¿Cómo encontrar la intensidad del campo del tren de pulsos?

Está combinando dos puntos de vista diferentes sobre la descripción del tren de pulsos de attosegundos; en particular, está revoloteando de un lado a otro entre las descripciones del dominio del tiempo y del dominio de la frecuencia, y no le está haciendo muchos favores.

Primero veamos algunas cosas:

El campo total es

$$E(t) = \cdots + E(t-2\pi/\omega)-E(t-\pi/\omega)+E(t)-E(t+\pi/\omega)+E(t+2\pi/\omega)- \cdots,$$

Es probable que este tipo de descripción lo desvíe rápidamente, porque tiene un campo eléctrico total$E(t)$en el lado izquierdo y un campo por evento$E(t)$a la derecha, usando el mismo símbolo para las dos cantidades diferentes. Esto hace que sea muy difícil saber exactamente a qué se refieren sus consultas posteriores.

Para hacer las cosas un poco más claras, escriba

Para empezar, en general hay un problema porque el campo eléctrico aún contendrá los armónicos fundamentales, así como los armónicos por debajo del umbral, y estos son al menos varios órdenes de magnitud más fuertes que el tren de pulsos de attosegundos que desea describir, por lo que necesita hacer un filtrado espectral para eliminarlos. (Por supuesto, esto se refleja en el experimento, donde necesita usar diferentes radios de espejo para los componentes IR y XUV si está haciendo una sonda de bomba entre los dos, o filtros de película metálica adecuados en su salida HHG si quiere para hacer bomba-sonda XUV-XUV, etc.) Sin embargo, supondré que esto se ha solucionado y que su campo eléctrico no contiene componentes espectrales no deseados.

Después de eso, definir la intensidad termina teniendo más que ver con lo que quieres hacer exactamente con tu experimento.

• Muy a menudo, desea usar su tren de pulsos para excitar alguna transición específica en un objetivo, por lo que observa la energía total en ese armónico. Esto significa que está viendo las contribuciones de todos los semiciclos del tren; alternativamente, su objetivo es de banda estrecha por debajo de la frecuencia del controlador, lo que significa que su respuesta temporal (coherente) lleva más de un ciclo y, por lo tanto, debe incluir todos los pulsos de manera coherente.

  En este caso la medida relevante es la intensidad espectral$I(\Omega)=|E_\mathrm{tot}(\Omega)|^2$en la frecuencia particular$\Omega=n\omega$que le interese. Esto se puede relacionar con la transformada de Fourier de la señal por evento$E(t)$, ya que la transformada de Fourier de los desplazados$E(t+k\pi/\omega)$difiere en una fase de$E(\Omega)$, como$e^{-ik\pi\Omega/\omega}E(\Omega)$, entonces

  $$\begin{align} |E_\mathrm{tot}(\Omega)|^2 &= \left|\sum_{k=K}^J (-1)^k E(\Omega) e^{-ik\pi\Omega/\omega} \right|^2 \\ & = \sum_{k=K}^J (-1)^k\sum_{k'=K}^J (-1)^{k'} E(\Omega)E(\Omega)^* e^{-i(k-k')\pi\Omega/\omega} \\ & = |E(\Omega)|^2\sum_{k=K}^J\sum_{k'=K}^J (-1)^{k-k'}e^{-i(k-k')\pi\Omega/\omega}. \end{align}$$ Aquí la suma representa la combinación de las contribuciones de los diferentes semiciclos de emisión, pero la suma se factoriza y, en general, devolverá un factor de$N^2$, para$N=J-K+1$, el número total de ciclos que contribuyen: $$|E_\mathrm{tot}(\Omega)|^2 =N^2|E(\Omega)|^2$$ cuando$\Omega=n\omega$. Esto se debe a que la energía de los diferentes semiciclos se suma de manera coherente, produciendo un patrón de interferencia en el dominio de la frecuencia (es decir, el peine armónico), al tomar energía de las frecuencias prohibidas (primero los armónicos pares, luego todo lo que no es múltiplo). de la frecuencia del controlador) y concentrándolo en los armónicos que interfieren constructivamente. Desde el punto de vista del objetivo, estas son las contribuciones de todos los diferentes semiciclos que se suman de manera coherente.

• Sin embargo, en la mayoría de las situaciones, lo que realmente le importa es la energía de pulso total en cada pulso del tren, ya que esto le dará la representación más directa de qué tan brillante es su pulso. Para obtener esto, debe integrar la intensidad espectral en todo el espectro, dando

  $$\begin{align} U=\int |E_\mathrm{tot}(\Omega)|^2 \mathrm d\Omega&= \int |E(\Omega)|^2\sum_{k=K}^J\sum_{k'=K}^J (-1)^{k-k'}e^{-i(k-k')\pi\Omega/\omega}\mathrm d \Omega \end{align}$$ Aquí la interferencia ya no da un efecto cuadrático, porque estás contando regiones con interferencia tanto constructiva como destructiva, por lo que las energías de los diferentes pulsos se suman linealmente. En general, es más fácil buscar la energía completa en el espectro total y luego dividir por$N$para obtener la energía por pulso, pero nuevamente, depende de lo que realmente vayas a hacer con tu pulso.