Diferencia entre hamiltoniano en mecánica clásica y en mecánica cuántica

Su pregunta es mal concebida, a partir de su tercer punto:

Matemáticamente, el hamiltoniano en CM es solo una función de las variables q,p, pero en mecánica cuántica es un operador hermitiano.

Esta es una de las falsedades populares más perdurables en el comercio, asociada con el peculiar desarrollo particular del campo. De hecho, la mecánica cuántica se puede describir perfectamente en el espacio de fase , y la mecánica clásica en el espacio de Hilbert . La razón es la existencia del mapa invertible de Wigner-Weyl que une el espacio de fase y el espacio de Hilbert en equivalencia completa y práctica.

Esto, entonces, obvia el falso contraste de su primer punto:

En física clásica, el hamiltoniano determina variables canónicas, pero en QM el operador hamiltoniano determina solo una cantidad, ψ .

Engañoso. En ambos casos, el hamiltoniano hace el mismo trabajo. La ecuación de evolución clásica de Liouville (para la cual las trayectorias deterministas se pueden definir a través de las densidades de Liouville de la función δ) se puede extender en QM mediante la ecuación determinista de Moyal (que realiza la función de la ecuación de Schroedinger), que describe la evolución de una distribución de cuasibprobabilidad de Wigner, en lugar de . Debido a que esta formulación codifica automáticamente el principio de incertidumbre, la localización completa de la función δ en el espacio de fase es imposible y, por lo tanto, las trayectorias, estrictamente hablando, no existen y el fluido de probabilidad se difunde.

Sin embargo, esto no elimina por completo su segundo punto, que de hecho es incorrecto en sí mismo:

El movimiento clásico está determinado por ecuaciones canónicas (principio de mínima acción), mientras que el hamiltoniano QM se construye de tal manera que satisface la ecuación de Schroedinger (no se deriva del principio de mínima acción).

De hecho, las ecuaciones de Liouville se derivan directamente de las ecuaciones canónicas de movimiento resultantes de un principio de acción extrema, ahora entendido como un límite clásico de QM, después de la intuición de Dirac de 1933 , p. 69, y codificado en la formulación de la integral de trayectoria de Feynman, el célebre pequeño$\hbar$límite.

Extrañamente, y bastante desconcertante, la ecuación de Schroedinger también puede derivarse de una bien conocida extremización de$\int dt dx ~\psi^*(x,t) (i\hbar \partial_t -H) \psi(x,t)$, ¡aunque no se trata de un límite de interferencia tan destructivo! (?) Me he preguntado al respecto durante mucho tiempo y he concluido, posiblemente erróneamente, que es una "casualidad", es decir, el hecho trivial de que cualquier ecuación lineal equivale al extremo de una forma hermítica cuadrática. Pero realmente no puedo estar seguro. ¿Puede?

$\bullet$La función de onda tiene información sobre la posición y el momento, por lo que en cierto sentido tienes razón. Pero no es particularmente útil contar cantidades de la forma en que lo hace aquí: Escriba$X_\Psi:=(q,p),\ \nabla:=(\tfrac{\partial}{\partial q},\tfrac{\partial}{\partial p})$y$\omega:=\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}$. Ahora tu ecuación clásica es$\dot X_\Psi=\omega \nabla H$, dónde$H$y por lo tanto también el vector$\omega \nabla H$es una función de$X_\Psi$, y esto también es solo una ecuación para una cantidad.

$\bullet$Sí, la función de onda se ve como una desviación ponderada del principio de acción de las partículas puntuales clásicas. Pero para la función de onda de una partícula, la ecuación de Schrödinger es solo una ecuación de campo y esto también tiene un Lagrangiano,$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^{*}} - \left(\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}} + \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_j}}\right) = 0$con$\mathcal{L}\left(\psi, \mathbf{\nabla}\psi, \dot{\psi}\right) := \mathrm i\hbar\, \frac{1}{2} (\psi^{*}\dot{\psi}-\dot{\psi^{*}}\psi) - \frac{\hbar^2}{2m} \mathbf{\nabla}\psi^{*} \mathbf{\nabla}\psi - V( \mathbf{r},t)\,\psi^{*}\psi$.

$\bullet$Estas son las definiciones, cierto. Pero ambos proporcionan tanto la función de energía como el desarrollo del tiempo de generación del operador. La función para los mapas de operadores hermitianos$\psi$a$\left\langle\phi\right|H\left|\phi\right\rangle$, vea aquí , y las ecuaciones anteriores proporcionan un mapeo de flujo de un estado a la vez$t_i$a un estado a la vez$t_f$.