¿Cómo alimentar constantemente un circuito LED normalmente controlado con un interruptor momentáneo?

Entonces, antecedentes: tengo una novedad que ilumina el sombrero de Disney Fantasia Sorcerer que me gustaría usar como adorno para el árbol de Navidad. El sombrero tiene un circuito LED incorporado con luces pulsantes en varios colores que funciona con 3 pilas AAA (4,5 V CC). En la base del sombrero hay un botón de interruptor momentáneo normalmente abierto, una de esas cosas de "Presione aquí". Cuando presiona el botón, el pequeño espectáculo de LED se enciende con un par de LED de colores que se encienden y apagan y un par de LED multicolores que cambian de color y dura un poco más de 30 segundos con solo presionar el botón.

Dado que está en la parte superior del árbol, me gustaría poder cambiar la batería por un adaptador de CA que pueda enchufar en el extremo de la cadena de luces del árbol con un temporizador, de modo que cada vez que las luces estén encendidas, el el sombrero se ilumina. El problema que tengo es pasar por alto el pequeño botón "Presione aquí" para engañarlo y que permanezca encendido siempre que haya energía. Traté de apagar el interruptor y retorcer los cables para proporcionar un circuito cerrado constante, pero cuando enciendo la batería, no sucede nada. Cuando tomo los dos cables del interruptor y los golpeo brevemente, el sombrero se enciende. Si me siento aquí y golpeo los cables periódicamente, simulando la presión del botón, puedo hacer que el sombrero se quede indefinidamente. Pero si dejo los cables en contacto constante, las luces permanecen encendidas durante 30 segundos y luego se apagan.

En la imagen, sostengo los dos cables blancos de la pequeña placa de circuito entrelazados, así como el interruptor que corté. El cable negro y rojo de la parte superior izquierda de la placa que sale de la imagen es el de 4,5 V CC del paquete de baterías.