¿Cómo cambiarían en general las estructuras moleculares y las interacciones si los leptones fueran más pesados ​​o más ligeros de lo que deberían?

Los cambios clave en la estructura molecular surgen principalmente de los cambios en los orbitales de los electrones y los niveles de energía electrónica y molecular.

Átomos

Al resolver la ecuación de Schrödinger para un electrón que se mueve bajo un potencial de Coulomb, podemos mostrar que los niveles de energía en los que puede estar un electrón para un átomo de$Z$y masa nuclear$m_N$satisfacer

$$E_n=-\frac{c^2Z^2\alpha^2m_e}{2n^2}$$ con$\alpha$la constante de estructura fina y$m_e$la masa del electrón. Los electrones son bastante ligeros, por lo que independientemente de la masa del elemento exacto,$m_e\ll m_N$; aquí, hemos hecho la aproximación de que la masa reducida$\mu$del átomo es igual a la masa del electrón. La verdadera dependencia de$E_n$en$m_e$es aproximadamente lineal, lo suficientemente cerca, al menos. Por lo tanto, duplicar$m_e$duplicará efectivamente la energía de cada nivel de energía; reducirlo a la mitad reducirá cada nivel de energía a la mitad.

La masa del electrón también aparece al calcular el radio de Bohr. $a_0$, que da la separación más probable entre el núcleo y el electrón en el estado fundamental del hidrógeno. la expresión es

$$a_0=\frac{\hbar}{m_e c\alpha}$$ de nuevo asumiendo$m_e\ll m_N$. El radio de Bohr establece la escala de los orbitales electrónicos; muestra las porciones radiales de las funciones de onda del electrón. Por ejemplo, para la función de onda de la$n=3$estado con números cuánticos$l=0$y$n_r=2$, obtenemos $$R_{3,0}(r)=2\left(\frac{Z}{3a_0}\right)^{3/2}\left[1-\frac{2Zr}{3a_0}+\frac{2(Zr)^2}{27a_0^2}\right]e^{-Zr/3a_0}$$ Observe cómo esto es realmente una función de la variable adimensional$x\equiv r/a_0$, por lo que el radio de Bohr realmente caracteriza el tamaño del átomo.

Moléculas

Digamos que tenemos una molécula diatómica de algún tipo. Esta molécula tiene niveles de energía adicionales (no electrónicos), que surgen de los estados de vibración y rotación. Si argumentamos que, en segundo orden, la molécula vibra como un oscilador armónico, podemos usar un argumento de análisis dimensional para decir que debería tener niveles de energía vibratoria escalando como

$$E_{n_{\nu}}\sim\left(n_{\nu}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{m_e}{m_N}\right)^{1/2}\left(\frac{m_ee^4}{\hbar^2}\right)$$ o una dependencia de$m_e^{3/2}$. ¿Por qué es este el caso? El tamaño de la molécula se establece en gran medida por el tamaño de los orbitales de los electrones, por lo que la fuerza de las vibraciones depende de la masa del electrón.

De hecho, podemos presentar un argumento similar para los niveles de energía de rotación. Vemos que se caracterizan por el número cuántico angular$l$y están dadas por

$$E_l=\frac{l(l+1)\hbar^2}{2I}$$ con$I$el momento de inercia apropiado de la molécula,$I=\mu r_0^2$, con$\mu$ahora la masa reducida de la molécula, no del átomo, y$r_0$la separación de equilibrio.$\mu$no depende de la masa del electrón, pero$r_0$ hace , ya que está en la misma escala que el radio de Bohr. Por lo tanto, el electrón se las arregla para colarse en fórmulas para transiciones que a primera vista parecen no tener nada que ver con los electrones.

El gas de van der Waals

El modelo de gas ideal es efectivo en varias situaciones, pero no es perfecto; después de todo, solo es válido para un gas verdaderamente ideal. Se requieren ecuaciones de estado más realistas para casos fuera del dominio de la ley de los gases ideales. Un ejemplo es el gas de van der Waals, que tiene la ecuación de estados

$$\left(p+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=k_BT$$ dónde$p$es presión,$V$es un volumen escalado,$T$es la temperatura y$a$y$b$son las constantes de van der Waals (recuperamos la ley de los gases ideales cuando establecemos$a=b=0$).$a$caracteriza las interacciones intermoleculares, mientras que$b$explica el hecho de que los gases no son partículas puntuales, es una especie de volumen. Podemos argumentar informalmente que como el radio de Bohr depende de$m_e$, también lo hace$b$. Una masa de electrones más pequeña significa un radio de Bohr más grande y, por lo tanto, una mayor$b$- y por lo tanto una mayor desviación de la ley de los gases ideales.

Más cuantitativamente, podemos reorganizar la ecuación de van der Waals como la suma de una interacción atractiva y una interacción repulsiva:

$$p=p_{\text{repulsive}}+p_{\text{attractive}}=\frac{k_BT}{V-b}-\frac{a}{V^2}$$ La misma receta se repite una y otra vez en otros modelos de gases reales, incluida la ecuación de Dieterici (que da cuenta de la fuerza de atracción simplemente multiplicando la presión de repulsión por una exponencial) y la expansión virial, que escribe la relación$pV/k_BT$como una serie de potencias en$1/V$; los coeficientes dependen de$b$(y$a$).

Resumen

Tenemos las siguientes dependencias de escala clave:

• Para los niveles de energía electrónica en los átomos,$E_n\propto m_e$.
• Para el radio de Bohr que caracteriza las escalas atómicas,$a_0\propto m_e^{-1}$.
• Para los niveles de energía vibracional de una molécula,$E_{n_{\nu}}\propto m_e^{3/2}$.
• Para los niveles de energía de rotación de una molécula,$E_l\propto m_e^2$(a través de$I^{-1}\propto r_0^{-2}\sim a_0^{-2}\propto m_e^2$dependencia del radio de Bohr).

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Anexo: Aumento de la masa de los leptones

Dado el campo de Higgs$\phi$, la masa de un fermión particular$f$se puede calcular por

$$m_f=\frac{g_fv}{\sqrt{2}}$$ dónde$g_f$es la constante de acoplamiento de Yukawa para$f$y$v=\langle\phi\rangle$se conoce como el valor esperado de vacío distinto de cero del Higgs. Si queremos aumentar uniformemente la masa de todos los leptones, podemos aumentar$v$(que es el mismo para todos los leptones) o aumentar cada$g_f$individualmente. Parece que querrás cambiar$v$por simplicidad, aunque ten en cuenta que esto tendrá un impacto en la masa del bosón de Higgs y los bosones de medida a los que da masa, los bosones W y Z.