¿Es observable la topología del universo?

No voy a dar una respuesta completa aquí, porque no sé la respuesta , pero quiero dar algunas declaraciones que ilustran bastante bien el tipo de problemas que uno enfrentaría al determinar la topología de cualquier cosa :

Sabemos que el espacio-tiempo es una variedad. Eso significa que, localmente, se parece a$\mathbb{R}^4$. Eso ya es un fastidio. No podemos hacer jack en un solo lugar para averiguar nada sobre la topología. Pero, tan pronto como nos movemos, nos metemos en todas las complicaciones de los marcos de referencia y demás. Entonces, experimentalmente, ya sea que podamos o no detectar principalmente la topología, será un gran desafío.

Pero se pone peor. ¿Sabes que siempre suponemos que los campos caen en el infinito? Esa es una de las razones naturales por las que surgen paquetes principales en las teorías de calibre. Si queremos precisar la noción de campo$A$cayendo en el infinito, decimos que tiene que ser una función suave y tener un valor bien definido$A(\infty)$. y que es$\mathbb{R}^n$Juntos con$\infty$? La compactación de un punto, también conocida como la esfera.$S^n$. Pero no es del todo factible encontrar soluciones globales a las ecuaciones de movimiento de una teoría de calibre en$S^n$, gracias al teorema de la bola peluda y otros. Entonces decimos: Muy bien, resolvamos el eom localmente en algunos conjuntos abiertos$U_\alpha,U_\beta$homeomorfo al disco (piense en los hemisferios superpuestos un poco en el ecuador), y parchee las soluciones$A_\alpha,A_\beta$juntos en la superposición por una transformación de calibre en$U_\alpha \cap U_\beta$. Ahora, tenemos nuestro campo viviendo naturalmente en la esfera$S^n$si queremos una solución global. ¿Significa esto que en realidad vivimos en un$S^n$, o simplemente que somos ineptos para encontrar una descripción coherente de la física en$\mathbb{R}^n$? ¿Qué significaría eso ?

Puedo escuchar a la gente decir "Siempre podemos examinar cuál es la curvatura -$S^n$tiene uno que no se desvanece,$\mathbb{R}^n$tiene uno que se desvanece". Eso está bien, pero el argumento de calibre anterior nos obliga a aceptar que no existe un potencial de calibre globalmente bien definido$A$en$\mathbb{R}^n$ o pensar en alguna$S^n$en el que vive una solución parcheada. ¿Qué es más real? ¿Qué significaría decir que uno de estos puntos de vista es más significativo que el otro?

Por lo tanto, es posible que se sienta inclinado a decir: "¡Al diablo con estos extraños potenciales de calibre, estamos viviendo en un espacio-tiempo, y no en un paquete!" Pero hay efectos topológicos de estos paquetes, como los instantones o el efecto Aharonov-Bohm . El espacio-tiempo por sí solo no es suficiente. ¿Y cuál sería una distinción significativa entre "Estos paquetes no están donde vivimos, están 'por encima' del espacio-tiempo" y "Vivimos en los paquetes, y la mayoría de las veces solo experimentamos la proyección en el espacio-tiempo"?

Lo que estoy tratando de decir es que ni siquiera está claro lo que deberíamos considerar como el universo en el que vivimos. El espacio-tiempo 4D ordinario no es suficiente para dar cuenta de todas las cosas extrañas que podrían suceder.

Y como dije al principio, no tomes esto como una respuesta. Estoy sesgado por estar inmerso en teorías de calibre y solo tener un conocimiento superficial de las complejidades de GR. Pero por lo que veo, también se puede considerar que toda "topología no trivial" surge de unir soluciones locales a las leyes físicas que, de lo contrario, no encajarían bien.

Como se ha discutido en muchas preguntas por aquí (por ejemplo , aquí ), la relatividad nos dice solo sobre las propiedades locales y el comportamiento de un espacio-tiempo. Hay algunas excepciones cuando hacemos suposiciones globales: si tenemos un espacio de curvatura positiva global y estrictamente constante, la topología no trivial es inminente porque el espacio tiene que ser el de 3 esferas.$\mathbb{S^3}$.

Pero también podemos agregar una topología no trivial sin muchas restricciones. La riqueza total se puede explorar, por ejemplo, mediante el cociente de las porciones de espacio "canónicas"$\mathbb{E^3},\mathbb{S^3},\mathbb{H}^3$(euclidiana plana, 3 esferas, 3 hiperbólicas) por un grupo de simetría discreta$\Gamma$. es decir, para$\Gamma$un grupo de traducciones discretas en todas las direcciones "cortando"$\mathbb{E}^3$, obtenemos un 3-toroide topológico$\mathbb{E^3}/\Gamma = \mathbb{T^3}$.

La imagen intuitiva es que el espacio se ve localmente exactamente como nuestro viejo espacio euclidiano plano.$\mathbb{E^3}$, pero después de cierta distancia (la traslación), llegamos al mismo lugar. Naturalmente, al ser este el mismo lugar, deberíamos encontrar las mismas cosas en estos lugares hasta su movimiento y evolución durante el tiempo que no estuvimos allí.

En cuanto a la observación cosmológica, si vamos a detectar una topología no trivial con los métodos actuales, el espacio o las no trivialidades deben ser "suficientemente pequeños". Imagine que estamos en una esfera y la observación nos restringe para ver una parte muy pequeña de ella; no habrá forma de que podamos concluir que es una esfera.

Sin embargo, si vemos más allá, digamos una de las traducciones discretas de$\Gamma$, en principio deberíamos ser capaces de detectar múltiples imágenes del mismo objeto. El problema es que, dado que la luz tardó más en viajar desde la imagen más lejana, veremos que el objeto más distante es "más joven" que el más cercano y muy probablemente bajo un ángulo diferente. Para un universo decentemente grande con otros efectos como corrimiento al rojo y oscurecimiento, esto es probablemente un factor decisivo.

Sin embargo, la resistencia de los científicos es interminable. Podemos detectar una repetición en las imágenes al recolectar grandes cantidades de datos para todos los objetos visibles y usar ciertos métodos de correlación para evaluarlos. Ciertos tipos de no trivialidad topológica serían entonces visibles como picos o "picos" en los indicadores de correlación.

La imagen más profunda del universo es el CMB, del cual tenemos un conjunto de datos muy detallado. CMB se puede ver como una instantánea de una gran esfera a una distancia luminosa$\chi_{CMB}$. Si esta esfera se cruza con una no trivialidad topológica, deberíamos ver "círculos" o ciertas repeticiones de patrones en el CMB. Sin embargo, las pocas pruebas de los datos no revelaron nada de esto. En todo caso, un$\mathbb{R^2}\times \mathbb{S^1}$(una topología de "3 tubos") se conjetura en asociación con la dirección ligeramente preferida del CMB.

Hay posibles pruebas indirectas sugeridas por la discusión de ACuriousMind : una topología no trivial impone diferentes condiciones de contorno en los campos fundamentales y otros objetos posibles. Tenga en cuenta, sin embargo, que la teoría que desarrollamos significa "muy lejos" por$\infty$. Es decir, por ejemplo, en experimentos con partículas, "muy lejos" puede ser una distancia de unos pocos metros, no escalas cosmológicas. Los efectos debidos a condiciones de contorno topológicamente diferentes jugarían muy probablemente un papel importante en el universo muy primitivo y podrían proporcionar pruebas indirectas de la topología cósmica.

Mi fuente principal para esta respuesta es este y este artículo de revisión .

Cada comentario y respuesta fue muy útil. Creo que encontré una respuesta en un artículo antiguo de Clark Glymour (estudios de filosofía de la ciencia de Minnesota, volumen III, págs. 50-60):

"Se ha observado recientemente (Ellis, 1971; Dautcourt, 1971; Ellis y Sciama, 1972; Glymour, 1972; Trautman, 1965) que en algunas cosmologías relativistas generales varias características globales del espacio-tiempo pueden escapar necesariamente a la determinación. En contraste con teorías clásicas del espacio-tiempo, el grupo fundamental de espacio-tiempo puede ser en sí mismo una característica de este tipo en un espacio-tiempo relativista. Una explicación precisa de lo que significa que dos espacio-tiempos sean "indistinguibles" nos permitirá probar proposiciones relativas a la clasificación de espacios-tiempos indistinguibles que tienen distintas topologías globales".

Dice que es posible que dos espacios-tiempos sean empíricamente equivalentes y, sin embargo, tengan diferentes propiedades topológicas, por lo que parece que la topología también está sujeta a indeterminación experimental al menos en algunos de sus aspectos. La pregunta de interés podría ser ¿qué aspectos de la topología son observables y cuáles no observables?,

No pude acceder al artículo de Ellis, pero aquí está su dirección: Ellis, GFR (1971). "Topología y cosmología", General Relativity and Gravitation, vol. 2, pág. 7., si alguien lo tiene, le agradecería que nos lo explique aquí,

Aquí hay un experimento mental simple para ayudar a visualizar la forma de un universo Big Bang. Todas las direcciones apuntan hacia atrás en el tiempo. Teóricamente, si uno pudiera ver lo suficientemente atrás en el tiempo, estaría mirando hacia el Origen, un solo punto, el único punto que todos tenemos en común. Por lo tanto, todas las direcciones apuntan en última instancia hacia el Origen, que en cierto sentido puede considerarse el centro del universo y el único límite. Para comprender la forma de todo el universo, uno debe considerar TODOS los dominios del tiempo y el espacio. No tiene sentido preguntar cuál es la forma "ahora" (que generalmente se dice que es casi plana). Entonces, si todas las direcciones desde cualquier lugar del universo conducen a un solo punto común, nos da algunas posibilidades. El más simple es el toroide, con un centro del tamaño de un punto (o muy pequeño).