¿Qué hace que una teoría sea "cuántica"?

Hasta donde yo sé, las relaciones del conmutador hacen una teoría cuántica. Si todos los observables conmutan, la teoría es clásica. Si algunos observables tienen conmutadores distintos de cero (no importa si son proporcionales a$\hbar$o no), la teoría es cuántica.

Intuitivamente, lo que hace que una teoría sea cuántica es el hecho de que las observaciones afectan el estado del sistema. En cierto sentido, esto está codificado en las relaciones del conmutador: el orden de las mediciones afecta su resultado, la primera medición afecta el resultado de la segunda.

Creo que esta es una pregunta sutil y creo que depende un poco de cómo elijas representar la mecánica cuántica. Para ver un extremo de esto, considere el punto de vista presentado por Kibble en [1]. Para simplificar, pensaré aquí en sistemas cuánticos de dimensión finita; hay algunas sutilezas en dimensiones infinitas, pero que yo sepa, la imagen básica aún se mantiene. En esto, muestra que si describimos la teoría en términos de estados físicos (rayos en el espacio de Hilbert), entonces la dinámica de la evolución de Schrödinger corresponde exactamente a la evolución hamiltoniana a través de la forma simpléctica de la estructura de Kähler en el espacio proyectivo de Hilbert (que es decir, la evolución es la de un sistema clásico). Sin embargo, hay dos distinciones que hacen que la mecánica cuántica sea diferente de la mecánica clásica:

• El espacio de fase debe ser un espacio de Hilbert proyectivo (a diferencia de solo una variedad simpléctica), y el hamiltoniano está restringido a ser una forma cuadrática en las coordenadas homogéneas en el espacio proyectivo. En mecánica clásica, cualquier función (suficientemente suave) es admisible como hamiltoniana.
• Los sistemas compuestos se describen de manera diferente. En mecánica clásica, el espacio de fase de un sistema compuesto es el producto cartesiano de los espacios de fase. En mecánica cuántica, es la incrustación de Segre (que desciende del producto tensorial de los espacios de Hilbert). Esto es paramétricamente diferente; si los espacios de fase de los dos subsistemas son$2m$y$2n$, entonces en mecánica clásica el sistema compuesto tiene dimensión$2m+2n$, mientras que en mecánica cuántica tiene dimensión$2(n+1)(m+1)-2$. Los estados adicionales son los estados enredados. Prácticamente todas las consecuencias observables de QM vienen aquí, por ejemplo, las desigualdades de Bell. Por supuesto, si consideramos partículas idénticas, las cosas se complican un poco más.

Si ignora el segundo punto y se enfoca solo en un solo sistema cuántico, la conclusión sorprendente es que cada sistema mecánico cuántico es un caso especial de mecánica clásica (con la condición de que nuevamente no he verificado los detalles en infinitas dimensiones pero es es al menos moralmente cierto). Sin embargo, parte de la estructura de la mecánica cuántica es cómo describe los sistemas compuestos, por lo que no puede ignorar este segundo punto. Un matemático diría que esto da un funtor inyectivo de la categoría de teorías mecánicas cuánticas a la categoría de teorías clásicas que no es compatible con las estructuras monoidales simétricas de las dos.

Quiero señalar que, enfáticamente, no es así como solemos pensar en el principio de correspondencia en la mecánica cuántica. Es decir, es un mapeo de un sistema mecánico cuántico de dimensión finita a un sistema clásico de dimensión finita (de la misma dimensión). Normalmente, si pensamos, por ejemplo, en una partícula libre en una dimensión, el espacio de Hilbert para ese sistema cuántico es de dimensión infinita, pero corresponde a un espacio de fase clásico bidimensional. Pero el punto es que, al menos en esta pregunta, no podemos restringirnos a la noción ordinaria de correspondencia ya que no tenemos una interpretación física para el sistema de ecuaciones que describe la teoría.

Además, a pesar del ejemplo anterior, si una teoría es clásica o cuántica no tiene esencialmente nada que ver con el lugar donde viven los estados. De hecho, si solo queremos considerar una partícula libre en una dimensión nuevamente, normalmente describiríamos su estado como un operador de traza de unidad de clase de traza autoadjunto$\hat \rho$en el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb R)$. Por el contrario, en la mecánica clásica describiríamos un estado como una distribución de probabilidad$\rho$en el espacio de fase$\mathbb R^2$(Tenga en cuenta que en el ejemplo anterior solo teníamos estados clásicos puros , es decir, solo aquellos descritos por un$\delta$funcionan en el espacio de fase mientras que ahora tenemos estados mixtos). Sin embargo, podríamos describir fácilmente el estado cuántico por su función de Wigner , en cuyo caso vive exactamente en el mismo espacio afín que la distribución clásica. Sin embargo, la función de Wigner satisface desigualdades ligeramente diferentes a las de la distribución de probabilidad clásica; en particular, puede ser ligeramente negativo y no demasiado positivo. Los detalles de esto se elaboraron por primera vez en [2]. En este caso, es la dinámica la que revela la naturaleza cuántica. Específicamente, para pasar de la mecánica clásica a la cuántica, debemos reemplazar el corchete de Poisson por el corchete de Moyal (que tiene$O(\hbar^2)$correcciones), lo que indica el fracaso del teorema de Liouville en la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica: la densidad de (cuasi) probabilidad no se conserva a lo largo de las trayectorias del sistema.

Todo esto es para decir que parece difícil (y tal vez imposible) tratar de encontrar una sola característica distintiva entre la mecánica clásica y la cuántica sin considerar los sistemas compuestos, así que si eso es lo que quieres, no estoy seguro de tener una respuesta. . Sin embargo, si permite sistemas compuestos, es una distinción bastante inequívoca. Dado esto, quizás no sea sorprendente que todas las pruebas experimentales que tenemos que demuestran que el mundo es cuántico y no clásico se basen en el entrelazamiento.

Referencias:

[1]: Kibble, TWB "Geometrización de la mecánica cuántica". Com. Matemáticas. física 65 (1979), núm. 2, 189-201.

[2]: HJ Groenewold (1946), "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental", Physica 12 , pp. 405-460.

Desafío del marco: creo que la pregunta se basa en una premisa engañosa.

Si bien hay una serie de características típicas de las teorías cuánticas en oposición a las teorías clásicas, algunas ya las ha enumerado en la pregunta y otras se han sugerido en las respuestas existentes, no hay ninguna razón particular para esperar que haya una única regla inequívoca. que categoriza cualquier teoría arbitraria como cuántica o clásica.

Tampoco hay ninguna necesidad particular de tal regla. Das el ejemplo de la gravedad cuántica. Sin embargo, la razón por la que queremos una teoría cuántica de la gravedad no es porque tenga la etiqueta "cuántica", como si fuera un bolso que no estaría adecuadamente de moda sin la etiqueta correcta, sino porque queremos que pueda para responder ciertas preguntas sobre la realidad que ya sabemos que la Relatividad General no puede responder.

En resumen, no se preocupe por si la teoría es "cuántica" o no; preocúpese por si responde o no a las preguntas que desea que se respondan.

También relevante.

Addendum: lo mismo ocurre con las teorías existentes, por supuesto. No nos gusta el modelo estándar porque es cuántico. Nos gusta porque funciona .

TL;DR: Correlaciones.

Lo primero es lo primero: dado que el OP solicita un criterio para saber si un modelo es mecánico cuántico, la respuesta debe involucrar observables. Después de todo, si pudiera reescribir su modelo "cuántico" como un modelo "clásico", esas etiquetas no valdrían mucho después de todo.

Además, todas las teorías cuánticas (que yo sepa) son probabilísticas, por lo que esta respuesta se centra en observables probabilísticos, es decir, funciones de correlación .

La diferencia fundamental entre una teoría cuántica y una teoría clásica es su estructura de correlación. Es decir, las teorías cuánticas pueden mostrar correlaciones que las teorías clásicas no pueden.

El ejemplo históricamente primero y más simple de esto es la desigualdad de Bell . A estas alturas, existen muchas desigualdades de este tipo para todo tipo de observables, una de las cuales se usa con frecuencia es la desigualdad CHSH . En general, estas desigualdades establecen límites en las funciones de correlación que no pueden ser violadas por una teoría de probabilidad clásica, donde esta última puede hacerse con precisión (ver más abajo). Las teorías de probabilidad cuántica pueden violar algunas de estas desigualdades, lo que las hace intrínsecamente diferentes.

Curiosamente, también hay teorías que tienen correlaciones que son incluso más fuertes que en la teoría cuántica . Estas se conocen como cajas de Popescu-Rohrlich y se ha demostrado que permiten la máxima violación del llamado límite de Tsirelson , otra desigualdad que, sin embargo, cumple la teoría cuántica.

Hacer estas declaraciones (que funcionan en el nivel de distribuciones de probabilidad en un espacio de observables) es un campo completo. Algunas referencias (intentaré poner alguna más mañana, demasiado cansada ya):

1. Uno puede intentar singularizar la teoría cuántica como una teoría de probabilidad 'especial' comenzando con ciertos postulados teóricos de la información: https://arxiv.org/abs/1203.4516
2. Las llamadas pruebas de Bell 'sin escapatorias' han demostrado que vivimos en un mundo que viola la teoría clásica de la probabilidad (aunque algunas personas argumentarán en contra): https://www.nature.com/articles/nature15759
3. Una buena presentación sobre las ideas mencionadas anteriormente de un tipo que (a diferencia de mí) realmente sabe de lo que está hablando: http://www.math.umd.edu/~diom/RIT/QI-Spring10/ClassvsQuantInfo.pdf

Aquí está la respuesta de un experimentador:

Un sistema matemático, ya sea algebraico o de ecuaciones diferenciales, tiene axiomas y teoremas y es autocontenido y autoconsistente.

Una teoría física es un subconjunto de un sistema matemático que se define mediante la imposición de axiomas adicionales, llamados leyes o postulados, que son necesarios por construcción, para recoger del conjunto matemático general, aquellas soluciones que se ajustan a los datos, es decir, mediciones y observaciones.

Las teorías clásicas son aquellas que utilizan leyes clásicas, tales como: las leyes de Newton para la mecánica, el conjunto de leyes de la electricidad y el magnetismo unificado en las ecuaciones de Maxwell, las leyes de la termodinámica (y quizás etc.).

Las teorías cuánticas son las que obedecen a las leyes de la mecánica cuántica, es decir, a los postulados de la mecánica cuántica , independientemente de la formulación matemática.

Para ajustar los datos y las observaciones, eran necesarios los postulados de la mecánica cuántica, y esto es lo que distingue a la clásica de la cuántica, en mi opinión.

Editar después de los comentarios:

En tu lista:

Axiomas de Dirac-von Neumann: son demasiado restrictivos (p. ej., no se adaptan a las teorías topológicas cuánticas de campos).

Esta fue la primera vez que conocí las teorías topológicas cuánticas de campos (TQFT). (Estas introducciones son una de las razones por las que sigo este sitio: para obtener ráfagas de física nueva para mí).

El indicador es si este conjunto de teorías se ajusta a los datos y predice las medidas.

En las teorías matemáticas axiomáticas, los teoremas se pueden establecer como axiomas, y luego los axiomas anteriores deben probarse como teoremas, para una teoría autoconsistente. Por lo general, los axiomas se eligen como la expresión más simple de un conjunto de teoremas consistentes.

Dado que los TQFT se ajustan a los datos y son predictivos de los estados cuánticos, es necesario que a partir de los postulados axiomáticos para TQFT uno pueda derivar los postulados de la mecánica cuántica (posiblemente en un método matemático muy complicado). El artículo de wikipedia sobre TQFT parece indicar esto . Esto es necesario para que una teoría sea cuántica en mi opinión.

Es decir, son los postulados los que conectan las medidas con las fórmulas matemáticas, por construcción.

Diría que algo intrínsecamente cuántico es la forma en que se relacionan las probabilidades y la función que obedece a la ecuación diferencial parcial.

Como observa, tanto la interferencia como las probabilidades están presentes en las teorías clásicas. Lo nuevo son las amplitudes de probabilidad donde la interferencia conduce a una supresión de probabilidades que no es posible en las teorías clásicas.

Para el caso de dimensión finita, también está la propuesta de Lucien Hardy "Teoría cuántica a partir de cinco axiomas razonables" ( https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101012 ). Allí, el factor distintivo entre la teoría cuántica y la teoría clásica de la probabilidad es que "existe una transformación reversible continua en un sistema entre dos estados puros cualesquiera de ese sistema".

Otra referencia similar es el Capítulo 9 del libro de Scott Aaronson "Quantum Computing since Democritus".

tl; dr.

Erm... lo haces.

Digamos que preparas un modelo sobre un sistema físico...

Las ecuaciones no existen por sí mismas, siempre tienen un entorno. La cabeza son suposiciones y la cola generalmente describe las limitaciones de dicho modelo matemático. Entonces, realmente, depende de su interpretación de la pregunta en cuestión O de los datos disponibles para usted, lo que puede predecir de manera consistente (¿determinista?) Si una teoría es "Cuántica".

Por el contrario, si no tienes cara y cruz, puedes hacer muchos casos sobre de qué está hablando una ecuación pero no puedes decir nada concreto.

Todas las respuestas aquí son inspiradoras y francamente sexys , pero tómese el tiempo para considerar mis ejemplos rudimentarios a continuación.

Esta forma de pensar " qué característica de la ecuación predice su aplicabilidad en <nombre de la rama de la física> " es un mal uso de las matemáticas.
Las matemáticas son, quizás, lo último pero debemos recordar que en física las usamos como herramienta. Mi ilustración a continuación puede parecer infantil, pero considere las siguientes ecuaciones

Ecuación 1:

Ecuación 2:

Con solo mirarlos, un matemático puede decir felizmente que

• Ecuación 1
  • tiene dos soluciones +2y -3, y
  • la curva está orientada hacia arriba, con máximos enx = -0.5
• ecuación 2
  • tiene una pendiente de-0.4
  • tiene intersecciones 4 y 10
  • tiene infinitos pares ordenados que (x, y)satisfacen la ecuación
  • describe una curva que encierra el origen

Y todos estaríamos de acuerdo con los puntos anteriores.
Pero el físico sabio se calla, porque sabe que estas ecuaciones no son garabatos de algún vulcano disléxico sino modelos de algo , representan algo o algunos fenómenos. Entonces, un físico está de acuerdo con el matemático pero no llega a una conclusión.

Veamos las preguntas que nos llevan a estas ecuaciones.

Pregunta 1:

El producto de una cantidad por uno mas que si mismo es 6, encuentra el valor de esta cantidad si
a. la cantidad es dinero prestado
b. la cantidad es tiempo

Pregunta 2:

Dos veces el número de mis hijos y cinco veces el número de mis hijas siempre es igual a dos veces el número de apéndices que una persona normal tiene en sus manos. ¿Cuántos hijos e hijas tengo?

Ahora, espero que tengas un ¡ajá! momento. La respuesta de Q1 bes simplemente +2porque el tiempo no puede ser negativo (todos hemos resuelto preguntas de este tipo cuando éramos niños) y la respuesta de Q2puede ser bastante sorprendente: 5 hijos y 2 hijas, porque los físicos son buenas personas y no hacen niños fraccionarios o niños negativos.

¿Viste eso? Una ecuación, dos variables, y aún obtenemos una respuesta única: restricciones .

Entonces, el matemático (la ecuación) y el físico (el panorama general) tienen razón donde se encuentran. Pero los físicos ganan, porque

• estamos en physics.stackexchange.com
• las matemáticas en sí mismas son muy fuertes, puras, casi desagradables; necesitamos tanto la información de fondo como las limitaciones para comprender lo que esta maravillosa herramienta está tratando de decirnos a través de ecuaciones.

Hablando en serio, me gustaría señalar que probablemente no haya ningún libro (respetable) sobre física clásica que enseñe F = masin primero declarar explícita y claramente lo siguiente:

• Se requieren suposiciones, por ejemplo, superficies sin fricción y cuerpos perfectamente rígidos.
• Las tres leyes del movimiento de Newton (palabra por palabra)
• Eso dF = d(m.v), que se puede simplificar si la masa es (casi) constante
• y lo que es más importante, el hecho de que los objetos con los que estamos tratando no sean de una escala superdiminuta, es decir, mayores de 10 ^-9 m de diámetro.

Los autores no hacen esto por pedagogía, a la mayoría de los estudiantes de noveno grado no les importaría un carajo la rigidez, pero de hecho lo hacen porque estas afirmaciones son necesarias para que la ecuación/teoría funcione.

Tratar de predecir si una ecuación describe una cosa cuántica es una pregunta basada en discusión en el mejor de los casos, o meta-matemáticas.

Para el OP específicamente,

Si es un inventor, trabaja en algo como GUT (¿por qué otra razón tendría una ecuación cuyo origen no conoce) y tiene curiosidad por saber si se aplica igualmente bien a cuerpos grandes y pequeños, aplique restricciones. No tengo la previsión matemática, pero lógicamente puedo decir que las variaciones en las restricciones definirán la forma en que se comporta el sistema para los cuerpos cuánticos y clásicos.

En Thinking Fast and Slow hay un capítulo que ilustra que tenemos una tendencia a apoyar lo que es popular/elegante en lugar de lo que es correcto/plausible. Creo que la pregunta se basa principalmente en la opinión.

TLDR: dualidad onda-partícula

Quiero responder a esta pregunta desde una perspectiva histórica:

De acuerdo con nuestra comprensión actual, una teoría cuántica muestra características tanto de la mecánica clásica como de la electrodinámica (por ejemplo, la luz) al mismo tiempo. La primera persona en notar tal conexión entre la mecánica y la teoría de la luz fue Hamilton. Desarrolló la óptica hamiltoniana, que describía la luz como una partícula (también conocida como corpúsculo). Los teóricos pronto reconocieron que la óptica hamiltoniana no puede dar cuenta de los fenómenos de la luz como la interferencia, la difracción y la polarización. Se dieron cuenta de que la óptica hamiltoniana es solo una aproximación, que funciona bien siempre que la longitud de onda de la luz sea mucho más pequeña que el aparato de medición (por ejemplo, para la óptica geométrica basada en rayos de luz y lentes). Sin embargo, el lenguaje de la óptica hamiltoniana funcionó perfectamente para describir la mecánica clásica, que ahora se conoce comúnmente como mecánica hamiltoniana.

La teoría de campos de la electrodinámica de Maxwell era una descripción más correcta de la luz, pero luego llegaron Planck y Einstein. Demostraron que para describir la radiación de cuerpo negro y el efecto fotoeléctrico era necesario asumir que la luz no puede ser un campo con divisibilidad infinita (es decir, continuidad) como se supone en la teoría ondulatoria de la luz de Maxwell. Más bien, la luz debe consistir en entidades contables que llamaron "quanta". Pero, esta teoría fue ad hoc y no consistente con la relatividad especial. (Nota: la versión consistente es la electrodinámica cuántica). Aunque inmadura, la explicación de Planck y Einstein de estos fenómenos fue la primera teoría cuántica porque mostró (o mejor dicho, asumió) la dualidad onda-partícula. (Nota: la cuantificación no significa volver de una teoría ondulatoria de la luz a una teoría de corpúsculos como la óptica hamiltoniana.

Se necesitaba el loco genio de deBroglie y Schrödinger para aplicar esta teoría en la dirección opuesta: a las partículas. Se dieron cuenta de que si la teoría ondulatoria de la luz de Maxwell debe extenderse para contener cuantos/partículas, la teoría clásica (que consta solo de partículas) debe extenderse para producir las características de las ondas. Vieron que la teoría clásica podría ser una aproximación como la óptica hamiltoniana, que es válida solo para longitudes de onda cortas. Así, Schrödinger desarrolló la mecánica ondulatoria no postulando cuantos, sino invirtiendo las aproximaciones necesarias para pasar de la teoría de la luz de Maxwell a la óptica hamiltoniana. En oposición a la Electrodinámica, la Mecánica Clásica necesitaba ser "ondulada" para convertirse en una teoría completa que mostrara la dualidad onda-partícula. (Nota: aquí de nuevo,

Entonces, una teoría es "Cuántica" cuando integra/combina las características de ondas y partículas. Una teoría clásica es solo ondas/campos o solo partículas.

Con respecto a la cuantificación de la Relatividad General, es instructivo comparar esta teoría clásica de campos con otra teoría clásica de campos, a saber, la dinámica de fluidos. Lo que ambas teorías tienen en común es su alta no linealidad. Ambos solo pueden cuantificarse si se linealizan primero. Si uno linealiza la dinámica de fluidos, obtiene la ecuación para las ondas de sonido. Si uno linealiza las ecuaciones de GR, obtiene las ecuaciones de las ondas gravitacionales. Si uno cuantifica la ecuación de las ondas sonoras, obtiene fonones. Si uno cuantifica las ondas gravitacionales, obtiene gravitones. De nuevo, tanto los gravitones como los fonones muestran dualidad onda-partícula. Pero en ambos casos, primero necesitamos linealizar nuestra teoría para poder cuantizarla. (Nota: los fonones solo existen en los sólidos. Los gravitones también pueden existir solo en el espacio-tiempo "sólido").

Los modelos físicos están determinados por su entramado de eventos . El conjunto de eventos físicos forma una red algebraica con los dos operadores binarios que sirven como OR y AND entre eventos. Suponemos que la red de eventos es sigma-aditiva y ortomodular. Llamamos a esta red la lógica del modelo. En este sentido los acontecimientos son los elementos de la lógica. Los estados del sistema son medidas de probabilidad sobre esta álgebra. Las cantidades físicas son asignaciones entre declaraciones sobre medidas de una cantidad (piense en los conjuntos de Borel de los reales) y la lógica.

La lógica de un modelo clásico es isomorfa a un álgebra de conjuntos, por lo que es distributiva ( a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) y viceversa) y completamente atómica.

La lógica de un modelo cuántico es isomorfa a la red de los subespacios de un espacio de Hilbert y por lo tanto no es distributiva sino también completamente atómica.

Lo anterior solo es suficiente para explicar muchas características asociadas con los modelos cuánticos, que incluyen

• Las cantidades físicas de valor real se pueden representar como operadores autoadjuntos.
• relaciones de conmutación
• superposición de estados
• la ecuación de Schrödinger

Quizás la observación de que no hay una distribución de probabilidad conjunta consistente para los grados de libertad conjugados puede muy bien asegurarnos que estamos tratando con un sistema de mecánica cuántica.

La página 372 del siguiente documento podría ayudar a discutir mejor el tema. Hay muchos más detalles y algunos teoremas valiosos que están probados.

La interpretación estadística de la mecánica cuántica

Me sorprende que nadie parezca mencionar que una teoría cuántica describe cantidades que tienen valores discretos. Todas las cantidades que parecen continuas en el nivel macroscópico solo pueden tomar valores discretos en una teoría cuántica. Las diferencias son "comunicadas" por "partículas" (fotones, etc.). Ese es el corazón de una teoría cuántica.

No se ha logrado describir los estados y las partículas que interactúan, o solo se ha logrado tentativamente, para la gravitación.