¿Por qué solo las representaciones lineales del grupo de Lorentz se consideran campos cuánticos fundamentales?

Como se describe en muchas preguntas y respuestas por aquí, los campos cuánticos fundamentales se expresan como representaciones irreducibles del grupo de Lorentz. Este argumento es completamente claro: vivimos en un mundo invariable de Lorentz y aquellos elementos de un sistema observado que no se mezclan con otros de ninguna manera transformamos el sistema, ya sea activamente o simplemente mirándolo desde un punto de vista diferente, son los únicos. candidatos para entidades físicas separadas como partículas/campos cuánticos. Sin embargo, la pregunta es, ¿por qué consideramos solo representaciones lineales del grupo?

Peskin y Schroeder mencionan que todas las leyes de transformación no lineales se pueden construir a partir de leyes lineales y, por lo tanto, "no hay ninguna ventaja" al considerar transformaciones no lineales. Sin embargo, no dan ninguna referencia. Incluso si esto es cierto, la descomposición de la transformación no parece un contraargumento siempre que sea irreducible. Puede haber problemas considerables con la cuantización canónica de campos no lineales, pero si podemos construir escalares a partir de ellos (y, por lo tanto, un Lagrangiano), se mantiene la formulación de la integral de trayectoria.

Otro argumento apela al principio de superposición derivado de la mecánica cuántica. Sin embargo, una vez que la interacción entra en juego, tenemos ecuaciones de campo no lineales que violan el principio de superposición de todos modos. No obstante, las representaciones "punto a punto" lineales y no lineales que interactúan de los campos en ambos casos obedecen al principio de superposición para todos sus estados cuánticos . Entonces, una vez más, la representación no lineal no plantea un problema fundamental.

El último argumento posible concebible por mí, la necesidad de la capacidad de construir una teoría de la perturbación, es más una solicitud técnica que una restricción fundamental (aunque no tan lejos de la solicitud de términos de interacción renormalizables).

Entonces, ¿existe un principio concluyente que restringe la no linealidad de las representaciones o es solo uno de esos momentos de física "funciona para que a nadie le importe"?

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EDICIÓN 1: Por una "representación" obviamente me refiero a una "realización" del grupo de Lorentz, ya que una representación en el sentido antiguo es estrictamente lineal. Podríamos entender esto como un funtor desde el espacio de campos vectoriales (velocidades) (sobre el que se formuló la primera "realización" del grupo de Lorentz) a un espacio de campos no vectoriales (no lineales). Una formulación más realista es la siguiente: Considere una colección de campo$\phi_a$y una transformada de Lorentz$\Lambda$. Entonces el campo se transforma como

$\phi_a'(x)=M^\Lambda_a(\phi_b(\Lambda^{-1}x))$,

con generalmente ($\alpha \in \mathbb{C}$)

$\alpha \phi_a'(x) \neq M^\Lambda_a(\alpha \phi_b(\Lambda^{-1}x))$

y todas las demás cosas, como la suma, también se violan generalmente.

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EDICIÓN 2: Para tener una idea de cómo se cuantificaría tal teoría y dónde pueden radicar los problemas, también voy a comentar sobre la transformación de los operadores de campo cuantificados. Considere que tenemos colección de campo$\phi_a$transformando como se especifica arriba. Ahora también asumimos que su transformación es analítica y con el uso de índices múltiples (en negrita) la transformación se puede escribir como

$$\phi'_a = \sum_{\mathbf b} m_a^{\Lambda, \mathbf b} \phi^{\mathbf b}.$$ Es decir $\phi^{\mathbf b} = \phi_1^{b_1}\phi_2^{b_2}...$Los poderes del campo no son un problema en la mecánica cuántica ya que son múltiples aplicaciones del mismo operador de campo después de la cuantificación. Es decir, después de la cuantificación para la colección de operadores de campo. $\Phi_a$debe sostener eso $$U^\dagger(\Lambda) \Phi_a U(\Lambda) = \sum_{\mathbf b} m_a^{\Lambda, \mathbf b} \Phi^{\mathbf b}, \;\;\;\; (*)$$

dónde$U(\Lambda)$es la transformación de Lorentz del estado cuántico del campo$|\Xi'\rangle = U(\Lambda) |\Xi\rangle$.

Por ejemplo, puede ver que una suma de dos operadores de este tipo no se transforma según la prescripción dada, pero esto también es cierto en general en las teorías cuánticas "normales". Considere por ejemplo$\hat{X}$que se transforma como$\hat{X} + a$bajo una traducción de$a$. Sin embargo,$\hat{Y} = \hat{X} + \hat{X}$se transforma como$\hat{Y} + 2a$.

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Básicamente, la única forma en que veo que ocurre la descalificación de las representaciones de transformación no lineal es si sus componentes pueden identificarse como combinaciones de componentes de campos de transformación lineal a ciertas potencias. Por ejemplo, cuatro campos$\phi^\mu$en realidad podría identificarse para transformarse como tres componentes de un campo vectorial, pero al cuadrado:

$$V'^\mu = \Lambda^\mu_\nu V^\nu, \; \phi^\mu = (V^\mu)^2$$ Pero, ¿es esto generalmente posible y cómo?