¿Cómo es constante el campo eléctrico creado por una batería dentro de un alambre conductor?

En la electrodinámica de baja velocidad, las leyes electrostáticas aún se mantienen. Si no está de acuerdo, considere que la ley de ohmios es el punto de partida de la electrodinámica de los circuitos en forma vectorial.

$$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$$

No hay término magnético. De hecho, lo que nos dice la ley de ohm es que la densidad de carga de volumen en un conductor (mejor dicho material resistivo) es proporcional a la fuerza por carga. Así que debería ser así:

$$\mathbf{J}=\sigma (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$$

Pero, el hecho de que se enseñe en la primera forma se debe a la velocidad muy baja de las cargas en movimiento en un circuito. Así que estando de acuerdo en esto, podemos proceder así:

En electrostática, despreciando la parte dieléctrica porque aquí no la necesitamos, cualquier configuración puede considerarse como la superposición de 1. las densidades de carga allí presentes 2. el resto.

El resto incluye electrodos mantenidos a tensión constante.

Después de encontrar el potencial de las dos partes, podemos sumarlas y luego, tomando el gradiente, podemos encontrar el campo eléctrico.

Para la segunda parte (el resto), puedes ver que los únicos electrodos que hay son los dos que has mencionado que se mantienen a potencial constante.

Dentro del conductor tenemos: potencial fijo en los extremos y el hecho de que la carga no puede escaparse del conductor en los lados redondos. En términos matemáticos, esto se escribe así:

$$0=\mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}}=\mathbf{E}\cdot\mathbf{\hat{n}}=\nabla V\cdot\mathbf{\hat{n}}=\frac{\partial V}{\partial n}=0$$

De acuerdo con un teorema de unicidad, si$V$o$\frac{\partial V}{\partial n}$se conoce en todos los límites, entonces el potencial se determina de forma única en el interior. Entonces, mientras las condiciones de contorno se mantengan constantes (que es el caso aquí), el potencial interior será constante. Además, siempre que el potencial sea único, puedes adivinar la respuesta. Aquí, un campo eléctrico uniforme satisfará todas las condiciones de contorno, por lo que esta es la única respuesta.

Sobre la primera parte (densidades de carga), siempre que estemos hablando del interior del conductor, tenemos:

$$\frac{\rho}{\epsilon_0}=\nabla \cdot \mathbf{E}=\frac1\sigma \nabla \cdot \mathbf{J}=0 \ \implies \ \rho =0$$

Porque el campo eléctrico en el interior es uniforme.

Entonces esto nos dice que no hay carga dentro del conductor.

Ahora, si superponemos los dos casos, el campo resultante también será constante porque el campo en la segunda parte era constante.

---

Sin perder la generalidad, como punto, puedes aprender esta regla:

Mientras las condiciones de contorno y las fuentes no cambien, el campo resultante no cambiará.

Esta es mi oportunidad.. :)

Si observa el campo eléctrico de un dipolo, puede verificar que hay más líneas de campo cerca de las cargas que en el medio. En otras palabras, la electricidad no es constante a lo largo del espacio entre polos. Pero sigamos adelante y tratemos de entender qué sucede en el cable –al principio– cuando lo conectamos a una batería.

Primero, suponga que el campo E es constante. Me encanta la analogía del electrón como una bola que cae a través de un plano con pendiente constante (campo E constante) y algunas rocas dentro. En este caso, todos los electrones fluirán, en promedio, con cierta velocidad de deriva.

Ahora supongamos, como en el caso del dipolo, que en el medio de ese plano hay un espacio con menor pendiente (menor campo E). ¿Qué ocurrirá? Que veremos una mayor densidad de electrones en ese espacio.

Ahora volvamos al mundo de la carga. ¿Cuál es el efecto de una acumulación de carga? Un campo eléctrico inducido, opuesto a la dirección del campo causado por la batería. Este campo eléctrico inducido reducirá la fuerza neta experimentada por los electrones en la región de mayor pendiente, es decir, reducirá esa pendiente.

Entonces, el campo E inicial no es constante, pero una vez que los electrones libres del cable "entienden" y reaccionan a ese campo inicial, se logra un nuevo campo E constante. Este nuevo campo E no puede ser cero ya que el cable está conectado a una batería con voltaje constante.

Espero haber agregado algo de valor.. :)

Se utiliza un cable para conducir electricidad a lo largo de su longitud. Entonces, en el uso normal, con toda la corriente paralela al eje del cable cilíndrico, el potencial eléctrico es una función solo de la dimensión de longitud (si variara con la dimensión o dirección radial, la corriente fluiría hacia los lados).

El gradiente de potencial, es decir, el campo, solo puede ser a lo largo de la dimensión de longitud. Según la ley de Ohm, eso significa que toda la corriente va en esa dirección, y según la regla de Kirchoff, la corriente en los bits en serie del cable es igual. La única solución que se ajusta a todos estos hechos es un campo uniforme dentro del cable.

Si el cable cambiara de composición (teniera una composición diferente a lo largo de su longitud), la ley de Ohm insistiría en que el gradiente de campo sea mayor en las partes de mayor resistividad. Eso significaría un campo NO uniforme.

Si se impuso una corriente de dirección no axial, o una variación significativa en el diámetro del cable, todas las apuestas están canceladas. Se requiere simetría.