¿Cómo eligen las agencias espaciales las fechas de llegada a los planetas (es decir, Mercurio) desde una asistencia gravitatoria (es decir, Venus)?

La respuesta de @ John McCarthy describe bien el esquema del enfoque general, y tomaré eso y me encontraré con algunos de los detalles de mala hierba detrás de él.

Mi respuesta describe un método de fuerza bruta más práctico; sin embargo, esta respuesta apunta a una herramienta más poderosa, EMTG de la NASA (no tengo experiencia con eso).

En general, se realizan búsquedas de trayectorias amplias (resolviendo el problema de Lambert ) para encontrar ventanas de lanzamiento de baja energía. En resumen: encuentre las trayectorias (de un conjunto más amplio de fechas; 2020-2030) y luego elija fechas específicas , no al revés.

Un solucionador de Lambert toma dos posiciones y el tiempo de vuelo entre ellas como entradas. Puede generar muchas cosas, pero para planificar la asistencia de la gravedad, idealmente genera las velocidades de exceso hiperbólicas vectoriales,$\vec{v_{\infty}}$(pariente del planeta). Muchos solucionadores generarán el vector de velocidad de la órbita de transferencia heliocéntrica en las posiciones inicial y final (las posiciones de los planetas). Estos se pueden convertir fácilmente en$\vec{v_{\infty}}$valores restando el vector de velocidad del planeta. El vector de estado de un planeta (posición y velocidad) se puede encontrar a través de una efemérides de desarrollo JPL ( interfaz web HORIZONTES , SPICE ). El resultado final es entonces una matriz 2D de$\vec{v_{\infty}}$valores (técnicamente 3D: fecha de salida, fecha de llegada, componente xyz) para la salida y uno para la llegada.

Para el lanzamiento, la magnitud de$\vec{v_{\infty}}$se expresa típicamente como la energía característica ,$v_{\infty}^2$, para usar con la selección del vehículo de lanzamiento (¡ herramienta de cálculo de rendimiento del vehículo de lanzamiento de la NASA! ).

Realizar una "búsqueda de trayectoria amplia" significa usar el solucionador Lambert para cada conjunto de fecha de lanzamiento (eje X) y fecha de llegada (eje Y), ya que la fecha le brinda el vector de estado del planeta. Luego, los resultados se filtran según algunas restricciones de la misión (máx. C3 o$\Delta V$, etc.) y se puede trazar como un diagrama de chuleta de cerdo como esta búsqueda de la Tierra a Venus 2026:

($V_{hp}$es el exceso de velocidad hiperbólico)

En este punto, se vuelve (relativamente) fácil elegir fechas, aunque para una trayectoria de asistencia directa sin gravedad.

Puede pensar en la trayectoria Tierra-Venus-Mercurio propuesta como si tuviera 2 tramos separados del viaje: el tramo 1 es de la Tierra a Venus y el tramo 2 es de Venus a Mercurio. Si realiza la búsqueda de trayectoria amplia para cada tramo (con fechas de Venus superpuestas), le quedan cuatro matrices de$\vec{v_{\infty}}$valores; sin embargo, dos de ellos representan la misma métrica:$v_{\infty}$en Venus. Si, para un conjunto dado de tres fechas (salida de la Tierra, sobrevuelo de Venus*, llegada de Mercurio), el$v_{\infty}$en Venus de la Etapa 1 es lo mismo (o muy parecido) que para la Etapa 2, entonces es posible una asistencia de gravedad hiperbólica libre. Esto se debe a que la asistencia de la gravedad es una órbita hiperbólica alrededor de Venus y el$v_{\infty}$el parámetro es constante para cualquier órbita (en la aproximación de dos cuerpos).

*atravesar el sistema planetario toma un tiempo finito, por lo tanto, la misma suposición de fecha/hora para hacer coincidir el$v_{\infty}$es aproximada, pero para planetas pequeños es razonable. Para Júpiter (y probablemente Saturno), la trayectoria hiperbólica generalmente tarda más de un día en completarse, por lo que compensar la$v_{\infty}$emparejar por un día es una mejor aproximación.

Es posible que en este punto se pregunte por qué queríamos la$\vec{v_{\infty}}$vector en lugar de sólo su magnitud. Críticamente, aunque hemos coincidido$v_{\infty}$entre las piernas, aún no hemos determinado si esa asistencia por gravedad es factible.

Mirando la ecuación para el ángulo de deflexión,$\delta$, en esta imagen:

podemos determinar$\delta$De nuestros$\vec{v_{\infty}}$vectores (ángulo entre$\vec{v_{\infty, leg 1}}$&$\vec{v_{\infty, leg 2}}$) y reordenar la ecuación para encontrar$r_p$. Si$r_p$es menor que el radio del planeta, o dentro de su atmósfera, si corresponde, entonces la asistencia de gravedad NO es factible, no puede doblar la trayectoria lo suficiente como para enviar la nave espacial hacia el próximo planeta.

Si repite este proceso para cada trayectoria de la búsqueda más amplia, obtendrá trayectorias de asistencia gravitatoria viables. Elija los de menor energía para encontrar sus fechas.

Esencialmente, realiza una búsqueda en el espacio bidimensional de fechas de lanzamiento y fechas de llegada. Para cada par, calcula una trayectoria y calcula la cantidad de energía de lanzamiento que necesita. Ese parámetro se llama C3 y tiene dimensiones de velocidad al cuadrado. Deberá realizar búsquedas similares para cada conjunto de asistencias por gravedad que esté considerando. Es decir, una para trayectorias con un sobrevuelo de Venus, otra para la búsqueda de dos sobrevuelos de Venus, y así sucesivamente.

Acabo de describir el esquema del enfoque. En la vida real, las personas que hacen este tipo de planificación tienen herramientas mucho más sofisticadas para optimizar las trayectorias sin hacer una búsqueda completa de fuerza bruta. También desarrollan la intuición sobre las ventajas y desventajas y lo que funciona y lo que no.

Además de la energía de lanzamiento, los planificadores de misiones consideran otros parámetros. Los ejemplos incluyen el tiempo de tránsito (tomar 50 años sería impopular), restricciones térmicas (especialmente yendo a Mercurio), comunicaciones y muchos otros.

No comienzas con una fecha de salida; esa es una de las respuestas, no una de las entradas.

No conozco una fórmula para calcular una órbita asistida por gravedad, así que usaré el caso fácil y omitiré a Venus, además de asumir que los planetas están en órbitas coplanares circulares:

Encuentre el período orbital de la órbita de transferencia. Para nuestro caso simple, el radio orbital es (órbita de mercurio + órbita terrestre)/2 y Kepler te dará el período orbital a partir de eso. Iremos a la mitad de esta órbita. Miras las dos órbitas y buscas un momento en el que el planeta desde el que estás lanzando esté opuesto al lugar donde el objetivo estará a la mitad del período de la órbita de transferencia en el futuro. Creo que hay una solución algebraica para esto, pero no la recuerdo.

Si bien esto da un punto único en el tiempo, ya que la respuesta en la práctica es un poco confusa, puede desviarse un poco de esto sin un gran costo de combustible, pero después de eso, el costo del combustible aumenta de manera prohibitiva, los lanzamientos simplemente no se hacen.

Para cualquier par de planetas, esto sucede a intervalos fijos, una vez que conoce una vez y el período de repetición, puede calcular muy fácilmente tiempos adicionales.

(Tenga en cuenta que esta es la razón por la que hubo tanta prisa por lanzar Perseverance).

Una vez que comience a agregar asistencias de gravedad, el problema se vuelve mucho más difícil ya que necesita ventanas adecuadas con ambos pares de planetas y la velocidad y el ángulo correctos del encuentro. Creo que esto es simplemente fuerza bruta, no existe una solución algebraica.