Teorema de Noether: Fundamentos

En un comentario escribes

Las simetrías del espacio-tiempo no encajan en el marco de la acción, ya que la acción es funcional en los campos, pero no también en el espacio-tiempo (el espacio-tiempo aquí aparece simplemente como una variable ficticia

Esto no está del todo bien. Una transformación del espacio-tiempo dada a menudo induce una transformación en los propios campos y, de esta manera, las transformaciones del espacio-tiempo encajan en el marco de la acción.

Esto se ilustra más fácil y explícitamente mediante un ejemplo sencillo.

Ejemplo. Considere una teoría de un solo campo escalar real en$\mathbb R^{3,1}$(espacio de Minkowski). Dejar$\mathcal F$denotan el espacio de campos considerado en la teoría (que normalmente consiste, por ejemplo, en suposiciones de suavidad y suposiciones sobre el comportamiento de los campos en el infinito). La acción funcional será una función.$S:\mathcal F\to \mathbb R$.

Ahora, por un lado, el grupo Lorentz$\mathrm{SO}(3,1)$actúa de forma natural sobre$\mathbb R^{3,1}$, es decir, a través de la acción del grupo$\rho:\mathrm{SO}(3,1)\to \mathrm{Sym}(\mathbb R^{3,1})$definido de la siguiente manera:

$$\begin{align} \rho(\Lambda)(x) = \Lambda x, \end{align}$$ dónde $\mathrm{Sym}(S)$denote el conjunto de biyecciones en un conjunto $S$. Por otro lado, esta acción de grupo induce una acción $\rho_\mathcal F$de $\mathrm{SO}(3,1)$en $\mathcal F$, el espacio de configuraciones de campo, de la siguiente manera: $$\begin{align} \rho_\mathcal F(\Lambda)(\phi)(x) = \phi(\Lambda^{-1} x), \end{align}$$ que a veces se escribe como $\phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x)$para ser breve. Es esta acción de $\mathrm{SO}(3,1)$en los campos que uno usaría para encajar las simetrías del espacio-tiempo en el marco de acción. En concreto, en este caso podríamos decir por ejemplo que $S$se proporciona invariante de Lorentz $$\begin{align} S[\rho_\mathcal F(\Lambda)(\phi)] = S[\phi] \end{align}$$ para todos $\Lambda\in\mathrm{SO}(3,1)$y para todos $\phi\in\mathcal F$. Todo esto también se puede extender fácilmente a teorías de campos de tipos más complicados, como campos vectoriales y tensoriales. En tales casos, la acción $\rho_\mathcal F$será en general más complicado porque contendrá una transformación de espacio de destino.