Regularización de división de puntos para polinomios de operadores

El libro de texto " Teoría de cuerdas ", de Joseph Polchinski, primer volumen , utiliza la regularización por división de puntos y un esquema de resta mínima adecuado para preservar la simetría conforme de un$d=2$Teoría de campos conformes (es decir, conservar el hecho de que la traza del tensor de energía-momento renormalizado$T_{a}\,^{a}$es cero).

El requisito previo es solo los conceptos básicos de QFT y la integral de ruta. El libro en sí contiene un apéndice para llenar un eventual vacío. No es matemáticamente riguroso, y muy intuitivo.

Todo esto se presenta al comienzo del capítulo 2, sección 2.1, y se desarrolla más en el capítulo 3, sección 3.4 y 3.6. Recomiendo leer todo el capítulo 2 y 3 en aras de la exhaustividad. Creo que estos dos capítulos darán una imagen muy intuitiva al respecto. A lo largo de todos estos capítulos, aplica la regularización del punto de división a polinomios de$\phi(x)$e incluso derivados$\partial_a\phi(x)$. Porque la teoría es$d=2$,$\phi(x)$no tiene dimensión, por lo que existe la posibilidad de que operadores como$e^{i\phi(x)}$. Polchinski renormaliza polinomios de$e^{i\phi(x)}$también.

Solo algunos comentarios para acelerar la lectura de estos capítulos:

• La fuente de divergencia de$\langle \mathcal{T}\left[\phi(x)\phi(y)\right]\rangle$, como$x\rightarrow y$, se debe a que estamos tomando la ordenación horaria de operadores que no se desplazan por intervalos de tiempo, como puedes ver aquí . Esto significa que esta divergencia está relacionada con la ambigüedad de ordenación de$\phi(x)$y$\phi(y)$. El operador de orden de tiempo$\mathcal{T}$cambie esta ambigüedad de orden por una divergencia.

• La división de puntos controlará esta divergencia al mantener todos los puntos separados. Luego cancelamos todas las divergencias que resultan de cada par de$\phi(x)$y$\phi(y)$cuando$x\rightarrow y$. Cuando se restaron todas las divergencias, volvemos a unir todos los puntos. Esto dará el operador renormalizado, lo que Polchinski llama 'operadores ordenados normales'. Lo llama así ya que, en algunas teorías, se puede demostrar que esos operadores renormalizados son los mismos que ponen los operadores de aniquilación a la derecha y los operadores de creación a la izquierda (el orden normal habitual).

• En el capítulo 3, utiliza la regularización de división de puntos para QFT en espacios curvos (hoja de mundo curva), conservando el difeomorfismo. Muestra que no hay forma de preservar la simetría de Weyl (es decir,$\left[ {T_a}^{a}\right]_{\text{Rernomalized}} \neq 0$) si$c \neq 0$y$R \neq 0$, hay una anomalía. En la regularización de división de puntos, las identidades de Ward pueden ser violadas por la regularización. Cuando no hay un esquema de sustracción que restaure la identidad de Ward, hay una anomalía en esa teoría.