Cómo encontrar las coordenadas ECI para una órbita circular

Comience por pensar en términos de rotaciones de Euler. Usando la regla de la mano / mano derecha de Ampere, "comience" con su mano alineada con el marco ECI "origen". Imagina que tu mano derecha está centrada en la Tierra, por lo que una nave espacial estará en órbita alrededor de tu mano. Específicamente, su distancia más lejana al origen es el semieje mayor, pero como estamos en una órbita circular, la única distancia de la nave espacial es la sma. Trabajaremos para encontrar el cuadro de "destino" correcto. Sabrá que ha "alcanzado" el marco de destino cuando el movimiento de la nave espacial se pueda representar mediante una rotación alrededor de un solo eje. Mirando el diagrama de la regla de la mano derecha a continuación, significa que el movimiento de su nave espacial corresponde solo a una rotación alrededor de su pulgar.

Piensa en la ascensión recta del nodo ascendente. ¿Qué significa en términos de geometría? Significa que la nave espacial siempre cruzará el plano orbital en ese ángulo en comparación con el "origen" del marco. Mirando el diagrama de la regla de la mano derecha a continuación, ese plano orbital es el plano creado a partir de los vectores a y b. El RAAN se mide desde el marco de origen, por lo tanto, desde el vector a. Por lo tanto, en términos de rotación, la RAAN corresponde a una rotación sobre el vector a-cruz-b (es decir, su pulgar). Eso corresponde a una rotación de Euler por el tercer eje.

Ahora imagina lo que significa que tu órbita tenga una inclinación con respecto a tu mano derecha. Corresponde a una rotación sobre su dedo índice, que es el 1er eje. Hasta ahora, hemos hecho dos rotaciones: por el 3er y el 1er eje.

La rotación final será para la verdadera anomalía de tu órbita. Como se discutió en el primer párrafo, en este punto, el movimiento de su nave espacial se describe completamente mediante una rotación de su pulgar, es decir, una rotación alrededor del tercer eje. Esto significa que, después de haber tenido en cuenta esa rotación, habremos hecho una rotación de Euler 3-1-3, donde los ángulos son, respectivamente, la RAAN, la inclinación y la anomalía verdadera.

Entonces, ¿cuál es el vector inicial con el que necesita multiplicar su matriz de coseno directo? Bueno, retrocediendo hasta el comienzo del problema, hemos dicho que la nave espacial se describió girando alrededor de tu mano, y hemos hecho todas las rotaciones con {índice, dedo medio, pulgar} como marco. Por tanto, el vector inicial es [sma; 0; 0].

Además, en una órbita circular, la velocidad angular es constante. Por lo tanto, puede calcular el período orbital a partir del movimiento medio y el GM de la Tierra: el período es simplemente 2 pi dividido por el movimiento medio. Finalmente, sabe cuánto tiempo ha pasado desde el paso del periápside de la nave espacial, por lo que puede determinar completamente la verdadera anomalía.

Ahora tiene todos los bits para crear el estado X, Y, Z a partir de los datos que recibió. Avíseme si esta explicación necesita aclaración.

El proceso de conversión entre elementos orbitales keplerianos/clásicos en vectores de estado ECI se describe en una serie de libros, uno de los más populares es "Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería" de Howard D. Curtis. Aquí haré un breve resumen:

La orientación del plano orbital se describe mediante la ascensión recta, la inclinación y el argumento del periapsis. El semieje mayor describe "el tamaño", la excentricidad "la forma" y la anomalía verdadera rastrea la posición frente al tiempo de un cuerpo en esa órbita.

Los 3 ángulos para describir la orientación del plano orbital son los ángulos de una secuencia de ángulos de Euler 3-1-3 que describen la orientación del marco de la órbita con respecto al marco ECI. Este marco de órbita se conoce como marco perifocal y se define de la siguiente manera: el eje x apunta desde el centro de la órbita hasta el punto del periapsis en la órbita el eje z apunta desde el centro de la órbita hasta la dirección del momento angular de la órbita (velocidad cruzada de posición en cualquier punto de la órbita ya que es constante en una órbita de dos cuerpos) el eje y completa el sistema de mano derecha (+z cruz +x = +y)

Puede calcular los vectores de posición y velocidad de la órbita con respecto al marco perifocal usando la anomalía verdadera, a, e y mu, y luego, una vez que lo haga, use una matriz de rotación para convertir las coordenadas de los vectores de posición y velocidad. desde la montura perifocal hasta la montura ECI, y entonces tienes tu respuesta.

Sin embargo, debe tenerse en cuenta que para órbitas puramente circulares, técnicamente no hay un punto de periapsis, pero aún puede definirlo arbitrariamente y continuar.

En cuanto al software para hacer esto, puede escribir la función usted mismo (lo que recomendaría hacer al menos una vez para practicarla) o usar programas ya escritos. Me gusta usar el software SPICE de la NASA (llamado de Python), ya que está muy probado, originalmente escrito en Fortran pero el envoltorio de Python llama a la versión C del mismo, y el sistema SPICE en su conjunto es muy poderoso. MATLAB también tiene un contenedor para CSPICE, aunque no lo he usado.

Específicamente, si desea ver cómo escribir esta función usted mismo en Python, tengo un video que lo repasa:

También tengo videos sobre cómo usar el envoltorio CSPICE Python (llamado Spiceypy) que también puedes encontrar en el canal, pero dejaré enlaces aquí para SpiceyPy y específicamente la función CSPICE para convertir elementos orbitales en vectores de estado: https ://spiceypy.readthedocs.io/en/master/documentation.html https://naif.jpl.nasa.gov/pub/naif/toolkit_docs/C/cspice/conics_c.html

¡Espero que esto sea útil!