¿Son únicas las ecuaciones de Maxwell?

El origen de las ecuaciones de Maxwell es completamente fenomenológico a nivel macroscópico. En términos de campos únicamente, como lo demostró Einstein en 1905, codifican la relatividad especial como la simetría subyacente y, además, son ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden en los campos. Pasando al enfoque del espacio-tiempo de Minkowski covariante de Lorentz, cuya implementación lagrangiana necesariamente trae a la imagen los 4 potenciales como una descripción equivalente de la teoría, el único término cinético admisible (es decir, segundo orden en las derivadas de los potenciales) en la densidad lagrangiana es (hasta un factor numérico convenientemente elegido)$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$. Codificación de fuentes de campo (cargas eléctricas estacionarias y cargas/corrientes eléctricas en movimiento) en un objeto tensorial como$j_\mu$y suponiendo un acoplamiento mínimo (aquí se puede probar que un acoplamiento mínimo conservado actual-potencial es imprescindible), se encuentra que:

es el equivalente de las ecuaciones de GR de Einstein, junto con$\partial^{[\mu}F^{\nu\sigma]} = 0$lo cual es requerido por la antisimetría del tensor de Faraday, a su vez una consecuencia de tener la corriente 4 conservada.

Un punto más. Podemos tratar de deformar$\partial^{\mu} F_{\mu\nu} = \kappa j_{\nu}$a, digamos$\partial^{\mu} F_{\mu\nu} + a \partial_\nu \partial^{\mu} A_{\mu} = \kappa j_{\nu}$, pero al precio de perder tanto la conservación actual como el vínculo con las ecuaciones fenomenológicas en términos de$\vec{E}, \vec{B}$.