Circuito RC - DE

Ayer estaba hojeando algunas preguntas para prepararme para mi examen y encontré esta:

Considere el siguiente circuito que consta de un condensador C y dos resistencias R idénticas . Para$t<0$el interruptor está abierto y el condensador está descargado. En$t=0$el interruptor está cerrado y el circuito está conectado a la fuente de voltaje con voltaje constante U .

a) ¿Cuál es la corriente total en el circuito inmediatamente después de cerrar el interruptor? ¿Cuál es la carga del capacitor y la corriente total después de mucho tiempo?

b) Determinar para$t>0$la corriente total en el circuito y la carga del capacitor en función del tiempo estableciendo una ecuación diferencial adecuada y resolviéndola.

No tenía una respuesta para eso, así que no pude responderla y todavía no tengo suficiente reputación para comentar. Hubo respuesta pero no fue explícita en b).

Tuve un problema muy similar en ejercicios anteriores y nunca pude establecer una ecuación diferencial y resolverla. ¿Podría alguien ayudarme aquí?

Editar:$V_R=\frac{R}{2}\cdot I$y$V_C=\frac{1}{C}\int Idt$

Con la ley de Kirchhoff debería ser

$\frac{R\cdot I}{2}+\frac{1}{C}\int Idt=\frac{U}{2}$?

Así diferenciando con respecto a t debería ser:

$\frac{R}{2}\frac{dI}{dt}+\frac{I}{C}=0$.

Entonces eso nos daría$I=\frac{2U}{R}e^{-\frac{2t}{RC}}$, ¿bien?

Pero, ¿cómo obtengo una expresión para la carga del capacitor?