Mediciones de la geometría del espacio-tiempo dentro de una capa esférica extremadamente densa

De http://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/schwp.html La cantidad por la cual la distancia radial se "aplasta" es:

1 1 − r s / r

donde la distancia radial de Schwarzschild (o "radio circunferencial") r es el punto en el que la circunferencia medida es 2 π r y el radio de Schwarzschild es

r s = 2 GRAMO METRO / C 2

es el radio de Scharzchild en el que obtenemos un agujero negro para esa cantidad de masa ( METRO ). La cantidad por la que se dilata el tiempo es la inversa de esto (muy similar al caso de los objetos en movimiento en el espacio plano). Por lo general, esta ecuación se integra sobre dr para calcular la distancia total entre 2 puntos cerca de un cuerpo gravitacional denso.

Supongamos que tenemos una capa esférica delgada que es lo suficientemente densa como para hacer una dilatación del tiempo del 50% inmediatamente sobre la superficie, lo que creo que resulta ser

r = ( 4 / 3 ) r s

La distancia radial también se reducirá en un 50% (aunque algunas personas se refieren a esto como "expansión", ya que puede caber más en el mismo espacio en relación con el marco de referencia fuera de este pozo gravitacional) y la circunferencia del exterior de la esfera será

2 π ( 4 / 3 ) r s

De acuerdo con el teorema de Birchoff, el campo gravitatorio aparente debe ser cero en el interior (tal como lo es para la gravedad newtoniana).

De acuerdo con una respuesta a la pregunta en ¿ Un caparazón esférico masivo expande el tiempo dentro de sí mismo? , "la dilatación del tiempo gravitacional depende del potencial gravitacional", por lo que debería ser el mismo en el interior (lo que hace que si piensa en el desplazamiento al rojo de los fotones como una indicación de la diferencia de tiempo).

Parece que también tendría la misma contracción de longitud en el interior (si es tanto un efecto del potencial gravitacional como la dilatación del tiempo), pero sería la misma en todas las direcciones, lo que implica que la circunferencia interna medida de la esfera sería el doble de la circunferencia exterior (por lo que 2 ( 2 π ( 4 / 3 ) r s ) ) y el radio interior (medido) sería 2 ( ( 4 / 3 ) r s ) .

Bienvenido a física.SE. Marque su pregunta usando mathjax. Eso significa básicamente poner signos de dólar alrededor y luego usar matemáticas LaTeX en su interior. Hay tutoriales que puedes encontrar en línea sobre cómo hacer matemáticas en LaTeX.
Tengo el LaTeX... mucho más fácil de lo que pensé que sería.
Tenga en cuenta que la sección "Métrica de Schwarzschild" en el primer enlace es incorrecta.
¿Qué pasa con eso en particular? ¿Un error tipográfico en la ecuación de Schwarzschild Metric en sí?

Respuestas (1)

Como se afirma en Sobre un malentendido común del teorema de Birkhoff :

En la gravedad newtoniana (NG) se sabe que el campo gravitacional en cualquier lugar dentro de una distribución de masa esféricamente simétrica está determinado solo por la masa encerrada. También se cree ampliamente que esto es cierto en la relatividad general (GR), y el teorema de Birkhoff a menudo se invoca para respaldar esta analogía entre NG y GR. Aquí mostramos que tal comprensión del teorema de Birkhoff es incorrecta [...] La métrica correcta, que coincide continuamente con la ubicación de un observador externo, está determinada tanto por la masa encerrada como por la distribución de masa exterior. El efecto de la masa exterior es hacer que el reloj interior funcione más lento [...]

Más adelante en la sección 2.0 el autor muestra que " el término de tiempo de la métrica siempre se mantiene continuo, pero el término de espacio no lo es ". No hay contracción o expansión de longitud dentro de una cáscara vacía, solo dilatación del tiempo.

Solo para asegurarme de que entiendo esto, si la circunferencia fuera de la esfera es 2 π ( 4 / 3 ) r s , la circunferencia interior será la misma y el radio interior medido será ( 4 / 3 ) r s pero la dilatación del tiempo seguirá siendo del 50%. Esto es lo mismo que inmediatamente afuera donde también hay una contracción del 50% de la longitud radial. ¿Correcto?
Sí, esto es correcto, excepto que es una expansión de longitud radial en lugar de una contracción exterior. Cuanto más te acercas al horizonte de sucesos, más lo "ves" alejándose de ti. Si te acercas mucho, parecería estar a años luz. También tenga en cuenta que el 50% es válido solo para un caparazón estático. El concepto sigue siendo el mismo para un caparazón que se derrumba, pero el % sería diferente. Vea la respuesta de AVS a: physics.stackexchange.com/questions/414695/…
Gracias por el enlace y la explicación. Esto me ha estado molestando por un tiempo y la única respuesta que encontré resultó ser incorrecta. Pienso en ello como "contracción" porque se contrae en relación con el marco de referencia exterior, así que me alegra que pongas un ejemplo para aclarar. Sin embargo, su respuesta plantea otra pregunta: ¿cómo se convierte algo en un agujero negro de acuerdo con su propio marco de referencia si el espacio sigue expandiéndose exponencialmente frente a él a medida que se acercan al horizonte de eventos? Además, ¿el porcentaje de diferencia para una esfera que se derrumba se debe al arrastre del marco?
@DustinSoodak No he hecho los cálculos (aunque no es complicado), pero intuitivamente, "ves" el horizonte de eventos tan lejos solo si pasas el cursor sobre él usando motores de cohetes para mantenerte estable. Sin embargo, si estás en caída libre, entonces tu velocidad se aproxima a la velocidad de la luz y la contracción de la longitud debido a la velocidad relativista anula la expansión de la longitud gravitacional. La diferencia ( F ( t ) en el enlace, 50% para R ˙ = 0 ) para una esfera que colapsa también se debe a la velocidad relativista del colapso ( R ˙ ). El arrastre de cuadros se refiere a la rotación, pero no hay ninguno en este caso.
Entonces, según un observador externo, es posible que nunca lo alcance, pero desde su marco de referencia, la contracción de longitud relativista en su dirección de movimiento superará la expansión. No pensé en agregar efectos SR.
@DustinSoodak Esto es correcto, excepto exactamente en el horizonte donde el observador que cae no tiene un marco válido. Consulte (por ejemplo, la sección 3) aquí: arxiv.org/pdf/0804.3619.pdf - (También he respondido un par de sus preguntas anteriores, en caso de que quiera verificar).
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