Ayuda para calcular el ángulo sólido subtendido por la Tierra visto desde LEO

Ángulo sólido

$\Omega = 2\pi(1-\cos \theta)$

$\theta = APO$

$(OA)^2 + (AP)^2 = (OP)^2$

OA = r - radio de la tierra y OP = r + h (altura del satélite)

$r^2 +(AP)^2 = (r+h)^2$

$AP = \sqrt{2rh + h^2}$

$\cos \theta = AP / OP =\frac{ \sqrt{2rh + h^2}}{r + h}$

$\Omega = 2\pi \left( 1-\frac{ \sqrt{2rh + h^2}}{r + h} \right)$

Para r= 6378 km y h = 400 km el ángulo sólido$\Omega$= 4,157 sR, y el semiángulo (nadir al borde de la Tierra) es 70,22°.

Si alguien tiene una pista, ¡sería genial!

Sugerencia según lo solicitado:

1. Calcular el semiángulo$\theta$de la Tierra vista desde la altura de su órbita. El medio ángulo se mide desde el eje (línea desde la nave espacial hasta el centro de la Tierra) hasta el borde visible de la Tierra visto desde la nave espacial. Use toda la gran ayuda matemática y los diagramas en todas las excelentes respuestas a la pregunta Tamaño angular de la Tierra mirando desde la ISS , y a la pregunta ¿Qué tan lejos en el espacio tiene que viajar uno para ver la esfera completa de la Tierra? .
2. Usa la ecuación para el ángulo sólido.$\Omega$de un casquete esférico como se muestra en esta sección en Wikipedia . Tenga en cuenta que la esfera aquí es una esfera de unidad matemática centrada en el satélite, no en la Tierra, y$\theta$es el semiángulo que calculaste en el paso 1.
3. Verifique su cálculo contra lo siguiente. Si el radio de la Tierra es 6378 kmy la altitud es 400 kmsuperior a eso, el medio ángulo$\theta$será aproximadamente 70.218 degrees, y el ángulo sólido será el 4.157 sRque es 33.08% of 4π sR.
4. (opcional) Si tiene éxito, publique una nueva respuesta aquí que describa exactamente lo que hizo. Los votos ascendentes en las respuestas otorgan 10 puntos de reputación cada uno, es la forma más rápida de llegar a 50 para que pueda comenzar a dejar comentarios en otras publicaciones. Si tiene problemas para usar MathJax para ecuaciones, simplemente escríbalas y deje un comentario y alguien las formateará por usted.
5. ¡Divertirse!

Pista:

Dónde$\theta$es el ángulo del semicono.