¿Por qué la energía cinética aumenta cuadráticamente, no linealmente, con la velocidad?

Todas las respuestas anteriores reafirman el problema como "El trabajo es punto de fuerza/distancia de tiempos". Pero esto no es realmente satisfactorio, porque entonces podrías preguntar "¿Por qué la fuerza de trabajo está distanciada entre puntos?" y el misterio es el mismo.

La única forma de responder preguntas como esta es confiar en los principios de simetría, ya que estos son más fundamentales que las leyes del movimiento. Usando la invariancia galileana, la simetría que dice que las leyes de la física se ven iguales en un tren en movimiento, puedes explicar por qué la energía debe ser proporcional a la masa multiplicada por la velocidad al cuadrado.

Primero, necesitas definir la energía cinética. Lo definiré de la siguiente manera: la energía cinética$E(m,v)$de una bola de arcilla de masa$m$moviéndose con velocidad$v$es la cantidad de calorías de calor que produce cuando choca contra una pared. Esta definición no hace referencia a ninguna cantidad mecánica y se puede determinar usando termómetros. Demostraré que, asumiendo la invariancia de Galileo,$E(v)$debe ser el cuadrado de la velocidad.

$E(m,v)$, si es invariable, debe ser proporcional a la masa, porque puedes golpear dos bolas de arcilla una al lado de la otra y obtener el doble de calor, entonces

Además, si golpeas dos bolas de arcilla idénticas de masa$m$moviéndose con velocidad$v$de frente, ambas bolas se detienen, por simetría. El resultado es que cada uno actúa como una pared para el otro y debe obtener una cantidad de calor igual a$2m E(v)$.

Pero ahora mire esto en un tren que se mueve junto con una de las bolas antes de la colisión. En este marco de referencia, la primera pelota sale detenida, la segunda pelota la golpea en$2v$, y el sistema de dos bolas atascado termina moviéndose con velocidad$v$.

La energía cinética de la segunda bola es$mE(2v)$al principio, y después de la colisión, tienes$2mE(v)$energía cinética almacenada en la bola combinada. Pero el calentamiento generado por la colisión es el mismo que en el caso anterior. Así que ahora hay dos$2mE(v)$términos a considerar: uno que representa el calor generado por la colisión, que vimos antes era$2mE(v)$, y el otro que representa la energía almacenada en la bola de doble masa en movimiento, que también es$2mE(v)$. Debido a la conservación de la energía, esos dos términos deben sumar la energía cinética de la segunda bola antes de la colisión:

lo que implica que$E$es cuadrático.

Fuerza-veces-distancia no circular

Esta es la versión no circular del argumento de la fuerza por la distancia que todo el mundo parece amar tanto, pero que nunca se hace correctamente. Para argumentar que la energía es cuadrática en velocidad, basta establecer dos cosas:

• La energía potencial en la superficie de la Tierra es lineal en altura.
• Los objetos que caen sobre la superficie de la Tierra tienen aceleración constante

Luego sigue el resultado.

Que la energía en un campo gravitatorio constante es proporcional a la altura lo establece la estática. Si cree en la ley de la palanca, un objeto estará en equilibrio con otro objeto en una palanca cuando las distancias son inversamente proporcionales a las masas (hay demostraciones geométricas simples de esto que requieren nada más que el hecho de que los objetos de igual masa se equilibran). a distancias iguales del centro de masa). Entonces, si inclinas un poco la palanca, la masa por la altura ganada por 1 es igual a la masa por la altura ganada por el otro. Esto le permite levantar objetos y bajarlos con muy poco esfuerzo, siempre que la suma de masa por altura sobre todos los objetos sea constante antes y después. Este es el principio de Arquímedes.

Otra forma de decir lo mismo utiliza un ascensor, que consta de dos plataformas unidas por una cadena a través de una polea, de manera que cuando una sube, la otra baja. Puedes levantar un objeto, si bajas una cantidad igual de masa hacia abajo en la misma cantidad. Puedes levantar dos objetos una cierta distancia en dos pasos, si dejas caer un objeto el doble de lejos.

Esto establece que para todos los movimientos reversibles del ascensor, los que no requieren que realices ningún trabajo (tanto en el sentido coloquial como en el sentido físico --- las dos nociones coinciden aquí), la suma de la masa por la altura todos los objetos se conservan. La "energía" ahora se puede definir como la cantidad de movimiento que se conserva cuando se permite que estos objetos se muevan con una velocidad no infinitesimal. Esta es la versión de Arquímedes de Feynman.

Entonces, la masa por la altura es una medida del esfuerzo requerido para levantar algo, y es una cantidad conservada en estática. Esta cantidad debe conservarse aunque exista dinámica en etapas intermedias. Con esto quiero decir que si dejas caer dos pesos mientras están suspendidos de una cuerda, los dejas hacer una colisión elástica y atrapas los dos objetos cuando dejan de moverse nuevamente, no hiciste ningún trabajo. Los objetos deberían entonces subir a la misma masa total por altura.

Esta es la demostración original de las leyes de las colisiones elásticas de Christian Huygens, quien argumentó que si dejas caer dos masas sobre péndulos y los dejas chocar, su centro de masa tiene que subir a la misma altura, si atrapas las bolas en su punto máximo. A partir de esto, Huygens generalizó la ley de conservación de la energía potencial implícita en Arquímedes para derivar la ley de conservación de la velocidad cuadrada en colisiones elásticas. Su principio de que el centro de masa no puede elevarse por colisiones dinámicas es el primer enunciado de la conservación de la energía.

Para completar, el hecho de que un objeto se acelere en un campo gravitatorio constante con aceleración uniforme es una consecuencia de la invariancia de Galileo y la suposición de que un campo gravitacional es marco invariante a movimientos uniformes hacia arriba y hacia abajo con una velocidad constante. Una vez que sabes que el movimiento en gravedad constante es aceleración constante, sabes que

de modo que la cantidad dinámica de Huygens que se conserva de forma aditiva junto con la masa por la altura de Arquímedes es la velocidad al cuadrado.

La pregunta es especialmente relevante desde un punto de vista didáctico porque uno tiene que aprender a distinguir entre energía (trabajo) e impulso (cantidad de movimiento).

La propiedad cinemática que es proporcional a$v$se llama actualmente cantidad de movimiento, es la "cantidad de movimiento" que reside en un objeto en movimiento, su definición es$p:= mv$.

El cambio de cantidad de movimiento es proporcional al impulso: el impulso es el producto de una fuerza$F$y el lapso de tiempo$\Delta t$se aplica Esta relación también se conoce como la segunda ley de Newton:$F \Delta t = \Delta p$o$F dt = dp$. Cuando uno sustituye$mv$por$p$se obtiene su forma más común:$F= m \frac{\Delta v}{\Delta t} = ma$.

Ahora, para una explicación intuitiva de que un objeto con el doble de velocidad tiene cuatro veces más energía cinética.
Digamos que A tiene velocidad$v$y B es un objeto idéntico con velocidad$2v$.
B tiene una cantidad doble de movimiento (momentum), ¡ahí es donde su intuición es correcta!
Ahora aplicamos una fuerza constante$F$para reducir la velocidad de ambos objetos hasta detenerse. De$F \Delta t = \Delta p$se sigue que el tiempo$\Delta t$necesario para que B disminuya la velocidad es el doble (aplicamos la misma fuerza a A y B). Por lo tanto, la distancia de frenado de B será un factor de 4 mayor que la distancia de frenado de A (su velocidad inicial, y por lo tanto también su velocidad media, siendo el doble, y su tiempo$\Delta t$siendo el doble, por lo que la distancia,$s = \bar{v}\Delta t$, aumenta 2 x 2 = 4 veces).
La obra$W$necesaria para reducir la velocidad de A y B se calcula como el producto de la fuerza y ​​la distancia de frenado$W=Fs$, entonces esto también es cuatro veces más. La energía cinética se define como esta cantidad de trabajo, así que ahí estamos.

Permítanme lanzar una explicación intuitiva. Podría reformular su pregunta como:

¿Por qué la velocidad solo aumenta como la raíz cuadrada de la energía cinética, no linealmente?

Bueno, deja caer una pelota desde una altura de 1 metro y tiene una velocidad v cuando toca el suelo.

Ahora, déjalo caer desde una altura de 2 metros. ¿Tendrá una velocidad de 2v cuando llegue al suelo?

No, porque recorre el segundo metro en mucho menos tiempo (porque ya se está moviendo), por lo que tiene menos tiempo para ganar velocidad.

La única razón física real (que no es realmente una respuesta completamente satisfactoria) es que$E \sim v^2$es lo que nos dicen los experimentos. Por ejemplo, la energía potencial gravitacional en la superficie de la Tierra es proporcional a la altura, y si dejas caer un objeto, puedes medir que la altura desde la que cae es proporcional al cuadrado de su velocidad. Por lo tanto, para conservar la energía, la energía cinética debe ser proporcional a$v^2$.

Por supuesto, podría preguntarse por qué la energía potencial gravitatoria es proporcional a la altura y, una vez resuelto, preguntarse por qué algún otro tipo de energía es proporcional a otra cosa, y así sucesivamente. En algún momento se convierte en una cuestión filosófica. La conclusión es que definir la energía cinética como proporcional al cuadrado de la velocidad ha resultado ser una teoría útil. Por eso lo hacemos.

Por otro lado, siempre se podría decir que si fuera lineal en velocidad, se llamaría impulso ;-)

PD Vale la pena mencionar que la energía cinética no es exactamente proporcional a$v^2$. La relatividad especial nos da la siguiente fórmula:

$K = mc^2\left(1/\sqrt{1 - v^2/c^2} - 1\right)$

Para velocidades bajas, esto es esencialmente igual a$mv^2/2$.

Solo para publicar otra versión más matemática de esto que no depende de la termodinámica, sino solo del cálculo vectorial y las leyes de Newton, consideremos la segunda ley de Newton:

Ahora, aplique la definición de trabajo,$W = \int d{\vec s} \cdot{\vec F}$

Tenemos, suponiendo que$s$es el camino real recorrido por la partícula, y usando algunos cambios inteligentes de variables:

Entonces, vemos que la definición de trabajo es sinónimo de dependencia cuadrática de la velocidad. ¿A quien le importa? Bueno, ahora, fijamos algunos requisitos sobre la fuerza. Es decir, suponemos que nuestras fuerzas son conservativas. ¿Qué significa esto? Bueno, significa que nuestra fuerza está libre de rizos.$\rightarrow {\vec \nabla} \times {\vec F}=0$. Esto es matemáticamente equivalente a muchas cosas, pero las dos más importantes son que$\int d{\vec s}\cdot {\vec F}$no depende de la ruta sobre la que se integre, sino solo de los puntos finales de la curva, y segundo, que${\vec F} = -{\vec \nabla}\phi$para alguna funcion$\phi(x,y,z,t)$. Una vez que sabes esto, es relativamente fácil demostrar que$\int {\vec ds}\cdot {\vec F} = \phi_{0} - \phi_{f}$

Entonces usted tiene:

donde la suma es sobre los potenciales de las diversas fuerzas (y sustituí astutamente PE por$\phi$, ya que obviamente ahora estamos hablando de energía potencial.) Ahora hemos demostrado que la energía total no cambia. Por lo tanto, la definición estándar de trabajo nos da una cantidad conservada, que podemos llamar energía (siempre que asumamos la ausencia de fuerzas no conservativas, pero en presencia de estas, la energía no se conserva y empezamos a tener que preocuparnos por pérdidas por calor y radiación).

Como sugirió Piotr, aceptar la definición de trabajo$W=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}$, se deduce que la energía cinética aumenta cuadráticamente. ¿Por qué? Porque la fuerza y ​​el intervalo infinitesimal dependen linealmente de la velocidad. Por lo tanto, es natural pensar que si multiplicas ambas cantidades, necesitas terminar con algo como$K v^{2}$, dónde$K$es una constante 'arbitraria'.

Una pregunta mucho más interesante es por qué el Lagrangiano depende de la velocidad al cuadrado. Dada la homogeneidad del espacio, éste no puede contener explícitamente$\mathbf{r}$y dada la homogeneidad del tiempo, no puede depender del tiempo. Además, dado que el espacio es isotrópico, el Lagrangiano no puede contener la velocidad$\mathbf{v}$. Por lo tanto, la siguiente opción más simple debería ser que el Lagrangiano debe contener la velocidad al cuadrado. Creo que el Lagrangiano es de naturaleza más fundamental que las otras cantidades, sin embargo, su derivación implica la definición de trabajo o, de manera equivalente, energía. Así que probablemente no comprará la idea de que esta última explicación es la verdadera causa de que la energía cinética aumente cuadráticamente, aunque creo que es mucho más satisfactoria que la primera explicación.

Todo se reduce a definiciones.

El impulso se define como$p = mv$. El impulso crece linealmente con la velocidad, lo que hace que el impulso sea una cantidad que es intuitiva de entender (cuanto más impulso, más difícil es detener un objeto). La energía cinética es una cantidad menos intuitiva asociada con un objeto en movimiento. KE se asigna de tal manera que el cambio instantáneo en KE produce el impulso de ese objeto en un momento dado:

$\frac{dKE}{dv} = p$

Una pregunta separada que uno podría hacer es ¿por qué nos importa esta cantidad? La respuesta es que en un sistema sin fricción, la suma de las energías cinética y potencial de un objeto se conserva:

$\frac{d(KE + PE)}{dt} = 0$

Por cada aumento relativamente igual (en porcentajes) de la velocidad, la fuerza aplicada debe estar presente en una distancia de viaje cada vez más larga (cuadráticamente). F=m*a. Al mismo tiempo fuerza*distancia=trabajo, donde trabajo=energía.

La forma general de la energía cinética incluye correcciones de orden superior debidas a la relatividad. El término cuadrático es solo una aproximación newtoniana válida cuando las velocidades son bajas en comparación con la velocidad de la luz. c.

Hay otra razón fundamental por la que la energía cinética no puede depender linealmente de la velocidad. La energía cinética es un escalar, la velocidad es un vector. Además, si la dependencia fuera lineal, esto significaría que la energía cinética variaría al sustituir$\mathbf{v}$por$-\mathbf{v}$. Es decir, la energía cinética dependería de la orientación, lo que nuevamente no tiene sentido. La dependencia cuadrática newtoniana y las correcciones relativistas$v^4$,$v^6$... satisfacer ambos requisitos: la energía cinética es un escalar e invariante al sustituir$\mathbf{v}$por$-\mathbf{v}$.

Creo que se deduce de la primera ley de la termodinámica. Convierte su definición de trabajo en una propiedad conservada llamada energía. Si define el trabajo en el$Fdx$estilo (como lo hizo James Joule), entonces la expresión cuadrática para la energía cinética seguirá con los argumentos de simetría.

En su excelente respuesta, Ron Maimon sugiere inteligentemente usar calor para evitar una referencia al trabajo. Para determinar la cantidad de calorías que usa un termómetro. Un termómetro perfecto medirá$\partial{E}/\partial{S}$así que cuando haya terminado de definir la entropía, todavía necesita una definición no mecánica de trabajo. (De hecho, creo que la contribución de Joule es mostrar que la caloría es una medida superflua de energía). La debilidad en la respuesta de Ron es que también necesita la segunda ley de la termodinámica para responder la pregunta.

Para ver esto explícitamente, escriba la primera ley en términos de la ecuación de Gibbs:

Ahora a integrar. Huygens asume$p$es sólo una función de$v$. Para pequeños cambios en$v$hacemos la aproximación lineal$p = mv$, dónde$m \equiv dp/dv$. Enchufe eso, integre y obtendrá la dependencia cuadrática. De hecho, no es muy difícil ver que si usas la gravedad para la fuerza que$F = mg$lo que lleva a

Ahora observe que requerimos los cambios en$v$ser pequeño De hecho, la energía cinética no siempre es proporcional a$v^2$. Si te acercas a la velocidad de la luz, todo se descompone y para la luz en sí no hay masa, pero los fotones tienen una energía cinética igual a$c p$dónde$c$es la velocidad de la luz. Por lo tanto, es mejor pensar en la energía cinética como

Entonces, en resumen, sugiero que el "por qué" de la pregunta es el mismo que el "por qué" de la primera ley.

Básicamente, el impulso está relacionado con la fuerza por el tiempo, y KE está relacionado con la fuerza por la distancia. Todo es un metro de marco de referencia, ya sea de tiempo o de distancia. La relación entre el tiempo y la distancia para una velocidad inicial de cero es$d = \frac{at^2}{2}= \frac{tV}{2}$. Inserte esto en las ecuaciones que obtiene el KE$= \frac{pV}{2} = \frac{p^2}{2m}$

Woolah - ¡magia!

La energía cinética se define como$\frac{1}{2}mv^2$(al menos en mecánica clásica).

Cuando el movimiento de un objeto está sujeto a una ley física que es constante en el tiempo (por ejemplo$\ddot{r}=-\frac{GM}{r^2}$donde GM es una constante), entonces cuando integras ambos lados con respecto a la distancia y multiplicas por la masa$m$del objeto que obtienes:

Suponiendo que la ley es constante a lo largo del tiempo, entonces, entre los estados inicial y final, la cantidad del objeto$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$se conserva a través del tiempo también.

si en lugar de$-\frac{GM}{r^2}$la ley física es alguna otra función$f(r)$constante a través del tiempo, entonces la cantidad del objeto$\frac{1}{2}mv^2 - F(r)$donde F es una primitiva de f también se conserva a través del tiempo.

Esa cantidad se llama energía. Luego damos un nombre a los dos términos: el término que depende de la velocidad ($\frac{1}{2}mv^2$) se conoce como energía cinética, y el término que depende de la distancia ($-F(r)$) se conoce como energía potencial.

Es útil definir estas cantidades, porque si asumimos que la aceleración de un objeto es una función de la distancia constante en el tiempo (como es el caso de la ley de la gravitación, la ley de Coulomb, la ley de Hooke, ...), y si sabemos el valor de$F(r)$y el valor de la velocidad a una distancia dada$r_1$(que se derivan de medidas), entonces podemos deducir directamente la velocidad del objeto a cualquier otra distancia sin tener que calcular la integral de$f(r)$cada vez.

Dado que la energía cinética es una cantidad definida, no tiene sentido preguntar por qué aumenta cuadráticamente con la velocidad, lo hace porque se define de esa manera. El argumento anterior da una razón de por qué se define de esa manera.

¿Por qué se necesita mucha más energía para pasar de 1 m/s a 2 m/s que para pasar de 0 m/s a 1 m/s?

No es más difícil acelerar algo de 1 m/s a 2 m/s que de 0 m/s a 1 m/s, a una aceleración constante toma el mismo tiempo, sin embargo toma 3 veces más distancia (por lo que toma 4 veces más distancia para acelerar de 0 m/s a 2 m/s que de 0 m/s a 1 m/s).

Digamos que aceleras tu objeto a una tasa constante para que tome un tiempo$\tau$pasar de 0 m/s a 1 m/s. Entonces tomará el mismo tiempo$\tau$pasar de 1 m/s a 2 m/s.

Su velocidad en función del tiempo será$v(t) = \frac{1}{\tau}t$. En particular,$v(\tau) = 1$y$v(2\tau) = 2$. Su distancia recorrida en función del tiempo será$d(t) = \frac{1}{2\tau}t^2$

toma una distancia$d(\tau) = \frac{\tau}{2}$para acelerarlo de 0 m/s a 1 m/s, mientras toma una distancia$d(2\tau) = 2\tau$para acelerarlo de 0 m/s a 2 m/s.

Como puedes ver,$d(2\tau) = 4d(\tau)$. En ningún momento necesitas invocar energía cinética para explicar esta observación, toma 4 veces más distancia porque el objeto se mueve más rápido entre$\tau$y$2\tau$que entre$0$y$\tau$. De manera similar, a una tasa de desaceleración constante, se necesita 4 veces más distancia para frenar hasta detenerse a la velocidad$2v$que a la velocidad$v$, no porque la energía cinética dificulte de algún modo frenar cuando vamos más rápido, sino simplemente porque se tarda el doble en frenar (el tiempo que se tarda en pasar de$2v$a$v$es el mismo que el tiempo para ir de$v$a$0$), y porque nos estamos moviendo más rápido que$v$(por lo tanto cubriendo más distancia) durante la mitad del tiempo de frenado.

Tengo una respuesta cuantitativa que es un experimento mental que evita todas las ecuaciones excepto las más simples.

Un objeto que va de la velocidad v=0 a v=1 necesita ser empujado o jalado de alguna manera. En mi explicación, usaré el mismo método para empujar el objeto de v=0 a v=1, luego de v=1 a v=2, luego de v=2 a v=3, etc. Mostraré cómo la energía del movimiento incorporado en el objeto sube de 0 a 1 a 4 a 9, etc.

Comience con dos bolas idénticas, m1 y m2. Entre las dos bolas hay un resorte, s1, que se mantiene comprimido. Suponga que la masa del resorte es muy pequeña. La energía potencial en el resorte es PE=2 y los 3 actores tienen velocidad v=0.

A. v=0. Todos los objetos tienen velocidad 0, por lo que la energía cinética KE=0.

B v=1. Suelte el resorte y m1 sale disparado hacia la izquierda con velocidad v=1. m2 va en la dirección opuesta con v=-1. La energía cinética de ambas bolas es la misma y es KE=1 porque toda la energía potencial del resorte se ha transferido simétricamente a las bolas.

Cv=2. Ahora coloque otra bola idéntica, m3, justo a la derecha de m1 y también viajando en v=1 y con un resorte comprimido, s2, entre ellos. Nada ha cambiado en m1, sigue viajando felizmente en v=1. Entonces, ¿cuál es la energía total del sistema m1, s2 y m3? Es 1+2+1=4 siendo KE de m1, PE de s2 y KE de m3.

Ahora suelta el resorte y m1 sale disparado hacia la izquierda con v=2 y la velocidad de m3 va de v=1 a v=0 haciendo su KE=0. Como dijimos que la masa del resorte es muy pequeña, por lo que su KE es casi cero, entonces toda la energía que había en el sistema antes de que se soltara el resorte ahora está en m1. Entonces la KE de m1 es KE=4. ¡Uf, KE es proporcional a v al cuadrado!

D. v=3. Simplemente repita el proceso para hacer que m1 pase de v=2 a v=3 empujando otra bola idéntica, m4. Primero, calcule la energía total del sistema de dos bolas y resorte antes de que se suelte el resorte. Es 4+2+4=10. Después de soltar el resorte, m4 tiene v=1, que hemos establecido es equivalente a KE=1. Entonces m1 tiene la energía restante del sistema que es KE=9.

Ev=4. Repita el proceso. Energía del sistema antes de que se suelte el resorte, 9+2+9=20. KE de m1 después de soltar el resorte, KE=20-4=16.

No estoy contento con asumir la masa del resorte, por lo que una explicación más ordenada tiene un resorte adjunto a cada bola y las bolas interactúan a través de sus resortes que están en contacto.

La variación cuadrática de la energía cinética con la velocidad puede explicarse por las propiedades de simetría del espacio y el tiempo. La función lagrangiana se define como$\mathcal{L}=T-U$, dónde$T$es la energía cinética y$U$es la energía potencial.

Sabemos que el espacio es homogéneo e isotrópico, y el tiempo es homogéneo. Para una partícula libre, se sigue que el lagrangiano$\mathcal{L}$debe tener las siguientes propiedades:

1. $\mathcal{L}$no debe depender de la coordenada de posición.
2. $\mathcal{L}$no debe depender del vector velocidad. Más bien debería depender de la magnitud de la velocidad, es decir, alguna potencia del vector de velocidad.
3. $\mathcal{L}$no debe depender de la coordenada de tiempo.

Entonces, la forma general del lagrangiano para una partícula libre es

Dado que estamos considerando una partícula libre (que solo tiene energía cinética), el lagrangiano (eligiendo$n=2$) es

El propósito de esta respuesta es construir una intuición de lo que es la energía cinética. El público objetivo de esta narración son los principiantes que reciben su primera introducción al concepto de energía cinética.

(La narración puede parecer demasiado lenta. La idea es: así es como le presentaría este tema a un joven inteligente e inquisitivo).

Como base, primero discutiré nuestras nociones de sentido común de fuerza y ​​movimiento.

En nuestra vida diaria tratamos aproximadamente con tres tipos de fuerzas, a las que me referiré como 'gravedad', 'fuerzas elásticas' y 'fuerzas de fricción'.

Fricción
A baja velocidad, la fricción tiende a ser proporcional a la velocidad. Existe el tropo de un cantinero deslizando un vaso hacia un invitado. Como sabemos: eso es factible; puedes sentir cuánto empujón hay que dar para que el vaso se detenga al alcance de la mano del cliente.

Elasticidad
Como sabemos, la fuerza elástica tiende a ser proporcional a la cantidad de deformación que se provoca.

Gravedad
La gravedad siempre está presente, la gravedad nunca falta. Nuestra experiencia con la gravedad está tan internalizada que tendemos a no darnos cuenta de cuán únicas son las propiedades de la gravedad.

A diferencia de la fricción, el efecto de la gravedad es independiente de la velocidad actual . Cualquiera que sea su velocidad actual, su cambio de velocidad es el mismo.

A diferencia de la elasticidad, el efecto de la gravedad es independiente de su posición actual . (La vida diaria tiene lugar en la superficie de la Tierra, donde, a todos los efectos, la gravedad es uniforme).

Para centrarme en lo que es la energía cinética, utilizo una fuerza que permite que F=ma actúe en la forma más pura posible: una fuerza que es independiente de la velocidad actual e independiente de la posición: la gravedad.

Permito que se deje caer un objeto desde una altura de 16 metros.
(Elegí 16 unidades en lugar de 4 porque 4 tiene una ambigüedad. La suma de 2 y 2 y el producto de 2 y 2 son ambos 4. 16 evita eso).

Para simplificar los números, configuro la fuerza para causar una aceleración de 2$m/s^2$

Como sabemos: la trayectoria resultante surge de la propiedad de la Naturaleza que relaciona Fuerza y ​​Aceleración:$F=ma$

La velocidad aumenta linealmente con el tiempo: después de 2 segundos el objeto tiene una velocidad de 4 m/s, después de 4 segundos el objeto tiene una velocidad de 8 m/s

La distancia recorrida aumenta cuadráticamente con el tiempo: después de 2 segundos el objeto ha recorrido 4 metros de distancia, después de 4 segundos el objeto ha recorrido 16 metros de distancia.

Lanzar cosas hacia arriba
Como sabemos, la aceleración y la desaceleración son, en cierto sentido, imágenes especulares entre sí, reflejadas con respecto a la dirección del tiempo.

Usando la misma tasa de cambio de velocidad: 2$m/s^2$

Si el objeto se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 4 metros por segundo, alcanzará una altura de 4 metros.
Si el objeto se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 8 metros por segundo, alcanzará una altura de 16 metros.

Entonces: cuando se lanza hacia arriba al doble de la velocidad, la altura alcanzada aumenta cuadráticamente .

En nuestra vida diaria experimentamos fuerzas elásticas y fuerzas de fricción todo el tiempo y, en consecuencia, tendemos a esperar que cuando lanzas algo con el doble de velocidad, tendrá el doble de fuerza . Pero la cantidad de "golpe" que tiene el objeto aumenta con el cuadrado de la velocidad.

F=ma
La relación cuadrática se origina en el hecho de que la aceleración es la segunda derivada de la posición. Existe una relación fundamental entre la operación de tomar una segunda derivada y la operación de elevar al cuadrado .

Si su velocidad inicial es de 8 m/s y desacelera a 2$m/s^2$:
De t=0 a t=2 recorre 3/4 de la distancia total de frenado.
Desde t=2 hasta t=4, recorre el 1/4 restante de la distancia total de frenado.

Esta relación de 3/4 a 1/4 se generaliza a cualquier aceleración/desaceleración uniforme.

colisión de autos

En una colisión de automóviles, la cantidad de daño aumenta rápidamente con el aumento de la velocidad.

La razón de esto es la naturaleza de la desaceleración.
Durante la primera mitad de la duración de la desaceleración, la distancia recorrida es 3/4 de la distancia total de frenado. Fundamentalmente, la cantidad de daño causado es proporcional a la distancia recorrida, no proporcional a la duración de la desaceleración.

Energía cinética

La energía cinética expresa la cantidad de daño que se inflige cuando hay una colisión destructiva.

Teorema del trabajo y la energía
La cantidad de cambio de energía cinética como consecuencia de la fuerza que actúa sobre la distancia viene dada por el teorema del trabajo y la energía .

Mi respuesta aquí es el resultado de mi propio pensamiento, pero es esencialmente lo contrario de la respuesta de Ron Maimon . No obstante, creo que la perspectiva ligeramente diferente puede ser útil.

De la respuesta de Maimón,

La única forma de responder preguntas como esta es confiar en los principios de simetría, ya que estos son más fundamentales que las leyes del movimiento. Usando la invariancia galileana, la simetría que dice que las leyes de la física se ven iguales en un tren en movimiento, puedes explicar por qué la energía debe ser proporcional a la masa multiplicada por la velocidad al cuadrado.

Primero, necesitas definir la energía cinética. Lo definiré de la siguiente manera: la energía cinética E(m, v) de una bola de arcilla de masa m que se mueve con velocidad v es la cantidad de calorías de calor que produce cuando choca contra una pared. Esta definición no hace referencia a ninguna cantidad mecánica y se puede determinar usando termómetros. Mostraré que, asumiendo la invariancia galileana, E(v) debe ser el cuadrado de la velocidad.

No definiré la energía, pero supondré que (1) la energía cinética es una función de la masa y la velocidad, y (2) los dispositivos que lanzan objetos (como resortes) vienen con energía potencial y esta energía potencial se convierte en energía cinética cuando se lanza un objeto. Hay muchos otros supuestos que intervienen en mi argumento, pero no los haré explícitos en aras de la brevedad.

Guión

Supongamos que tenemos dos cajas, cada una de masa$m$, moviéndose a velocidad$v$a la derecha con un resorte comprimido en el medio (o cualquier otra cosa que pueda separar las dos cajas). Este sistema tiene energía total$E(2m, v) + U$dónde$E(\cdot, \cdot)$es la energía cinética y$U$es la energía potencial del resorte.

Ahora imagine que soltamos el resorte (tal vez cortamos la cuerda que mantiene unidas las dos cajas), y supongamos que las dos cajas se separan una de la otra de la manera correcta en que la caja de la izquierda se detiene. Por conservación de la cantidad de movimiento, la caja de la derecha debe impulsarse para moverse a velocidad$2v$A la derecha.

De esto obtenemos

Para obtener la relación de proporcionalidad exacta entre energía y velocidad, consideraré la relatividad galileana como Ron Maimon. Dado el sistema de coordenadas actual, considere un sistema de coordenadas que se mueve hacia la derecha a una velocidad$v$. Al ir al nuevo marco, las dos cajas están inicialmente en reposo (por lo que la energía cinética es$E(2m, 0) = 0$) y el resorte se comprime con energía potencial$U$. Después del lanzamiento, ambas cajas se mueven en direcciones opuestas a gran velocidad.$v$. En este caso, tenemos

Por eso$E(\cdot, \cdot)$es cuadrático con respecto a la velocidad.

Esto solo demuestra una cuadruplicación de la energía cinética con respecto a una duplicación de la velocidad, pero estoy seguro de que las variaciones en esto pueden revelar el general$E\propto v^{2}$proporción.

Lanza 3 bolas hacia arriba con el mismo peso sin fricción con el aire.

La pelota tiene velocidad ascendente

Y, por simplicidad, tenemos

Vamos, por simplicidad, la bola 1 viaja

Y parar después de tiempo

¿Qué distancia recorrerá la bola 2?

Darse cuenta de

También la desaceleración es constante.

Entonces la bola 2 requerirá

Sin embargo, la velocidad promedio de la bola 2 también se duplicará. Entonces, la bola 2 viajará 4 veces más alto.

Por la misma razón, la bola 3 requerirá

Y la velocidad media también será el triple.

Así que la bola 3 subirá 9 veces más.

Entonces, la cantidad de energía cinética de las bolas será la cantidad cuadrática de la velocidad.

De hecho, podemos medirlo ahora mismo.

La energía potencial total será

La velocidad ascendente promedio será

Aquí,

Asi que

Asi que,

Energía cinética total de la pelota moviéndose hacia arriba con velocidad

será simplemente la energía potencial de la pelota cuando se detenga.

Así es

Una forma de ver esta pregunta tuya es la siguiente:

Entonces, si multiplicamos la velocidad por una cierta cantidad, es decir, si escalamos la velocidad, obtenemos lo siguiente,

Es decir, si escalas tu velocidad por un factor de$\lambda$, tu Energía está escalada por un factor de$\lambda^2$- esto debería responder a su pregunta (solo ingrese los números).