Pregunta tonta sobre la estructura abstracta "completa" de un espacio-tiempo

Un espaciotiempo en su forma más general suele escribirse como el multiplete$(\mathcal{M}, \mathfrak{A}, g, \nabla)$, con

• $\mathcal{M}$es un paracompacto, variedad de Hausdorff, de dimensión$n \geq 2$, que puede admitir una métrica de Lorentz
• Una estructura suave$\mathfrak{A}$en ese múltiple (esto generalmente no es realmente importante ya que la estructura suave generalmente es única o existe una "estándar")
• Una métrica lorentziana$g$
• Una conexión, que generalmente es la conexión Levi-Civitta (sin torsión y compatible con métricas)

Hay muchas estructuras que puede agregar adicionalmente a un espacio-tiempo, pero esas se derivan de las primeras cuatro, generalmente no se mantendrán para todos los espacio-tiempos o dependerán de la teoría en cuestión. Aquí hay algunos notables:

• Una amplia variedad de haces de fibras son útiles en GR, como el haz tangente ($T\mathcal{M}$), fibra cotangente ($T^*\mathcal{M}$), haz tensorial, haz de Grassmann, haz marco ($L\mathcal{M}$o$F\mathcal{M}$), haz de marcos ortonormales ($O\mathcal{M}$), paquete métrico, paquete de Clifford, paquete de espín, etc., etc.
• Una orientación temporal (generalmente$t$o$\tau$o alguna variante), que generalmente se define como un campo vectorial temporal. No todos los espaciotiempos admiten uno, pero la mayoría de los razonables sí.
• Una orientación espaciotemporal ($\eta$o$\varepsilon$), que es un continuo que se desvanece en ninguna parte$n$-forma, definida si la variedad de espacio-tiempo es orientable.
• Una estructura causal, que se deriva del tensor métrico. Si consideramos la variedad$\mathcal{M}$como un conjunto$X$, entonces la estructura causal es un orden parcial$(X, \ll, \leq, \to)$
• Una estructura giratoria, si se cumplen todas las condiciones.
• Una variedad de campos de materia expresados ​​por paquetes vectoriales, campos de calibre del paquete principal, así como el paquete jet y el paquete Legendre para que esos campos realicen cálculos.
• Extensiones del espacio-tiempo para incluir sus límites. Hay toneladas de estructuras que puede usar para ello, como el método GKP.

Podría seguir y seguir, de las diversas topologías que puede imponer en el espacio-tiempo (como la topología de Alexandrov o$C^0$topología), los espacios de bucle para curvas o curvas temporales, funciones de tiempo, foliaciones, etc, etc. Pero las primeras cuatro cosas (y los campos de materia si los consideramos) son suficientes para derivar todo esto más adelante.

Lo siento, pero este es un gran tema para cubrir. Puedo decirte esto: en primer lugar, el espacio-tiempo no es un espacio vectorial. Es una variedad, una variedad 4d que está equipada con topología. También está equipado con un conjunto de mapas de coordenadas llamados gráficos. El conjunto completo de tales mapas que cubre la variedad se llama atlas. También está equipado con una conexión. Debido a nuestra elección de la definición de una curva estacionaria más corta o cómo decirlo, que coincide con la definición de curva autoparalela, esto es equivalente a una elección de métrica, g. Además, además de eso, esta variedad que llamamos espacio-tiempo tiene que estar libre de torsión. Entonces, es una variedad de 4 dimensiones (M, o, A, g) donde o es la topología y A el atlas. La g pequeña es la métrica, pero en lugar de eso podemos escribir conexión. M significa múltiple. Para hablar de física más adelante, necesita definir un espacio vectorial tangente en cada punto de su espacio-tiempo o, para definir de manera más general, un paquete tangente. Después de eso, también se necesita un paquete cotangente. Luego puede definir un campo vectorial como una sección de un paquete tangente. Para hablar de simetría, debe definir mapas de avance y retroceso, un flujo de un campo vectorial y una noción de integridad de un campo vectorial. Además, debe definir un álgebra de Lie de campos vectoriales y una derivada de Lie.