¿Omitiremos la regularización explícita en el proceso de renormalización?

En el proceso de renormalización, la regularización suele citarse como indispensable para dominar los infinitos que se encuentran en la teoría cuántica de campos. ¿Es realmente necesaria la regularización explícita?

Tomemos por ejemplo el propagador de fermiones

$$G = \frac{i}{\not{p}-m_0 - \Sigma(\not{p})+i\epsilon} = \frac{i}{(1-b(p^2))\not{p}-(m_0 + a(p^2)) + i\epsilon},$$ donde la energía propia se expresa como $$\Sigma(p) = a(p^2) + b(p^2)\not{p}.$$ El propagador tiene un polo en $$(1-b(p^2))^2p^2-(m_0 + a(p^2))^2 = 0$$ eso es $$p = m_p = \frac{m_0 + a(m_p^2)}{1-b(m_p^2)},$$ dónde$m_0$es masa desnuda (infinita) y$m_p$es la masa física (finita).

Uno puede reorganizar el propagador de fermiones anterior mediante la introducción de energía propia modificada$\hat{\Sigma}(\not{p})$de modo que

$$G = \frac{iZ}{\not{p}-m_p - \hat{\Sigma}(\not{p})+i\epsilon},$$ dónde$\hat{\Sigma}(\not{p})$Se define como $$Z^{-1}\hat{\Sigma}(\not{p}) = [a(p^2)-a(m_p^2)] + [b(p^2)-b(m_p^2)]\not{p},$$ y $$Z = \frac{1}{1-b(m_p^2)}.$$

Tenga en cuenta que la diferencia$a(p^2)-a(m_p^2)$es finito, aunque$a(p^2)$y$a(m_p^2)$son individualmente infinitos. Si seguimos el régimen de ceñirnos a las diferencias finitas (es decir,$a(p^2)-a(m_p^2)$) y cantidades mensurables (es decir,$m_p$) solamente, entonces los esquemas de regularización explícitos (como la regularización dimensional ampliamente utilizada) no son necesarios en absoluto.

Por supuesto, se puede seguir el mismo procedimiento a una escala de energía diferente (escala de renormalización$\mu$), en lugar de a escala de masa física ($m_{p}$).

Una nota adicional sobre la diferencia entre dos cantidades infinitas. Tome el siguiente ejemplo,

$$\int_{0}^r \frac{1}{x}dx - \int_{0}^{r_0} \frac{1}{x}dx = \int_{r_0}^r \frac{1}{x}dx = \ln(\frac{r}{r_0}).$$ Los matemáticos de núcleo duro desconfiarán del primer paso y exigirán alguna forma de regularización. Los físicos, si bien no se sienten desconcertados por la falta de rigor matemático con cosas como la integral de trayectoria, ¿realmente necesitan una regularización formal explícita para llegar al resultado final?

Uno puede llamar al procedimiento anterior regularización implícita . Algunos investigadores ya han adoptado una idea similar (ver el enfoque de Jackiw , el enfoque de la escuela australiana y el enfoque de la escuela brasileña ), aunque de una manera diferente a la que se presenta aquí. El mérito de la regularización implícita es que sortea varias trampas que acechan a la regularización explícita , por ejemplo, la violación de la invariancia de calibre en la regularización de corte o la$\gamma^5$Problema en la regularización dimensional.

Entonces mi pregunta es:

1. A la luz del vicio de la regularización explícita mencionado anteriormente (además, dadas las complejidades y las trampas, la regularización explícita es a menudo desconcertante en lugar de elucidar cuando la renormalización se enseña en los libros de texto), ¿debemos omitirla en el proceso de renormalización?
2. ¿Cómo se comparan entre sí los diferentes esquemas de regularización implícita ( Jackiw , la escuela australiana y la escuela brasileña )?