Calcular el campo eléctrico de un imán infinito en movimiento, sin impulso

Primero, uno inevitablemente obtiene las mismas soluciones si

1. resuelve el problema en el marco de reposo de la losa y luego Lorentz transforma el resultado en el marco donde se mueve la losa;

2. o si se resuelve el problema directamente en el marco donde se mueve la losa.

La razón es que las ecuaciones de Maxwell son covariantes bajo las transformaciones de Lorentz. Entonces, si están satisfechos en un cuadro, también estarán satisfechos en cualquier cuadro relacionado con aumentos. Sin embargo, debemos transformar adecuadamente todas las magnetizaciones y relaciones materiales, etc. y agregar las fuentes móviles correspondientes que serán la sutileza principal en el texto a continuación.

En su problema particular, uno puede decir algunas declaraciones genéricas sobre los campos magnéticos (y eléctricos) sin pensarlo mucho. Por ejemplo, si$\vec M$está en el$x$-dirección, significa que se puede pensar que los electrones giran en el$yz$-avión. Tome una superficie de la losa paralela a la$yz$-plano - es decir, una cara que pertenece a un$x=x_0$avión. Está bastante claro que inevitablemente habrá un componente del campo magnético$\vec B$en el$x$-dirección cerca del lado externo de la superficie. Si uno aumenta la$B_x$campo magnético en el$z$-dirección, inevitablemente habrá un campo eléctrico distinto de cero en la$y$-dirección,$E_y$.

En el marco donde se mueve la losa, parece que no tenemos fuentes eléctricas.$\rho$del$\mbox{div}\,\vec D=\rho$Ley de Gauss y sin lado derecho de la ecuación de Maxwell-Faraday,$\nabla\times \vec E = -\partial \vec B / \partial t$. Entonces, debido a que no hay fuentes eléctricas, pensarías que el campo eléctrico debería desaparecer. Sin embargo, este es un argumento erróneo porque la forma de las ecuaciones de Maxwell que estamos usando aquí son solo "ecuaciones de Maxwell para materiales en reposo".

En particular, la ley de Gauss está optimizada para$\vec D$que estamos imaginando ser dado por$\epsilon \vec E$, y es "puramente eléctrico". Sin embargo, para un material en movimiento, debe haber un término adicional del tipo$\vec v\times \vec M$incluido en$\vec D$. Debido a que este último tiene un valor distinto de cero$y$-componente en el marco móvil, habrá un distinto de cero$E_y$en este marco, también.

La forma precisa de las ecuaciones de Maxwell en un medio en movimiento puede ser confusa y desconocida, por lo que creo que puede ser una buena idea tratar de transformar la física local en el marco de reposo de cualquier material, siempre que sea necesario, y tal vez hacer una transformación de Lorentz. Siempre que surgieran sutilezas, habría que revisar la derivación de las "ecuaciones macroscópicas de Maxwell" (para materiales) y rehacerla con la posibilidad de mover materiales.

Ecuaciones microscópicas de Maxwell

Alternativamente, siempre puede intentar usar las ecuaciones microscópicas de Maxwell que incluyen la ley de Gauss en la forma$\vec \nabla\cdot \vec E = \rho / \epsilon_0$. Pero de esta forma,$\rho$incluye no sólo las cargas gratuitas sino también las "cargas microscópicas" relacionadas con el material.

Como la losa tiene valores distintos de cero de$j_y$y$j_z$(corrientes dentro del material) - recuerde que los electrones están girando en el$yz$-plano (para producir el magnético$x$-campo), también es cierto que cuando potenciamos el sistema en el$z$dirección, el múltiplo correspondiente de$j_z$producirá un valor distinto de cero de$\rho$(densidad de carga microscópica). Esta será la fuente de la$E_y$campo discutido anteriormente. En particular,$j_z$será proporcional a$[\delta(y-y_1)-\delta(y-y_2)]$en el marco de la losa lo que significa que habrá$\rho \sim [\delta(y-y_1)-\delta(y-y_2)]$en el marco donde se mueve la losa. Es esto$\rho$que inducirá un valor distinto de cero de$E_y$justo fuera del material (en el marco donde se mueve la losa).

Una forma muy sencilla de abordar esto es reconocer que las polarizaciones eléctricas y magnéticas$(-\textbf{P},\textbf{M})$transforma exactamente de la misma manera que los campos$(\textbf{E},\textbf{B})$(Hnizdo 2011). En el marco del laboratorio, la losa magnetizada también está eléctricamente polarizada, por lo que claramente hay un campo eléctrico que no se desvanece. Una buena manera de ver eso$(-\textbf{P},\textbf{M})$ debe mezclar es que de lo contrario obtendríamos exactamente el tipo de paradoja descrita en la pregunta.

Para ver eso$(-\textbf{P},\textbf{M})$se transforma exactamente de la misma manera que$(\textbf{E},\textbf{B})$, basta observar que cuando dividimos los campos$(\textbf{E},\textbf{B})$en su parte macrosopica$(\textbf{D},\textbf{H})$y su parte microscopica$4\pi(-\textbf{P},\textbf{M})$, esta división macroscópica-microscópica es independiente del marco.

Hnizdo y McDonald, "Campos y momentos de un dipolo eléctrico en movimiento", 2011, http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/movingdipole.pdf