger\hat{C}|\psi\rangle,\quad \hat{C}=\hat{\mathcal{P}}_\beta(t_2)\hat{\mathcal{P}}_\alpha(t_1) \end{equation}$$

En segundo lugar, solo los estados normalizables son físicos. Función de onda$\psi(x)=\delta(x)$tiene norma infinita$\int_{-\infty}^{+\infty}dx\,|\psi(x)|^2$por lo que no se puede realizar en la naturaleza. Matemáticamente se dice que los "estados propios" de los observables con espectro continuo como coordenadas o momento,$|x,t\rangle$o$|p,t\rangle$no pertenecen al espacio de Hilbert. En cambio, funcionan como distribuciones: puede construir los paquetes de ondas$\int_{-\infty}^{+\infty}\psi(x)|x,t\rangle$que pertenecerá al espacio de Hilbert.

Eso está relacionado con las propiedades de probabilidad para el espectro continuo incluso en el caso clásico. No podemos considerar la probabilidad del resultado.$X(t)=x$! Solo podemos hablar de funciones de densidad de probabilidad$p(x)$y probabilidades de que el resultado esté en algún intervalo$P(x_1<x<x_2)=\int_{x_1}^{x_2}dx\,p(x)$.

En teoría cuántica$|x,t\rangle\langle x,t|$no es un proyector, sino que se llama una medida de valor proyectivo que puede formar un proyector real si toma algún intervalo,

$$\begin{equation} \hat{\mathcal{P}}_{x_1<X<x_2}(t)=\int_{x_1}^{x_2}dx|x,t\rangle\langle x,t| \end{equation}$$ Entonces, cuando considere probabilidades condicionales, debe tomar la condición de $X$perteneciente a algún intervalo. Entonces, $$\begin{equation} P_\psi\Big[B(t_2)=\beta|x_1<X(t_1)<x_2\Big]=P_{\hat{\mathcal{P}}_{x_1<X<x_2}(t_1)\psi}\Big[B(t_2)=\beta\Big] \end{equation}$$ Entonces, en cierto sentido, puedes decir que para dar medidas $x_1<X(t_1)<x_2$la función de onda "colapsó" a la $\hat{\mathcal{P}}_{x_1<X<x_2}(t_1)|\psi\rangle$.

A menudo se dice sobre esta pregunta que las medidas reales tienen un error finito. Luego, ingenuamente, en lugar de funciones delta, la función de onda en realidad colapsa en algunos grumos suaves. El problema aquí es que tales bultos se superpondrán, es decir, los diferentes resultados no se excluyen entre sí. Entonces, el concepto estándar de las medidas proyectivas (que conducen a la noción de "colapso") no funciona y, en su lugar, debe usar medidas de valor de operador positivo (POVM) reemplazando los proyectores con operadores autoadjuntos positivos generales. Básicamente, esa "solución" es que su observable inicial no describe adecuadamente el proceso de medición real y la probabilidad resultante en realidad puede diferir de la ingenua$|\psi(x)|^2$y no elude las consideraciones anteriores sobre las probabilidades condicionales.