cálculos de atenuación de radar

Me pregunto exactamente por qué te importa la ecuación del alcance del radar, dado que no eres ingeniero. Me encantaría escuchar sobre eso.

Si lees el texto verás exp utilizado. La función exp es el valor$e$(como bien indicas, un número cercano a 2.718) elevado a la potencia dada. Por ejemplo,$e^x=\operatorname{exp}\left(x\right)$. Entonces, sí, en la ecuación eso es lo que$e$es.

En su ejemplo de rango de radar, la idea de la que están hablando no es complicada.

Imagine que el radar emite rayos que proceden hacia el exterior y se absorben parcialmente a medida que pasan por el aire. Podemos imaginar que queda un determinado porcentaje después de recorrer una determinada distancia. Cuando viaje más lejos por la misma distancia, habrá un porcentaje del porcentaje original. Etcétera.

Este es un proceso multiplicativo (multiplicación repetida). Dichos procesos se representan fácilmente usando ecuaciones de potencia (como$a^b$.) La descripción anterior se puede convertir en una expresión matemática. Digamos que el porcentaje restante de un rayo, después de recorrer una cierta distancia, se llama$\gamma$(podemos llamarlo como quieras). Luego, después del doble de esta distancia, tendríamos$\gamma^2$sobrante Y después de tres veces la distancia que tendríamos$\gamma^3$restante.

Asumiendo que$R$es la distancia (especificada en esas unidades determinadas), entonces podemos decir que lo que queda de cada rayo es$\propto \gamma^R$(Se lee: proporcional a $\gamma^R$.) Sin embargo, dado que su ecuación se ocupa de las rutas de ida y vuelta donde el transmisor y el receptor están en la misma ubicación, la longitud total de la ruta es el doble del rango máximo. Entonces esto significa$\propto \gamma^{2\cdot R}$(para tener en cuenta que la ruta total es el doble del rango máximo).

Esto se puede transformar:

$$\begin{align*} \propto &\quad \gamma^{2\cdot R}\\\\ &\quad e^{\operatorname{ln}\left(\gamma^{2\cdot R}\right)}\\\\ &\quad e^{2\cdot R\:\operatorname{ln}\gamma} \end{align*}$$

Desde$\gamma$es menor que 1,$\operatorname{ln}\gamma$es negativo si tratamos$\alpha=-\operatorname{ln}\gamma$(de modo que$\alpha$es positivo [o cero]), entonces el factor resultante es$\propto\:e^{-2\cdot \alpha\cdot R}$.

Dado que los decibeles de potencia se basan en$10\cdot\operatorname{log_{10}}\left(x\right)$(y no el factor de atenuación, directamente), puede volver a expresar la relación anterior en decibelios como:

$$\begin{align*} &{10\cdot\operatorname{log_{10}}\left(e^{-2\cdot \alpha\cdot R}\right)}\\\\ &{-2\cdot \alpha\cdot R\cdot 10\cdot\operatorname{log_{10}}\left(e\right)}\\\\ &{-2\cdot \alpha\cdot R\cdot 4.34294482}\\\\ &{-2\cdot \left(4.34294482\cdot \alpha\right)\cdot R} \end{align*}$$

Finalmente, sí. Necesitas resolver para$R_\text{MAX}$y para hacerlo necesitará la función LambertW (product-log). No es nada difícil de aplicar aquí. Si necesita ayuda con eso, puedo guiarlo a través de unas pocas líneas de manipulación algebraica (no es mucho trabajo).

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Agrupemos todos los factores en una sola constante,$k_0$, tal que:

$$R_\text{MAX}^4=k_0\cdot e^{-2\,\alpha\, R_\text{MAX}}$$

(Estoy seguro de que puedes ver lo que$k_0$es sin obligarme a escribir todos esos factores en la ecuación fotocopiada que tiene en su pregunta).

Entonces simplemente siga los pasos a continuación:

$$\begin{align*} R_\text{MAX}^4&=k_0\cdot e^{-2\,\alpha\, R_\text{MAX}}\\\\ \sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{R_\text{MAX}^4}&=\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0\cdot e^{-2\,\alpha\, R_\text{MAX}}}\\\\ R_\text{MAX}&=\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0}\cdot e^{-\frac12\,\alpha\, R_\text{MAX}}\\\\ R_\text{MAX}\cdot e^{\frac12\,\alpha\, R_\text{MAX}}&=\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0}\\\\ \frac12\,\alpha\,R_\text{MAX}\cdot e^{\frac12\,\alpha\, R_\text{MAX}}&=\frac12\,\alpha\,\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0} \end{align*}$$

En este punto, sólo recordemos que si$u\,e^u=v$, entonces$u=\operatorname{LambertW}\left(v\right)$. Entonces, establecemos$u=\frac12\,\alpha\,R_\text{MAX}$y luego:

$$\begin{align*} \left(\frac12\,\alpha\,R_\text{MAX}\right)\, e^{^{\left(\frac12\,\alpha\,R_\text{MAX}\right)}}&=\frac12\,\alpha\,\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0}\\\\ u\, e^{u}&=\frac12\,\alpha\,\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0}\\\\ &\therefore\\\\ u&=\operatorname{LambertW}\left(\frac12\,\alpha\,\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0}\right)\\\\ \frac12\,\alpha\,R_\text{MAX}&=\operatorname{LambertW}\left(\frac12\,\alpha\,\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0}\right)\\\\ R_\text{MAX}&=\frac2{\alpha}\,\operatorname{LambertW}\left(\frac{\alpha}2\,\sqrt[\leftroot{0}\uproot{2}4]{k_0}\right) \end{align*}$$

Es así de simple. (Bueno, puedes escribir a mano$k_0$ahora. No quiero tener que escribir todo eso yo mismo. Pero sabes cómo hacer ese último paso, estoy seguro).

log₁₀(e) ×10=4,3429448190325176.

Cuando se usa con dB/km, este es el factor de conversión.