Cálculo de la frecuencia de corte, la ganancia y el factor de calidad de un filtro de paso bajo complejo de segundo orden

1ra etapa

si configuras$\gamma=\frac{C_1}{C_2}$y$\rho=\frac{R_3}{R_4}$, entonces el filtro de segundo orden del lado izquierdo (primera etapa de dos) tiene$\omega_{_0}=\frac1{R_4\, C_2 \,\sqrt{{\vphantom{M}}\gamma\,\rho}}$y$Q=\frac{\sqrt{{\vphantom{M}}\gamma\,\rho}}{1+\rho}$.

En el circuito anterior$\rho=1$, entonces$\omega_{_0}=\frac1{R_4\, C_2 \,\sqrt{{\vphantom{M}}\gamma}}$y$Q=\frac12\sqrt{{\vphantom{M}}\gamma}$.

2da etapa

A eso le sigue un filtro de paso bajo RC simple (segunda etapa) que estoy seguro de que puede resolver. Debe ajustarse a una frecuencia un poco más alta, pero no demasiado, para agregar otra$20\:\text{db}$por década de roll-off. va a impactar$Q$, un poco. Pero no quería preocuparme por las derivadas que necesitaría para calcular la función de transferencia de tercer orden, así que te lo dejo.

función de transferencia de 1ra etapa

Usando sympy y asignando el nodo compartido entre$R_3$y$R_4$el nombre,$V_x$, y la corriente de salida opamp como$I_o$, la función de transferencia de la primera etapa es:

zc1 = 1/s/c1
zc2 = 1/s/c2
eq1 = Eq( 0, vi/r2 + vo/zc2 + vx/r3 )
eq2 = Eq( vx/zc1 + vx/r4 + vx/r3, vo/r4 )
eq3 = Eq( vo/r4 + vo/zc2, io + vx/r4 )
ans = solve( [eq1, eq2, eq3], [io, vx, vo] )
tf = simplify( ans[vo]/vi )
tf = fraction(tf)[0] / factor( expand( fraction(tf)[1] ), s )

    (-c1*r3*r4*s - r3 - r4)/(r2*(c1*c2*r3*r4*s**2 + s*(c2*r3 + c2*r4) + 1))

Eso no está en forma estándar. Pero al menos es correcto.

Como escribí anteriormente, puede calcular fácilmente la función de transferencia para la segunda etapa y luego aplicarla a la anterior.

Función de transferencia de 1.ª etapa utilizando proporciones

Sin embargo, es más interesante hacer esto:

c1 = gamma*c2
r3 = rho*r4
zc1 = 1/s/c1
zc2 = 1/s/c2
eq1 = Eq( 0, vi/r2 + vo/zc2 + vx/r3 )
eq2 = Eq( vx/zc1 + vx/r4 + vx/r3, vo/r4 )
eq3 = Eq( vo/r4 + vo/zc2, io + vx/r4 )
ans = solve( [eq1, eq2, eq3], [io, vx, vo] )
tf = simplify( ans[vo]/vi )
tf = fraction(tf)[0] / factor( expand( fraction(tf)[1] ), s )

    -r4*(c2*gamma*r4*rho*s + rho + 1)/(r2*(c2**2*gamma*r4**2*rho*s**2 + s*(c2*r4*rho + c2*r4) + 1))

den = Poly( expand( fraction(tf)[1] ), s ).coeffs()
w0 = powdenest( sqrt( den[2]/den[0] ), force=True )

    1/(c2*sqrt(gamma)*r4*sqrt(rho))

q = simplify( powdenest( sqrt( den[2]*den[0] )/den[1], force=True ) )

    sqrt(gamma)*sqrt(rho)/(rho + 1)

Mayormente el mismo enfoque. Pero ahora produciendo los mismos resultados que mencioné al principio.

notas

Elegí configurar el voltaje en la entrada (-) al amplificador operacional de la primera etapa para$0\:\text{V}$para el analisis No me olvidé de tratar con KCL para ese nodo. Pero el voltaje del nodo no aparece como variable, ya que no es variable. (No es suficiente para molestarse, de todos modos).

Agregado : no comenté sobre la interpretación de la ecuación de transferencia para la primera etapa de segundo orden, ya que asumí que conoce los detalles lo suficientemente bien (por lo que vi en su escritura). Puede ver que el numerador indica un paso bajo más un paso de banda Sallen y Key cubren dieciocho tipos diferentes de estructuras pasivas; aquellos que consideraban importantes. Pero no este. (Dijeron que otros eran posibles, por supuesto). Así que no estoy seguro de que puedas llamar a esto Sallen & Key.

Además, es maravilloso ver las diferentes perspectivas que generó su pregunta. Así que estoy votando tu pregunta. Tienes mucho con lo que trabajar. (Aunque, por lo que puedo ver, nadie asumió la cuestión del tercer orden equivalente general$Q$.)

Agregado nuevamente : olvidé mencionar que el esquema que muestra no tiene una resistencia en el pin opamp (+), a tierra. Por lo general, es mejor incluir uno que ayude a lidiar con las corrientes de polarización.

Un enfoque de diseño

Supongamos que ya sabes$\omega_{_0}$(también conocido como$\omega_{_p}$) y$Q$. Luego comience considerando la relación:

$$\tau=C_2\left(R_3+R_4\right)=\frac1{\omega_{_0}\,Q}$$

Supongamos que quisieras$f_{_0}=6400\:\text{kHz}$y$Q=2.5$. Entonces$\tau\approx 9.95\:\mu\text{s}$. También puede llamarlo$\tau=10\:\mu\text{s}$con fines de diseño.

Dado que los condensadores tienen menos selecciones de valores disponibles, continuaría desde aquí seleccionando un valor para$C_2$, pero sabiendo aproximadamente con qué te sientes cómodo$R_3+R_4$. Si la suma de esas resistencias pudiera estar en la vecindad de$10^5\:\Omega$entonces el capacitor estará cerca de$10^{-10}\:\text{F}$o$100\:\text{pF}$.

Hacer que el condensador sea un poco más grande hará que las resistencias sean un poco más pequeñas. Entiendes la idea.

Digamos que tengo buena calidad$68\:\text{pF}$condensadores a mano. Así que ahora puedo configurar$C_2=68\:\text{pF}$. y encuentra eso$R_3+R_4\approx 146.3\:\text{k}\Omega$.

También podemos resolver (dejaré los detalles para que los explores, ya que no quiero quitarte la oportunidad de descubrir por qué) que$\gamma\approx 4\,Q^2$. Entonces sabemos que$\gamma\approx 25$. Esto significa que$C_1\approx 25\cdot C_2=1.7\:\text{nF}$. Podemos elegir un valor cercano de$C_1=1.8\:\text{nF}$y luego volver a calcular$\gamma=\frac{1.8\:\text{nF}}{68\:\text{pF}}\approx 26.47$.

Ahora podemos encontrar los dos valores posibles para$\rho$:$\rho\approx 1.61678$o$\rho\approx 0.6185$. (Realmente no importa cuál elija). Esto significa que necesitamos estos dos valores de resistencia:$90.4\:\text{k}\Omega$y$55.91\:\text{k}\Omega$. Los valores cercanos serían$91\:\text{k}\Omega$y$56\:\text{k}\Omega$. A partir de aquí, encontramos que$R_3=56\:\text{k}\Omega$y$R_4=91\:\text{k}\Omega$. Ahora$\rho\approx 0.6154$.

Ahora podemos volver a calcular$f_{_0}\approx 6373\:\text{Hz}$y$Q=2.4985$. Esos están muy cerca de los valores de diseño. (¡Pero hay que tomar eso con pinzas, dadas las tolerancias de la resistencia y el capacitor!)

El procedimiento anterior tiene la ventaja de que no lo obliga a seleccionar un$\gamma$o$\rho$, por adelantado. En cambio, permite que fluyan de las decisiones naturales con respecto a los valores racionalizados disponibles para capacitores y resistencias, y procede a un diseño final que logra la frecuencia y Q.

En su lugar, digamos que sabe de antemano que quiere$\rho=1$. Entonces sabrías que$R_3=R_4=\frac{4\,Q}{2\,\omega_{_0}\,C_1}$. (Vea si puede averiguar por qué). Si seleccionó$C_2=62\:\text{pF}$entonces$C_1=1550\:\text{pF}$. Eso no está disponible, pero$C_1=1500\:\text{pF}$es. Ahora calcula$R_3=R_4\approx 82.9\:\text{k}\Omega$. Pero eso tampoco está disponible, así que seleccione$R_3=R_4\approx 82\:\text{k}\Omega$, en cambio. Ahora calcula$f_{_0}\approx 6364.5\:\text{Hz}$.

¡Eso resulta ser el valor que obtengo por su circuito! Si tuviera que adivinar al respecto, me imagino que los criterios de diseño en realidad podrían haber sido$f_{_0}=6400\:\text{kHz}$y$Q=2.5$. Dado$C_2=62\:\text{pF}$y un requisito que$R_3=R_4$como punto de partida, es difícil imaginar escapar del diseño real que tiene. Así que esa es mi conjetura.

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Nota añadida

Este arreglo se parece mucho a un amplificador de paso bajo de retroalimentación múltiple . (Consulte la página 79 (esquema) y la página 96 (pasos de diseño) en Diseño lineal básico, Capítulo 8 ).

La diferencia es que la resistencia de entrada en el amplificador de paso bajo de retroalimentación múltiple se alimenta al medio de su red T en lugar de directamente a la entrada (-).

Aún así, encontrará allí que el proceso de diseño comienza de nuevo seleccionando un valor para su$C_2$. Luego desarrollan un valor para su$C_1$a continuación, de una manera no muy diferente de multiplicar por$4\,Q^2$(ver el significado que usan para$\alpha$para reconocer esto.) Luego dejan que las resistencias se caigan de esos primeros pasos. Esto es diferente a lo que hizo el diseñador de su esquema en la configuración$R_3=R_4$como un paso inicial. Pero creo que el proceso de Analog podría adaptarse de manera similar.

Tengo curiosidad si su esquema tiene un nombre aceptado. La resistencia de entrada en la configuración que se muestra en el documento de Analog Devices afecta la ganancia de voltaje. En su caso, no es así y, en cambio, representa la impedancia de entrada. Esta modificación parece casi demasiado obvia, en retrospectiva.

(Y ciertamente no parece una muesca en T doble . Consulte la página 105 del enlace PDF anterior para ver por qué).

Estas son muy buenas respuestas y permítanme agregar las mías considerando el día lluvioso en Occitanie :) Estoy usando las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACTs como se describe en mi libro . El principio es bastante simple: determine las constantes de tiempo naturales del sistema cuando la excitación se pone a cero (una tensión de 0 V).$V_{in}$fuente es un cortocircuito). Estas constantes de tiempo naturales dan los polos del circuito. Luego, verifique la presencia de ceros y aplique la inyección nula-doble o NDI. El proceso es bastante fluido como verás.

Aquí tenemos un filtro activo seguido de una versión pasiva de paso bajo. Considerando una impedancia de salida nula que impulsa el$RC$filtro, podemos desacoplar con seguridad las dos funciones de transferencia y concentrarnos en la primera con el amplificador operacional.

Primer set$s=0$y abre todas las tapas. En esta configuración, la ganancia de CC es la de un inversor simple basado en amplificador operacional (infinito$A_{OL}$). Luego, reemplace la fuente de entrada por un cortocircuito y "mire" a través de los terminales de conexión del capacitor para determinar la resistencia.$R$. Esa resistencia combinada con el capacitor considerado forma las constantes de tiempo.$\tau=RC$queremos:

Los condensadores se desconectan temporalmente y, alternativamente, se ponen en su estado de CC (circuito abierto) o en su estado de alta frecuencia (cortocircuito). Teniendo en cuenta un amplificador operacional perfecto y una ganancia de bucle abierto infinita, puede inspeccionar el circuito y obtener las expresiones sin escribir una línea de álgebra y esto es genial.

Para los ceros, ¿cómo puede saber si hay ceros en este filtro activo? Bien, alternativamente establezca cada uno de los elementos de almacenamiento de energía en su estado de alta frecuencia y verifique que un estímulo aplicado en$V_{in}$produciría una respuesta. Si lo hace, usted tiene un cero. Si no, no:

Un simple punto de operación de CC con SPICE confirma que$C_1$contribuye con un cero a la función de transferencia mientras que los otros dos (o tres) límites no lo hacen (la salida es 0 V para los dos casos). Para determinar el cero, apliquemos una inyección nula-doble o NDI a este circuito:

Puede ver, de nuevo sin una línea de álgebra, que la resistencia vista desde los terminales de conexión es simplemente la combinación paralela de$R_3$y$R_4$. Puede inferir este resultado considerando el voltaje de salida de 0 V, lo que implica también una polarización cero en el pin inversor. Ambos$R_3$y$R_4$por lo tanto, los terminales opuestos están conectados a tierra y la unión ofrece una resistencia$R=R_3||R_4$.

Eso es todo, ahora podemos ensamblar todos estos resultados en una hoja de Mathcad, reorganizar la expresión final en una forma normalizada de segundo orden conveniente y ahí estamos:

Y si comparas mi expresión con la de jonk , la magnitud y la respuesta de fase son idénticas:

La función de transferencia del primer bloque activo tiene, por supuesto, un denominador de segundo orden$D(s)$. La función de transferencia tiene la forma

$$H(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}=\dfrac{s\dfrac{R_3R_4}{R_2}C_1+\dfrac{R_3+R_4}{R_2}}{s^2R_3R_4C_1C_2+s(R_3+R_4)C_2+1}$$

Por lo tanto, no es un paso bajo clásico de segundo orden y tampoco un paso de banda (ambos en topología de retroalimentación múltiple). Es más bien una combinación de ambos con un pico (de aprox. 15 dB) en torno a los 6 kHz. La ganancia de CC es app. 1.1. Por encima del pico, la magnitud cae solo con 20 dB/dec (debido a la función de paso de banda con$a\cdot s$en el numerador) y el máx. el cambio de fase alcanza -90° (-270° en total debido al opamp inversor).

Cuando comparas el denominador$D(s)$con la forma general es una tarea sencilla determinar la frecuencia del polo y el polo Q.

Comentario : Cuando la resistencia$R_2$está conectado al nodo común (punto medio) de$R_3$y$R_4$tiene el clásico paso bajo de segundo orden en la topología de retroalimentación múltiple.

Por lo tanto, NO es una variante de Sallen-Key: todos los filtros S&K tienen una etapa de ganancia fija (ganancia positiva o negativa)

No es un filtro de paso bajo simple, es un filtro de muesca Bridged-T en un bucle de retroalimentación negativa, seguido de un filtro de paso bajo de un solo polo de 8,7 kHz. La red T produce un pico en la respuesta de frecuencia del circuito. La estrechez y la altura del pico están determinadas por la relación de C1 a C2. He visto esta configuración como un oscilador de baja distorsión.

Por favor, publique un enlace al circuito original.