Cómo probar: (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) por deducción natural

No ayuda comenzar su prueba con la declaración que está tratando de probar . De hecho, (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) debería ser la última línea de su prueba, no la primera . Entonces, toda su configuración para la prueba no es buena.

En su libro, Tomassi establece lo que él llama la "regla de oro":

Pregunte: (i) ¿es la conclusión un condicional? Si es así, aplicar CP. Si no, pregunte: (ii) ¿alguna o todas las premisas son disyunciones? Si es así, aplique vE. Si no, asuma la negación de la conclusión deseada y pruebe la estrategia RAA.

Si aplica la regla de oro a su problema, encontrará que termina con la última estrategia: negar la conclusión deseada y probar la estrategia RRA. Entonces, se verá algo como esto:

{1} 1. ~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) Suposición para RAA

...

{1} norte [alguna contradicción]

{}n+1. ~~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) 1,n RAA

{}n+2. (( P → Q ) ∨ ( Q → R )) n+1 DNE

De hecho, observe cómo se ven así las pruebas de Eliran y Frank... excepto que ninguna está en el formato de Tomassi. Así es como haces el resto en el formato de Tomassi:

{1} 1. ~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) Suposición para RAA

{2} 2. Q Supuesto para RAA

{3} 3. P Suposición

{2,3} 4. P&Q 2,3 &I

{2,3} 5. Q 4 &I (aquí está de nuevo el truco de aumento, ver pág. 53-54)

{2} 6. P → Q 3,5 CP

{2} 7. ( PAG → Q ) ∨ ( Q → R ) 6 ∨I

{1,2} 8. (( PAG → Q ) ∨ ( Q → R )) & ~(( PAG → Q ) ∨ ( Q → R )) 1,7 &I

{1} 9. ~Q RAA 2,8

{10} 10. ~R Supuesto para RAA

{2,10} 11. P & ~R 2,10 &I

{2,10} 12. Q 11 &E (¡truco de aumento una vez más!)

{1,2,10} 13. P & ~P 9,12 &I

{1,2} 14. ~~R 10,13 RAA

{1,2} 15. R 14 DNE

{1} 16. Q → R 2,15 CP

{1} 17. ( PAG → Q ) ∨ ( Q → R ) 16 ∨I

{1} 18. (( PAG → Q ) ∨ ( Q → R )) & ~(( PAG → Q ) ∨ ( Q → R )) 1,17 &I

{} 19. ~~(( P → Q ) ∨ ( Q → R )) 1,18 RAA

{} 20. (( PAG → Q ) ∨ ( Q → R )) 19 DNE

Dado que el argumento no tiene premisas, debemos comenzar con una suposición, ya sea por reducción o por prueba condicional. En este caso, la prueba condicional no funcionaría, así que tenemos que optar por la reducción. Así que empezamos con:

1. | ~((P→Q)∨(Q→R))        assumption

Ya que vamos por reductio, necesitamos derivar una contradicción. Dado que todo lo que tenemos es esta suposición, nuestra contradicción estará en su negación. Así que tenemos que generar (P→Q)∨(Q→R). ¿Cómo? Generando una de las disyuntivas. Así que agregue otra suposición para otra reducción.

2. || ~(P→Q)               assumption

Obtener una contradicción de esto es un poco complicado, pero así es como procede la prueba. Aquí está la prueba completa:

 1. | ~((P→Q)∨(Q→R))                assumption (for reductio)
 2. || ~(P→Q)                       assumption (for reductio)
 3. ||| Q                           assumption (for reductio)
 4. |||| P                          assumption (for conditional)
 5. |||| Q                          3
 6. ||| P→Q                         4-5 (conditional)
 7. ||| (P→Q)&~(P→Q)                6,2 (&-intro)
 7. || ~Q                           3-7 (reductio)
 8. ||| Q                           assumption (for conditional)
 9. |||| ~R                         assumption (for reductio)
10. |||| Q&~Q                       7,8 (&-intro)
11. ||| R                           9-10 (reductio)
12. || Q→R                          8-11 (conditional)
13. || (Q→R)∨(P→Q)                  12 (∨-intro)
14. || ((Q→R)∨(P→Q))&~((Q→R)∨(P→Q)) 13,1 (&-intro)
15. | P>Q                           2-14 (reductio)
16. | (P→Q)∨(Q→R)                   15 (∨-intro)
17. | ((P→Q)∨(Q→R))&~((P→Q)∨(Q→R))  16,1 (&-intro)
18. (P→Q)∨(Q→R)                     1-17 (reductio)

Aquí hay una prueba similar a la de Eliran. Utiliza reiteración (línea 4) y prueba indirecta (líneas 12 y 16) que no creo que hayan sido introducidas antes de este ejercicio en el texto de Tomassi (página 106). Lo estoy presentando en el comprobador de pruebas de Klement para mostrar que tal prueba funcionaría con reglas diferentes, pero tenemos que usar las reglas permitidas.

Tomassi muestra cómo evitar la reiteración en las páginas 63-4 usando primero la introducción de la conjunción y luego la eliminación de la conjunción. Esta siguiente prueba reemplaza la reiteración (líneas 4 y 5) y la prueba indirecta con introducción de contradicción y eliminación de doble negación (líneas 13-14 y 18-19) que correspondería a reductio ad absurdum.

Esto toma un paso menos de lo que requiere Tomassi, sin embargo, creo que sigue solo las reglas que puede usar. Dejaré el formato final de la prueba a usted.

Referencias

Editor y comprobador de pruebas de deducción natural JavaScript/PHP estilo Fitch de Kevin Klement http://proofs.openlogicproject.org/

PD Magnus, Tim Button con adiciones de J. Robert Loftis remezcladas y revisadas por Aaron Thomas-Bolduc, Richard Zach, forallx Calgary Remix: An Introduction to Formal Logic, invierno de 2018. http://forallx.openlogicproject.org/

Paul Tomassi, Lógica, Routledge 1999

Esta es mi respuesta hasta ahora:

{1} 1. (P -> Q) v (Q->R) Suposición

{2} 2. P -> Q Asno para vE

{3} 3. P culo para CP

{4} 4. ~Q Culo para RAA

{2,4} 5. ~P 2,4 MT

{2,3,4} 6. P & ~P 3, 5 &I

{2,3} 7. ~~P 4, 6 RAA

{2,3} 8. P 7 DNE

{2} 9. P -> Q 3, 8 CP

{2} 10. (P -> Q) v (Q->R) 9 vI

{11} 11. Q -> R Culo para vE

{12} 12. Culo Q para CP

{13} 13. ~R Culo para RAA

{11,13} 14. ~Q 11, 13 MT

{11,12,13} 15. P y ~P 12, 14 y yo

{11,12} 16. ~~R 13, 15 RAA

{11,12} 17. R 16 DNE

{11} 18. Q -> R 12, 17 CP

{11} 19. (P -> Q) v (Q->R) 18 vi

{1} 20. (P -> Q) v (Q->R) 1, 2, 10, 11, 19 vE

No sé cómo descargar la suposición 1.

¿Alguna ayuda por favor?