Bucear en caída libre, ¿debo preocuparme por los Bends?

tl; dr: El aumento de presión debido a la gravedad propia alcanza una atmósfera para una esfera de agua con un radio de aproximadamente 1000 km. Dado que el agua todavía es viscosa pero la flotabilidad promedio a lo largo del viaje sería una pequeña fracción de lo que experimentaría en la Tierra, llevaría mucho tiempo recorrer esa distancia. Si usó un cabrestante para arrastrarse a través de miles de kilómetros de agua, es posible que pueda obtener las curvas, pero tendría que esforzarse. Pero las curvas son una función complicada de la diferencia de presión, la tasa de cambio y el tiempo total. Aquí están las matemáticas para calcular el perfil de presión al menos.

actualización: como información, en esta respuesta para una pregunta diferente de natación de baja gravedad, también se enumeran varios umbrales para diferentes problemas además de las curvas (si entiendo correctamente). El primero cae a unos 30 m de profundidad en la gravedad terrestre, donde cada 10 m es aproximadamente una atmósfera adicional.

Si se supone que la densidad del agua$\rho$es constante, entonces a medida que te alejas del centro de la esfera, la presión en cada capa de agua de espesor$dr$aumenta en$dP$como:

De la ecuación (3) en la derivación de la ecuación de Adams Williamson , donde$g(r)$es la aceleración gravitacional dentro de la esfera. De nuevo suponiendo que la densidad es constante:

que proviene de la Gravedad de la Tierra (profundidad) y se puede derivar del históricamente significativo Teorema de Newton de Shell .

integrando$\frac{dP_g}{dr}$desde$r=0$y agregando una constante para que sea cero en la superficie$r=R_0$, la presión debida a la gravedad propia se convierte en:

y la presión máxima debida a la gravedad en el centro:

También hay una contribución uniforme a la presión debido a la tensión superficial , que tiende a mantener su forma esférica y por lo tanto un área superficial mínima. Para una esfera, la ecuación de Young-Laplace da la diferencia de presión a través de una interfaz como:

Recordar incluir la presión ambiental$P_a$, la presión total dentro de la esfera de agua (manteniendo el supuesto de densidad uniforme) es:

En el diagrama a continuación, he omitido la presión ambiental. La presión atmosférica es de aproximadamente$10^5$Newtons por metro cuadrado (Pascal). El aumento de presión en el centro de una esfera de agua que flota en el aire alcanza una atmósfera cuando el radio alcanza una micra (debido a la tensión superficial dominante) y cuando alcanza los mil kilómetros (debido a la gravedad propia).

Usé Python para hacer la trama:

def g(r, rho):

    return (4./3.) * pi * G * r * rho

def Pgrav(r, R0):

    # dP/dr = -rho*g(r) just integrate 

    return (4./3.) * pi * G * rho * (R0**2 - r**2) / 2.

def dPsurf(R0):

    return 2. * gamma / R0

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

pi    = np.pi
G     = 6.674E-11       # N m^2/kg^2
rho   = 1000.         # kg/m^3 water roughly
gamma = 73. *1E-03  #  N/m  against air, at 20C, roughly

R0    = 100000.          # m
r  = np.linspace(0, R0, 1001)

Pg  = Pgrav(r, R0)
dPs = dPsurf(R0) * np.ones_like(r)
Pa  = 1E+05 * np.ones_like(r)    # N/m^2  roughly

Ptot = Pg + dPs + Pa
Pgs  = Pg + dPs

plt.figure()
plt.plot(r, Pgs, '-k')
plt.plot(r, Pg)
plt.plot(r, dPs)
plt.show()

R0  = np.logspace(-6, 6, 1001)

Pg  = Pgrav(0, R0)
dPs = dPsurf(R0)

Pgs = Pg + dPs

plt.figure()
plt.plot(R0, Pgs, '-k')
plt.plot(R0, Pg)
plt.plot(R0, dPs)
plt.yscale('log')
plt.xscale('log')
plt.xlabel('R0 (meters)', fontsize=18)
plt.ylabel('Pressure (Pa = N/m^2)', fontsize=18)
plt.show()

El aumento de la presión con la profundidad se debe únicamente a la gravitación (rho xgxh) == (densidad por gravedad por profundidad). Si el cuerpo de agua está en caída libre, no habría tal aumento, ya que g = 0.