¿Cómo puedo obtener los caudales de empuje / masa necesarios para lograr una velocidad de combustión determinada para un cohete con una etapa óptima?

Entiendo cómo usar los multiplicadores de Lagrange para obtener las masas óptimas de las etapas dada la masa de la carga útil, la velocidad de quemado, las relaciones estructurales de cada etapa y los impulsos específicos de cada etapa. Sin embargo, la formulación de "etapa óptima" parece ser independiente del caudal másico metro ˙ , que es un ingrediente esencial para calcular el empuje general T que necesita producir una etapa:

T = yo s pag gramo 0 metro ˙

Según tengo entendido, el clásico problema de etapas óptimas puede decirle cuánto combustible necesita en cada etapa para darle a la carga útil una velocidad dada, pero no le dice qué tan rápido debe quemarse para lograr esto. ¿Cómo puedo encontrar la tasa de flujo de masa (óptima) necesaria para enviar la carga útil del cohete en etapas óptimas a la velocidad deseada? ¿Existe otra formulación del problema de optimización que pueda ayudarme a obtener los caudales másicos óptimos de cada etapa además de las masas de las etapas? ¿O hay alguna manera de que pueda calcular primero los empujes necesarios (óptimos) de cada etapa para luego poder derivar las tasas de flujo de masa óptimas?

Que yo sepa, esto siempre se resuelve pragmáticamente. Su elección de motores disponibles cuantifica (o al menos restringe, si se puede regular) el empuje (y, por lo tanto, el flujo másico). Agregue motores hasta que su T/W a toda velocidad en el despegue sea > 1.15 más o menos. Más motores reducen la pérdida de gravedad pero aumentan la masa seca (y la pérdida de arrastre, a menos que se pueda acelerar profundamente). En ausencia de límites de resistencia de la atmósfera, la masa del motor y la estructura, querría un empuje obscenamente alto para una pérdida de gravedad mínima.
@RussellBorogove: ¿Por qué 1.15? ¿Hay algo significativo acerca de esta proporción, específicamente? ¿Hay alguna manera de derivar una relación óptima de empuje a peso para cada etapa para lograr la velocidad de agotamiento dada la puesta en escena óptima?
El despegue inicial T/W debe ser mayor que 1 o no irá a ninguna parte. Con 1.0 exactamente, pasará mucho tiempo moviéndose lentamente al lado de la torre o del respaldo; es más seguro limpiarlo rápidamente. 1,15 es lo más bajo que he visto en la práctica. Como dije, en ausencia de problemas de ingeniería del mundo real, la relación T/W óptima es arbitrariamente alta. El óptimo práctico implicará la ingeniería estructural, la aerodinámica y la disponibilidad del motor.
(El T/W más alto de la plataforma que he visto fue de aproximadamente 1,6: Hayabusa 2 en el lanzador H-IIA).
Entonces, con respecto a las relaciones de etapa, he leído que, en igualdad de condiciones, desea una relación de masa de combustible / contribución de ∆v similar para etapas con Isp similar, pero una relación mayor y, por lo tanto, una mayor contribución de ∆v para etapas con Isp más bajo , que parece un poco contrario a la intuición, ¿es esa la relación correcta?
@RussellBorogove Wimpy! El más alto que conozco fue el interceptor de misiles balísticos Sprint. 84 g en el encendido, 100 g promedio. Ambas etapas se gastaron en 5 segundos pero lo dejaron con solo el 40% de la velocidad orbital.
@LorenPechtel Jaja, sí, supongo que quise decir lo más alto de la plataforma para lanzadores orbitales sin limitaciones de tiempo hasta el destino. Sprint, además, pierde mucho al arrastrar.

Respuestas (1)

Esta pregunta inherentemente no puede responderse ya que el problema no está completamente definido.

Tienes tres problemas muy diferentes en función de dónde te encuentres:

1) En el espacio: aquí es simple: desea el motor más pequeño que pueda obtener que no sacrifique el ISP. Un motor más grande completará la combustión más rápido, pero ¿y qué? Usar la misma masa como combustible seguramente lo llevará más rápido al reducir el tiempo de viaje. Mire algunos de los tiempos de encendido que la NASA enumera para las maniobras de sus sondas del espacio profundo y verá que sus motores tienen que ser pequeños.

2) En un cuerpo sin aire: ahora se vuelve mucho más complejo y no hay una respuesta óptima sin considerar la misión completa. Cuanto mayor sea el empuje de su motor, menos delta-v utilizará, pero llevará más peso del motor, y también habrá tenido que llevar ese peso del motor allí en primer lugar. Transportar ese motor más grande puede costarle más combustible del que ahorra al reducir su pérdida de gravedad.

3) En la atmósfera: ahora es aún más complejo, ya que debe tener en cuenta la resistencia del aire; ahora, el motor más grande también conlleva una mayor penalización por arrastre, así como una mayor penalización por peso. No solo debe considerar toda la misión, sino que también debe considerar la forma de su cohete.

Dado que los casos n.º 2 y n.º 3 son optimizaciones entre variables en competencia que debe optimizar para cada misión, no hay ecuaciones simples que le den la mejor respuesta general.

Además, a menos que desee diseñar un motor para la misión, está limitado a lo que hay en el estante, y eso puede no ser óptimo para lo que quiere hacer. Juego a Kerbal Space Program y he enviado muchas naves espaciales sobrecargadas porque las piezas disponibles no encajan perfectamente con mis objetivos y porque los motores pueden tener que operar en varios reinos. Considere una misión simple: Aterrice una sonda en Mun (la luna más cercana). La primera parte de la misión es el vuelo atmosférico. La segunda parte de la misión es el vuelo espacial (órbita de transferencia, quema de inserción orbital). La tercera parte es el vuelo del cuerpo sin aire.

Ahora, los propulsores utilizados para salir de Kerbin generalmente retrocederán. El vuelo espacial está en mi categoría #1, lo que diría que use el motor más pequeño. Sin embargo, voy a aterrizar, lo que significa que debo llevar suficiente empuje para aterrizar. ¿Por qué no simplemente usar el motor de aterrizaje para el vuelo espacial también? Por lo tanto termino haciendo la misión espacial en motores capaces de aterrizar en el Mun, no simplemente llegar allí.

Ahora, considere una misión más costosa: Aterrizar en Ike. Es la luna del análogo de Marte, una gravedad un poco más débil que la Mun. Sin embargo, tienes que hacer el viaje interplanetario. Si es un módulo de aterrizaje simple, usaría el mismo sistema, solo que con un poco más de combustible. Sin embargo, si estoy tomando algo grande (por ejemplo, un vehículo explorador tripulado capaz de explorar la luna), la economía cambia: obtienes un cohete más pequeño y más barato haciendo todas las maniobras espaciales con un motor nuclear. Sin embargo, no viene en un tamaño realmente pequeño, por lo que no se usa para las cosas pequeñas.

No estoy de acuerdo. El problema de puesta en escena óptima está bien definido, incluso si no es una representación perfecta de toda la física involucrada en el despegue (cualquier texto sobre mecánica orbital confirmará esta afirmación). La solución al problema estima cuánto propulsor se necesita en cada etapa para lograr la velocidad de combustión deseada (basada en idealizaciones de la ecuación del cohete). Para la masa propuesta, también debe haber un requisito de empuje mínimo para alcanzar el resultado deseado.
@Paul El rendimiento de un cohete en particular está bien definido por una ecuación bastante simple. Sin embargo, eso no es lo mismo que encontrar los valores óptimos para toda la misión.
Por ahora, solo me preocupa analizar el despegue y alcanzar la órbita a una velocidad dada usando etapas. El clásico problema de la puesta en escena ignora claramente los efectos aerodinámicos. Para simplificar, también estoy ignorando los efectos aerodinámicos.
¿Cómo puedo obtener los caudales de empuje / masa necesarios para lograr una velocidad de combustión determinada para un cohete con una etapa óptima?
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