Cohetes en el vacío vs. Cohetes en la tierra

Considere la energía$E_1$requerido para eliminar$1$kg de la gravedad terrestre. Esto viene dado por:

donde$r$es el radio de la Tierra, y esto resulta ser aproximadamente:

Ahora considere la energía$E_2$requerido para acelerar eso$1$kg a$0.99c$. La energía total viene dada por la ecuación relativista para la energía:

Si calculamos esto para$1$kg en$0.99c$luego restar el resto de la energía$mc^2$obtenemos sobre:

Entonces, la energía necesaria para alejarse de la gravedad de la Tierra,$E_1$, es aproximadamente$0.000000012\%$de la energía,$E_2$, necesario para alcanzar la velocidad final. Es por eso que la diferencia que hace en las energías de aceleración y desaceleración es insignificante.

Un argumento similar se aplica a la resistencia del aire. Para llegar a$0.99c$a una aceleración de supervivencia, es decir, de orden$g$, la gran mayoría de la aceleración se realizaría después de haber dejado la atmósfera. Entonces, el efecto de la resistencia del aire también sería despreciable.

Las respuestas anteriores son correctas; Solo me gustaría contribuir con una explicación más "habladora", menos técnica (y por lo tanto también menos precisa, debo señalar). (Los puntos altos están en negrita ).

Si entendí bien, lo que no te queda claro es por qué el profesor dice que la energía necesaria es "la misma" para salir de la Tierra y parar en A Centauri . Si esa no es la parte que quieres saber, corrígeme.

Asumiendo que es lo que quieres saber: la fricción de la atmósfera y la atracción de la gravedad de la Tierra son bastante insignificantes en comparación con la energía requerida para acelerar a 0.99c, y me parece que tu maestro estaba hablando en términos conceptuales , en lugar de dar un cálculo preciso. Es decir, no creo que quisieran decir que las energías de aceleración y desaceleración son exactamente iguales; más bien, que son " en general iguales ". En ese sentido, eran esencialmente correctos .

Lo que tu maestro probablemente no consideró (posiblemente porque no quería complicar más el ejemplo) es que si el barco necesita transportar combustible (como para un cohete), se vuelve más liviano a medida que continúa quemando ese combustible , y por lo tanto la energía requerida para lograr una aceleración/desaceleración particular (son lo mismo; la desaceleración es solo aceleración en la dirección opuesta, dicho de manera muy simple) disminuye, ya que la energía requerida para una aceleración constante es una función de la masa del objeto a ser acelerado _

Por lo tanto, la nave en realidad requeriría menos energía para desacelerar que la que necesitaba para acelerar, si está propulsada por un motor cohete o algún otro motor que consuma cantidades significativas de combustible . Un motor hipotético de energía nuclear o de fusión, por otro lado, probablemente consumiría combustible mucho más lentamente (porque obtiene mucha más energía al quemar una cantidad determinada de combustible, por lo tanto, necesita quemar menos masa de combustible en general para hacer el viaje) , y por lo tanto, la masa del barco cambiaría menos durante el viaje y, por lo tanto, también las cantidades de energía requeridas para acelerar y desacelerar serían casi iguales; posiblemente mucho más cerca que con un cohete.

Volviendo a la gravedad planetaria y la resistencia atmosférica: en una atmósfera similar a la de la Tierra , la cantidad de resistencia producida (especialmente en los 100 km de espesor de la atmósfera por los que la nave necesita pasar de la superficie al espacio) es pequeña en relación con la energía necesaria para llegar a 0.99c .

La gravedad planetaria tiene un efecto algo mayor, pero de nuevo, insignificante en comparación con la energía necesaria para acelerar hasta la velocidad final. Y como ocurre con la atmósfera, la gravedad se vuelve más débil cuanto más te alejas del planeta , atenuándose prácticamente a nada en unos pocos miles de kilómetros (que es una distancia prácticamente nula en relación con un viaje de unos 40.000.000.000.000 km de largo).

Finalmente, a menos que su maestro indique lo contrario, no hay razón para suponer que el destino no es un planeta similar a la Tierra . (Sabemos que no hay ninguno como ese en el sistema A Centauri IRL, pero entonces, este fue un ejemplo teórico). Si lo es, entonces tanto la gravedad como la resistencia atmosférica en el destino serán comparables a las de la Tierra , haciendo que la situación sea simétrica en este respecto.

Siendo realistas , si el destino es un planeta rocoso del tamaño aproximado de la Tierra (como Alpha Centauri Cb , también conocido como Proxima Centauri b), entonces tendrá más o menos la gravedad de la Tierra. Incluso si no tiene atmósfera (actualmente no podemos decir acerca de A Cen Cb), la atracción gravitacional es mucho mayor que la fricción atmosférica para condiciones similares a las de la Tierra; es decir, la situación seguiría siendo al menos mayoritariamente simétrica .

Espero que eso te aclare un poco.

Miguel

EDITAR: Acerca de los efectos relativistas : no son realmente importantes para su pregunta . Por supuesto, estarían presentes, pero como son simétricos para la fase de aceleración y desaceleración del viaje, y aumentan en magnitud a medida que la velocidad se aproxima a c, no tienen un impacto real en la posible asimetría de los requisitos de energía para el "despegue" y el "aterrizaje". " , ya que en ambas fases la nave irá increíblemente despacio en comparación con la velocidad de la luz.

En cuanto a lo que realmente hacen los "efectos relativistas" : En pocas palabras, la energía requerida para lograr la misma aceleración para el barco aumenta a medida que la velocidad del barco se acerca a c; muy cerca de c, los aumentos se vuelven enormes. ( Serían infinitos en c, que es, en pocas palabras, la razón por la que ningún objeto masivo puede alcanzar c, solo acercarse a una fracción arbitrariamente cercana ) . Para 0.99c, la nave aceleraría como si su masa fuera de aproximadamente 7 veces mayor de lo que "realmente" es.

La razón: porque la masa del barco en realidad sería mayor , al menos desde el punto de vista de un observador con respecto al cual el barco estaba haciendo 0.99c. En última instancia, la energía es lo mismo que la masa , y un objeto en movimiento tiene energía cinética; la energía cinética a 0,99c es tan alta que "pesa" las ~6 veces adicionales de la masa "normal" de la nave (es decir, la masa en reposo).

Entonces, en este caso, los efectos relativistas aumentan la energía general requerida para hacer el viaje, pero dado que están (efectivamente) ausentes en las fases de "despegue" y "aterrizaje" en las que se centra su pregunta, solo sirven para disminuir aún más la relativa importancia de las energías de despegue y aterrizaje como proporción del costo total de energía del viaje.

Sin embargo, no se equivoque, incluso descartando los efectos relativistas (que no son físicos, es decir, solo un experimento mental), la energía para salir / entrar en una atmósfera planetaria / pozo de gravedad sigue siendo insignificante en comparación con la energía necesaria para el resto del viaje a 0.99c y vuelta

Esta es una de las mejores explicaciones que puedo dar sin explicar el concepto básico de la relatividad especial en su totalidad, que está mucho más allá del alcance de esta publicación .

Se requiere la enorme cantidad de energía para alcanzar una velocidad cercana a la velocidad de la luz, incluso si el espacio interestelar está casi vacío.
Consideremos las cuatro fuerzas en SR (relatividad especial)
$F^\mu = dP^\mu / d\tau = m dU^\mu / d\tau$(1)
donde:
$F^\mu$cuatro fuerzas
$P^\mu$cuatro impulsos
$m$masa en reposo (propia)
$U^\mu$cuatro velocidades
$\tau$tiempo apropiado
Sin embargo$d / d\tau = \gamma d / dt$donde factor de Lorentz$\gamma = dt / d\tau = 1 / \sqrt{1-v^2/c^2}$y$v$es la velocidad de tres, por lo tanto (1) se puede escribir
$F^\mu = \gamma m dU^\mu / dt$
como la velocidad$v$se acerca a la velocidad de la luz$\gamma$el factor aumenta hacia el infinito y sigue la fuerza requerida para impulsar la nave espacial, solicitando una cantidad de energía consecuente. Mismo razonamiento cuando tiene que desacelerar.
Nota: La argumentación se simplifica asumiendo que la masa en reposo es constante. Por supuesto, para impulsar una nave espacial a la velocidad deseada se necesita consumir combustible, reduciendo así la masa; sin embargo, el problema aquí es resaltar la razón fundamental por la cual un viaje cercano a la velocidad de la luz requiere una gran cantidad de energía. Esta es una peculiaridad de SR, que no se encuentra en la mecánica newtoniana.