¿Cómo encontrar el voltaje de un capacitor en una red Op-amp + RC?

Este ejercicio es realmente bueno porque cubre mucho material en una pregunta aparentemente simple. La mayor parte del trabajo que hiciste es bueno (excepto el error en el signo de e), pero te perdiste un aspecto clave, como verás.

Perdóname por volver a dibujar el circuito con algunas etiquetas adicionales, porque hará que las cosas sean mucho más fáciles de consultar más adelante.

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Cuando yo escribo$V_{OUT}$, me refiero al potencial en el nodo "OUT", relativo a tierra (0V). El potencial en el nodo "P" es$V_P$, etcétera. El voltaje a través de R1 será$V_{R1}$, el voltaje a través de R2 es$V_{R2}$etcétera. Dado que$V_{C1} = V_{OUT} - 0V = V_{OUT}$, solo voy a decir$V_{OUT}$en lugar de referirse al voltaje a través de C1. Las corrientes a través de los componentes se etiquetarán$I_{R1}$,$I_{R3}$etc.

Por cierto, generalmente no nos referimos a las entradas del opamp como "positivas" y "negativas", porque hay lugar para la confusión entre esas entradas y sus terminales de suministro. Los términos correctos son "no inversor" (para el terminal "+") e "inversor". En mi diagrama, elegí deliberadamente los nombres de nodo "P" y "Q" para evitar tal ambigüedad, y porque decir repetidamente "el voltaje en la entrada no inversora" rápidamente se vuelve tedioso. Dicho "$V_P$"es mucho más fácil.

Comenzando como lo hizo, encontrando el estado del sistema para$t < 0$, después de haber estado así durante mucho tiempo, desde que el interruptor está en su posición abierta, el nodo P se conecta a tierra, y así:

$$V_P(t<0) = 0V$$

Usted describió correctamente el comportamiento del opamp. Es decir, siendo ideal y teniendo retroalimentación negativa, ajustará su salida$V_E$de tal manera que se mantenga la condición$V_Q = V_P$. Probablemente puedas ver intuitivamente que para$V_Q$ser igual que$V_P = 0V$, la única forma en que puede ser cierto es si$V_E = 0V$también. Sin embargo, siguiendo su ejemplo, deduciré formalmente$V_E$:

$$V_Q = V_P = 0V$$

$$0V + V_{R2} = V_Q = 0V$$

$$V_{R2} = 0V$$

$$I_{R2} = \frac{V_{R2}}{R_2} = \frac{0V}{R_2} = 0A$$

Encontrar$V_E$:

$$I_{R1} = I_{R2} = \frac{V_E}{R_1 + R_2}$$

$$\begin{aligned} V_E &= I_{R2} \times (R_1 + R_2) \newline \newline &= 0A \times (R_1 + R_2) = 0V \end{aligned}$$

El opamp reacciona a los cambios en su salida de la siguiente manera: si algo baja$V_E$, como alguna carga conectada a su salida, que provoca una caída correspondiente en$V_Q$. El opamp ahora tiene una diferencia distinta de cero entre$V_Q$en su entrada inversora, y$V_P$en su entrada no inversora.

Cualitativamente, ahora$V_P - V_Q > 0$, y como saben, el opamp intenta amplificar esta diferencia (recuerde$V_E = A(V_P-V_Q)$, donde A es la ganancia de bucle abierto del opamp.) Esto provoca$V_E$elevarse, en oposición a la misma perturbación que lo hizo caer en primer lugar. Continuará elevando su producción en potencial, cada vez con más fuerza, hasta que restablezca la igualdad entre$V_P$y$V_Q$. El mismo comportamiento también previene$V_E$de levantarse

De esta manera, el opamp puede mantener su salida$V_E$a cualquier voltaje que sea necesario para mantener$V_P - V_Q = 0V$, o$V_P = V_Q$. Fundamentalmente, la relación entre$V_E$,$V_Q$,$V_P$,$R_1$y$R_2$(que derivamos arriba) es independiente de cualquier carga conectada a la salida del opamp. No ves C1 o R3 en esas ecuaciones en absoluto. Es por eso que decimos que un opamp con retroalimentación negativa tiene una impedancia de salida de 0Ω. Puede colgar cualquier cosa que desee de esa salida y (siempre que sea lo suficientemente "fuerte"), ganará cualquier batalla sobre quién decide el valor de$V_E$.

Y aquí está lo que te perdiste: debido a esto, la salida del amplificador operacional puede tratarse como una fuente de voltaje ideal, de valor$V_E$, dependiente únicamente de$V_P$. Como$V_P$cambios,$V_E$cambia en consecuencia (según lo definido por la retroalimentación), pero nada más, absolutamente nada puede cambiar$V_E$.

En este circuito, R3 y C1 no tienen ninguna influencia sobre$V_E$, y$V_E$puede tratarse como una fuente de voltaje ideal y obstinada. También puede ser una batería, en lo que respecta a R3 y C2, no tienen forma de saber la diferencia.

Dada nuestra derivación para$V_E(t<0)$anterior, usted puede afirmar con seguridad que$V_E$será de cero voltios, independientemente de lo que esté conectado a él. Y lo mismo ocurre con$V_E(t \ge 0)$, como derivaremos ahora.

Cuando el interruptor está cerrado en tiem$t=0$, el nodo P está conectado a la fuente de tensión V1:

$$V_P(t \ge 0) = V_S = +6V$$

Las mismas reglas y ecuaciones se aplican para esta nueva condición, al encontrar$V_E$:

$$\begin{aligned} V_Q &= V_P = 6V \newline \newline I_{R2} &= \frac{V_Q}{R_2} \newline \newline &= \frac{6V}{10k\Omega} \newline \newline &= 600 \mu A \newline \newline V_E &= I_{R2} \times (R_1 + R_2) \newline \newline &= 600 \mu A \times (10k\Omega + 10k\Omega) \newline \newline &= 12V \end{aligned}$$

Como nota al margen, estoy seguro de que está familiarizado con este circuito:

^{simular este circuito}

Es el omnipresente amplificador no inversor, donde:

$$V_{OUT} = V_{IN}(1 + \frac{R1}{R2})$$

¿Puedes ver que este "módulo" es exactamente lo que tienes dentro de tu propio circuito? Además, asegúrese de comprender la importancia del hecho de que esta fórmula es completamente independiente de cualquier cosa conectada en la salida. Es cierto independientemente de la carga, debido a las razones que describí anteriormente, a saber, que el opamp tiene retroalimentación negativa, lo que hará que ajuste su salida de la forma necesaria para mantener sus entradas inversoras y no inversoras en el mismo potencial, haciendo Es capaz de superar la influencia de cualquier carga.

Conectando nuestros valores para$V_P$,$R_1$y$R_2$:

$$V_{OUT}(t < 0) = V_{IN}(t < 0) \times (1 + \frac{R_1}{R_2}) = 0V \times (1 + \frac{10k\Omega}{10k\Omega}) = 0V$$ $$V_{OUT}(t \ge 0) = V_{IN}(t \ge 0) \times (1 + \frac{R_1}{R_2}) = 6V \times (1+ \frac{10k\Omega}{10k\Omega}) = 12V$$

Como puede ver, ambas condiciones concuerdan con nuestro análisis más riguroso anterior. Supongo que la moraleja es que debe buscar "bloques de construcción" como este en todos los circuitos que pretende analizar, de modo que pueda aplicar las fórmulas ya derivadas, probadas y verdaderas, en lugar de resolverlo todo a partir de los primeros principios. cada vez.

Lo último que debe hacer es "imaginar" su circuito a la luz del hecho de que tenemos dos condiciones, en las cuales el amplificador operacional se ha convertido en una fuente de voltaje simple, de 0 V (antes de que se cerrara el interruptor) y 12 V (después) :

^{simular este circuito}

En la versión de la izquierda (t < 0), no hay fuente de voltaje, ya que una fuente de cero voltios es efectivamente una conexión directa a tierra. Te dejaré a ti ahora completar el ejercicio, que consiste en "probar" el valor de$V_{OUT}$a veces$t = 0$y$t \gg 0$.

Sí, todo está a cero voltios hasta t=0. ¿Qué pasa después de eso?

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De alguna manera, se las arregló para obtener el signo incorrecto para el voltaje de salida final.

$$\frac {0 - 6}{10} - \frac {6 - e}{10} = 0$$

$$\frac {0 - 6}{10} + \frac {e - 6}{10} = 0$$

$$0 - 6 + e - 6 = 0$$

$$e = 12$$

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Recuerde que la salida de un amplificador operacional ideal es una fuente de voltaje. ¿Qué significa esto en términos de la resistencia "vista" por el capacitor?